Чему равна поверхностная плотность заряда и электрическое давление на границе раздела двух полей напряжённости \(E\) и \(2E\)? \(E\) и \(-2E\)? Поверхностная плотность заряда во втором случае в три раза больше. Почему же электрическое давление в обоих случаях одинаково?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
На границе двух однородных полей \(E_1\) и \(E_2\), перпендикулярных поверхности, сидит поверхностный заряд. Теорема Гаусса на «таблетке»: \[ \sigma=\varepsilon_0(E_{2n}-E_{1n}). \]
Поля \(E\) и \(2E\) (в одну сторону): \(\sigma=\varepsilon_0(2E-E)=\varepsilon_0 E\). Поле, которое действует на сам этот заряд, — среднее из двух сторон, оно же «внешнее» (без собственного \(\sigma/(2\varepsilon_0)\)): \[ E'=\frac{E+2E}{2}=\frac{3E}{2},\qquad P=E'\sigma=\frac{3}{2}\varepsilon_0 E^2. \]
Поля \(E\) и \(-2E\) (навстречу): \(\sigma=\varepsilon_0(-2E-E)=-3\varepsilon_0 E\). Среднее \[ E'=\frac{E+(-2E)}{2}=-\frac E2,\qquad P=E'\sigma=\frac32\varepsilon_0 E^2. \] Давление то же. Плотность заряда втрое больше, но внешнее поле втрое меньше: \(3\varepsilon_0 E\) против \(\varepsilon_0 E\), и \(E/2\) против \(3E/2\). Произведение не меняется.
Знак давления: в обоих случаях поле «натягивает» границу в сторону большего по модулю поля, как плёнка с поверхностным натяжением.
Давит среднее поле, а не большее и не меньшее. Скачок \(E_2-E_1=\sigma/\varepsilon_0\) фиксирует заряд, среднее \((E_1+E_2)/2\) — то, что на него действует. Произведение \(\sigma\cdot E_{\text{ср}}=\varepsilon_0(E_2^2-E_1^2)/2\) — разность плотностей энергии по две стороны границы. Поэтому в обоих пунктах давление одно: \(4E^2-E^2\) не чувствует знака \(E_2\).
Интуиция «больше заряд — больше сила» ломается, потому что больший заряд сидит в более слабом среднем поле. Три и одна треть сокращаются. Это общий урок: сила на слой есть разность \(w\), а не \(\sigma\) само по себе.