а. С какой силой притягиваются друг к другу две параллельные разноимённо заряженные плоскости? Поверхностная плотность заряда плоскостей \(\pm\sigma\). Площадь каждой плоскости \(S\), расстояние между ними много меньше размеров плоскостей. Чему равна сила, действующая на единицу площади поверхности плоскости (электрическое давление)?
б. Напряжённость электрического поля между параллельными плоскостями равна нулю, вне плоскостей равна \(E\). Определите поверхностную плотность заряда на плоскостях. Чему равно электрическое давление на плоскости в СИ и в СГС?
в. Напряжённость поля между параллельными плоскостями равна \(10^4\) В/см, вне плоскостей равна нулю. Определите электрическое давление на каждую плоскость и поверхностную плотность заряда.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Две бесконечные плоскости несут плотности \(\pm\sigma\). Полное поле между ними \(E=\sigma/\varepsilon_0\), снаружи — нуль. Но сила на заряды верхней плоскости создаётся только полем нижней: своё поле пластины симметрично вверх и вниз и само на себя не работает. Поле соседа \[ E_{\text{чуж}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}. \] Сила притяжения на площадь \(S\) \[ F=\sigma S\cdot\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{\sigma^2 S}{2\varepsilon_0}, \] электрическое давление \[ P=\frac{F}{S}=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}. \] Его же можно записать как \(P=\varepsilon_0 E^2/2\), где \(E=\sigma/\varepsilon_0\) — полное поле в зазоре: плотность энергии поля численно равна давлению на обкладку.
б. Теперь поле между плоскостями нуль, а снаружи равно \(E\). Так бывает, если плотности одноимённые и равные: \(\sigma_{\text{лев}}=\sigma_{\text{прав}}=\varepsilon_0 E\). Плоскости расталкиваются. Чужое поле по-прежнему \(\sigma/(2\varepsilon_0)=E/2\), давление \[ P=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}\quad\text{(СИ)},\qquad P=\frac{E^2}{8\pi}\quad\text{(СГС)}. \] Знак сменился (отталкивание вместо притяжения), модуль тот же.
в. Между плоскостями \(E=10^4\) В/см \(=10^6\) В/м, снаружи нуль — это снова разноимённые плотности, как в «а». \[ P=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}=\frac{8{,}85\cdot10^{-12}\cdot10^{12}}{2}=4{,}42\ \text{Па}, \] в книге \(4{,}325\) Па — разница в округлении \(\varepsilon_0\). Плотность \[ \sigma=\varepsilon_0 E=8{,}85\cdot10^{-6}\ \text{Кл/м}^2=8{,}85\ \text{мкКл/м}^2. \]
Давление поля \(P=\varepsilon_0 E^2/2\) — это плотность энергии \(w\). Не совпадение размерностей, а одна и та же величина: чтобы раздвинуть обкладки на \(dx\), мы создаём новый слой поля объёма \(S\,dx\) и тратим \(wS\,dx\), значит сила \(F=wS\), давление \(w\). В пункте «а» полное поле в зазоре \(\sigma/\varepsilon_0\), но на заряды давит только половина — чужое; произведение \(\sigma\cdot\sigma/(2\varepsilon_0)\) как раз равно \(w\).
Пункт «в»: \(10^4\) В/см \(=10^6\) В/м, \(P=\varepsilon_0 E^2/2=4{,}4\) Па. Лист бумаги эта сила не порвёт. Атмосферу поле даст лишь при \(1{,}5\cdot10^8\) В/м — в воздухе давно пробой. Электростатика в быту «слабая» именно поэтому.