Расстояние между разноимённо заряженными пластинами равно \(h\). Толщина пластин тоже \(h\), объёмная плотность заряда на каждой из них \(\pm\rho\). Определите силу, действующую на участок пластины единичной площади. Почему эта сила не зависит от толщины пластины, если \(\rho h=\operatorname{const}\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Две пластины толщины \(h\), зазор между ними тоже \(h\), объёмные плотности \(\pm\rho\). Полный заряд единицы площади каждой пластины \(\sigma=\rho h\). Снаружи система выглядит как две плоскости \(\pm\sigma\): поле в зазоре \(E=\sigma/\varepsilon_0=\rho h/\varepsilon_0\), снаружи — нуль (разноимённые заряды).
Силу на правую пластину проще всего найти так. Поле, которое создаёт левая пластина в области правой, однородно и равно \(\sigma/(2\varepsilon_0)=\rho h/(2\varepsilon_0)\) — толстая однородно заряженная плита снаружи неотличима от плоскости с тем же \(\sigma\). Это поле действует на каждый кусок заряда правой пластины одинаково, поэтому \[ P=\sigma\cdot\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{\rho^2 h^2}{2\varepsilon_0}. \] Можно интегрировать: внутри правой пластины её собственное поле растёт линейно, но собственное поле на себя не работает; чужое постоянно, и интеграл снова даёт \(\sigma\cdot E_{\text{чуж}}\).
Почему при \(\rho h=\mathrm{const}\) толщина не важна? Потому что \(\rho h=\sigma\) — это полный заряд слоя, а именно он задаёт поле снаружи и силу. Размазали заряд потолще или собрали в плёнку — для соседа всё равно.
Толстая плита снаружи неотличима от плоскости с тем же \(\sigma=\rho h\). Поэтому сила не зависит от того, как заряд размазан по толщине, — пока полный заряд единицы площади тот же. Отсюда независимость от \(h\) при \(\rho h=\mathrm{const}\): мы просто перекладываем один и тот же заряд в более тонкий слой.
Внутри правой плиты её собственное поле линейно, чужое — однородно. Интеграл \(\int\rho E_{\text{чуж}}\,dx\) даёт то же \(P=\sigma^2/(2\varepsilon_0)\). Собственное поле в интеграл силы на плиту как целое не входит: оно растягивает плиту изнутри, но не двигает центр масс.