На пластины плоского конденсатора помещён заряд \(Q\). Площадь пластин \(S\), расстояние между ними \(d\).
а. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить расстояние между пластинами на \(d\)?
б. Какую работу нужно совершить, чтобы сдвинуть пластины на расстояние \(x\) друг относительно друга так, как показано на рисунке? Пластины имеют форму квадрата с размерами \(a\times a\).
в. Какая совершается работа в обоих предыдущих случаях, если между пластинами конденсатора поддерживается батареей постоянная разность потенциалов? Почему эта работа будет другой?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Начальная энергия \(W=Q^2/(2C)=Q^2 d/(2\varepsilon_0 S)\).
а. Раздвигаем пластины, \(d\to 2d\), заряд \(Q\) постоянен. Ёмкость падает вдвое, энергия удваивается: \[ W_{\text{кон}}=\frac{Q^2\cdot 2d}{2\varepsilon_0 S}=2W,\qquad A=W_{\text{кон}}-W=\frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 S}. \] Мы работаем против притяжения пластин, поле «наливаем» в новый объём \(Sd\), и вся наша работа оседает в этом объёме как \(\varepsilon_0 E^2/2\cdot Sd\).
б. Сдвигаем пластины в своей плоскости на \(x\). Пластины — квадраты \(a\times a\), перекрытие становится \(S'=a(a-x)\), \[ C=\frac{\varepsilon_0 a(a-x)}{d}. \] Энергия растёт (ёмкость падает), \[ A=\frac{Q^2}{2}\Bigl(\frac{d}{\varepsilon_0 a(a-x)}-\frac{d}{\varepsilon_0 a^2}\Bigr) =\frac{Q^2 dx}{2\varepsilon_0 a^2(a-x)}. \] Сила стремится вернуть пластины к максимальному перекрытию: конденсатор «хочет» увеличить ёмкость.
в. Та же геометрия, но батарея держит \(V=\mathrm{const}\). Теперь \(W=CV^2/2\) убывает при раздвижении и при сдвиге: ёмкость падает, батарея забирает заряд \(\Delta Q=V\Delta C<0\) и совершает работу \(A_{\text{бат}}=V\Delta Q=V^2\Delta C\). Баланс энергии: \[ A_{\text{рук}}+A_{\text{бат}}=\Delta W=\frac12 V^2\Delta C, \] откуда \(A_{\text{рук}}=-\frac12 V^2\Delta C\) (мы по-прежнему работаем против притяжения, но батарея забирает вдвое больше, чем прирастает поле). Для пункта «а» \(\Delta C=-C/2\), \(Q=CV\), \[ A_a=\frac12 V^2\cdot\frac C2=\frac{\varepsilon_0 S V^2}{4}=\frac{Q^2 d}{4\varepsilon_0 S}. \] Для пункта «б» \(\Delta C=-\varepsilon_0 a x/d\), \[ A_b=\frac{\varepsilon_0 a x V^2}{2d}=\frac{Q^2 dx}{2\varepsilon_0 a^3}. \] Работа другая, потому что батарея — третий участник энергетического баланса.
Заряд 1 мкКл, пластины 100 см\(^2\), раздвигаем на миллиметр: руки делают \(Q^2 d/(2\varepsilon_0 S)\approx 56\) мДж. Батарея забирает половину, и наша работа падает до 28 мДж — не потому что сила другая в тот же миг, а потому что заряд утекает на источник. Двойка «в»/«а» — универсальный налог батареи, его видно и в 6.5 на давлении.