Найдите энергию электрического поля конденсаторов, заряженных до разности потенциалов \(V\):
а) плоского конденсатора с площадью пластин \(S=1\) м\(^2\), расположенных на расстоянии \(d=1\) мм друг от друга при \(V=1\) кВ;
б) сферического конденсатора с радиусом сфер \(r_1\) и \(r_2\);
в) цилиндрического конденсатора длины \(l\) с радиусом обкладок \(r_1\) и \(r_2\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Во всех трёх пунктах конденсатор заряжен до заданной разности потенциалов \(V\), поэтому удобна формула \(W=CV^2/2\).
а. Плоский. \(S=1\) м\(^2\), \(d=1\) мм \(=10^{-3}\) м, \(V=1\) кВ \(=10^3\) В. \[ C=\frac{\varepsilon_0 S}{d}=\frac{8{,}85\cdot10^{-12}\cdot 1}{10^{-3}}=8{,}85\ \text{нФ}, \] \[ W=\frac12\cdot 8{,}85\cdot10^{-9}\cdot 10^6=4{,}4\cdot10^{-3}\ \text{Дж}=4{,}4\ \text{мДж}. \] Негусто: киловольт на квадратном метре с миллиметровым зазором хранит энергию, сравнимую с энергией падения однограммовой гирьки с высоты 40 см.
б. Сферический с радиусами \(r_1\) и \(r_2\): \[ C=4\pi\varepsilon_0\frac{r_1 r_2}{r_2-r_1},\qquad W=\frac12 CV^2=2\pi\varepsilon_0\frac{r_1 r_2}{r_2-r_1}V^2. \]
в. Цилиндрический длины \(l\) с радиусами \(r_1\) и \(r_2\): \[ C=\frac{2\pi\varepsilon_0 l}{\ln(r_2/r_1)},\qquad W=\frac12 CV^2=\frac{\pi\varepsilon_0 l\,V^2}{\ln(r_2/r_1)}. \]
Те же ответы получаются интегрированием плотности энергии \(w=\varepsilon_0 E^2/2\) по зазору — поле мы уже знаем из задач 6.4.3, 6.4.5 и 6.4.7.
Вспышка фотоаппарата: 300 В на 100 мкФ хранит 4,5 Дж — в миллион раз больше, чем квадратный метр воздуха с миллиметровым зазором (4,4 мДж). Выигрыш не в площади, а в малом \(d\) и в диэлектрике. Плотность \(w=\varepsilon_0 E^2/2\) при \(E=10^6\) В/м — всего 4,4 Дж/м\(^3\), поэтому воздух — плохой склад, бумага и масло — уже лучше.