Как изменится энергия конденсатора, если при той же разности потенциалов увеличить все размеры в \(k\) раз? При тех же размерах увеличить заряд в \(n\) раз?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Энергия заряженного конденсатора \[ W=\frac{CV^2}{2}=\frac{Q^2}{2C}=\frac12 QV. \]
Все размеры \(\times k\), разность потенциалов та же. Плоский конденсатор: \(S\times k^2\), \(d\times k\), значит \(C=\varepsilon_0 S/d\times k\). Сферический: \(C=4\pi\varepsilon_0 R_1 R_2/(R_2-R_1)\) тоже \(\propto\) длина \(\times k\). Это общий факт: в СИ ёмкость измеряется в метрах, умноженных на \(\varepsilon_0\), и при подобном растяжении всей системы \(C\to kC\). Напряжение не меняли, поэтому \[ W'=\frac{(kC)V^2}{2}=kW: \] энергия выросла в \(k\) раз. Поле \(E=V/d\) упало в \(k\) раз, объём поля вырос в \(k^3\), плотность \(w=\varepsilon_0 E^2/2\) упала в \(k^2\), произведение — снова множитель \(k\).
Те же размеры, заряд \(\times n\). Ёмкость прежняя, \(W=Q^2/(2C)\), поэтому \[ W'=n^2 W. \] Поле выросло в \(n\) раз, плотность энергии — в \(n^2\), объём тот же.
Плоский конденсатор с числами задачи 6.4.17: \(W=4{,}4\) мДж. Увеличили всё в 2 раза, \(V\) тот же — энергия \(8{,}8\) мДж. Удвоили заряд при тех же размерах — энергия \(17{,}6\) мДж. Оба множителя (\(k=2\) и \(n^2=4\)) сразу видны.
Переменный конденсатор приёмника: пластины выдвинули, линейный размер как будто \(\times 1{,}5\) при том же \(V\) — энергия \(\times 1{,}5\). Заряд утроили при тех же размерах — энергия \(\times 9\), как у пружины с утроенным растяжением. Подобие всего конденсатора (\(C\propto\) длина) и \(n^2\) по заряду — два разных рычага, их нельзя путать.