Сила на единицу площади равномерно заряженной сферы радиуса \(R\), заряд \(Q\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Равномерно заряженная сфера, заряд \(Q\), радиус \(R\). Поверхностная плотность \[ \sigma=\frac{Q}{4\pi R^2}. \] Поле снаружи у поверхности \(E_+=Q/(4\pi\varepsilon_0 R^2)\), внутри \(E_-=0\). Заряд на поверхности «чувствует» среднее: \[ E'=\frac{E_++E_-}{2}=\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 R^2}. \] Это то же правило, что для плоскости: своё поле \(\sigma/(2\varepsilon_0)\) не работает, давит поле остальных зарядов. Давление наружу \[ P=\sigma E'=\frac{Q}{4\pi R^2}\cdot\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 R^2} =\frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0 R^4}. \] Сфера хочет раздуться: одноимённые заряды расталкиваются.
Тот же ответ через плотность энергии: снаружи \(w=\varepsilon_0 E^2/2\), внутри нуль, скачок \(w\) равен давлению \(P=\varepsilon_0 E_+^2/2=Q^2/(32\pi^2\varepsilon_0 R^4)\).
Ещё раз через энергию. \(W=Q^2/(8\pi\varepsilon_0 R)\), сила «раздуть сферу» \(F=-dW/dR=Q^2/(8\pi\varepsilon_0 R^2)\). Делим на площадь \(4\pi R^2\): \[ P=\frac{F}{4\pi R^2}=\frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0 R^4}. \] Три пути — давление, плотность энергии, производная \(W\) — один ответ. Так и должно быть: все они считают одну и ту же пондеромоторную силу.
Три пути — один ответ. Среднее поле \((E_++E_-)/2\), плотность энергии снаружи \(\varepsilon_0 E_+^2/2\), и производная энергии сферы \(W=Q^2/(8\pi\varepsilon_0 R)\) по радиусу: \(dW=-P\cdot4\pi R^2\,dR\) снова даёт \(P=Q^2/(32\pi^2\varepsilon_0 R^4)\). Когда три языка сходятся, формуле можно верить.
Сфера хочет раздуться. Чтобы удержать резиновый шарик (\(P_{\text{резины}}\sim10^4\) Па) зарядом, нужно \(Q\sim R^2\sqrt{32\pi^2\varepsilon_0 P}\sim3\) мкКл на \(R=10\) см — уже искра в воздухе. Механический разрыв кулоном на сантиметровых сферах на воздухе почти нереален: раньше пробьёт.