Два проводящих поршня площади \(S\), расположенные в трубе из диэлектрика, образуют плоский конденсатор, заполненный воздухом при атмосферном давлении \(P_0\). Во сколько раз изменится расстояние между поршнями, если их зарядить разноимёнными зарядами \(\pm Q\)? Система хорошо проводит тепло, трение отсутствует.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
До зарядки поршни держались на расстоянии \(x_0\) атмосферным давлением \(P_0\) с обеих сторон (снаружи тоже атмосфера, изнутри — воздух при \(P_0\)). После того как поршням сообщили заряды \(\pm Q\), в зазоре появилось электрическое притяжение. Давление поля \[ P_{\text{эл}}=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S^2} \] не зависит от расстояния: заряд фиксирован, \(\sigma=Q/S=\mathrm{const}\).
Система изотермическая, трения нет. Воздух между поршнями подчиняется закону Бойля — Мариотта: \(P\cdot S x=P_0\cdot S x_0\), то есть \(Px=P_0 x_0\). Снаружи по-прежнему \(P_0\), изнутри газ давит сильнее, потому что поршни сблизились, плюс электрическое притяжение тянет их друг к другу. Равновесие одного поршня: \[ P=P_0+P_{\text{эл}}=P_0+\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S^2}. \] Тогда \[ \frac{x}{x_0}=\frac{P_0}{P}=\frac{P_0}{P_0+Q^2/(2\varepsilon_0 S^2)} =\frac{1}{1+Q^2/(2P_0\varepsilon_0 S^2)}. \] Расстояние уменьшилось в \(1+Q^2/(2P_0\varepsilon_0 S^2)\) раз.
Другой путь — через энергию. Электрическая энергия конденсатора \(W=Q^2 d/(2\varepsilon_0 S)\) падает при сближении, газ сжимается изотермически и его свободная энергия \(F_\text{газ}=-P_0 S x_0\ln(x/x_0)+const\) растёт. Минимум суммы как раз сидит в найденной точке \(x/x_0=1/(1+Q^2/(2P_0\varepsilon_0 S^2))\).
Электрическое давление не зависит от зазора: заряд на поршне фиксирован, \(\sigma=\mathrm{const}\). Воздух подчиняется изотерме \(Px=\mathrm{const}\). Снаружи по-прежнему атмосфера, изнутри газ поджат сильнее — ровно на \(P_{\text{эл}}\). Отсюда \(x_0/x=1+P_{\text{эл}}/P_0\).
Если бы заряд мог стекать, \(\sigma\) падала бы при сближении, и сжатие было бы слабее. Здесь заряды сидят, и поршни могут схлопнуться почти вплотную при большом \(Q\). Числа из проверки (\(S=10\) см\(^2\), \(Q=1\) мкКл) дают сжатие в полтора раза — лабораторно наблюдаемо, если поршни лёгкие и трения нет.