Равномерно заряженная сфера радиуса \(R\) разрезана на две части по плоскости, отстоящей на расстоянии \(h\) от центра сферы. Найдите силу, с которой отталкиваются друг от друга эти части. Полный заряд сферы \(Q\). Какой минимальный заряд нужно поместить в центр сферы, чтобы её части не разлетались?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сфера радиуса \(R\), заряд \(Q\), разрезана плоскостью на расстоянии \(h\) от центра. Давление в каждой точке \(P=\sigma^2/(2\varepsilon_0)=Q^2/(32\pi^2\varepsilon_0 R^4)\) направлено по радиусу наружу. Сила, расталкивающая сегмент, — проекция этого давления на нормаль к плоскости разреза.
Площадь сегмента (шапочки) \(S_{\text{бок}}=2\pi R(R-h)\) нам не нужна: интегрировать надо \(\int P\cos\theta\,dS\). Здесь \(\cos\theta=z/R\), а \(z\) бежит от \(h\) до \(R\). В сферических координатах \(dS=2\pi R\sin\theta\cdot R\,d\theta\), \(\cos\theta=\mu\), \(\mu\) от \(h/R\) до \(1\): \[ F=\int P\mu\cdot 2\pi R^2\,d\mu=2\pi R^2 P\cdot\frac12\Bigl(1-\frac{h^2}{R^2}\Bigr) =\frac{Q^2(R^2-h^2)}{32\pi\varepsilon_0 R^4}. \] При \(h=0\) (разрез по экватору) \(F=Q^2/(32\pi\varepsilon_0 R^2)\) — сила между двумя полусферами.
Заряд \(q\) в центре давит на сегмент с силой \(q\cdot\sigma\cdot\Omega\), где \(\Omega=2\pi(1-h/R)\) — телесный угол сегмента, точнее \(F_q=q\sigma\cdot 2\pi R^2(1-h/R)/(4\pi\varepsilon_0 R^2)=q\sigma(1-h/R)/(2\varepsilon_0)\). Но проще: поле сегмента в центре мы знаем, и по третьему закону. Равновесие сегмента: электрическое расталкивание кусков уравновешено притяжением к \(q\). Красивый факт — условие одно и то же для обоих кусков и не зависит от \(h\): \[ q=-\frac Q2. \] Каждый кусок «хочет» ровно половину полного заряда в центре, чтобы его не унесло.
Давление на сфере однородно по величине и смотрит по радиусу. Чтобы найти силу, расталкивающую сегмент, проектируем на нормаль к разрезу и интегрируем. Выживает площадь «тени» сегмента \(\pi(R^2-h^2)\), умноженная на давление: \(F=P\cdot\pi(R^2-h^2)\). Подставляя \(P\), получаем ответ.
Заряд в центре \(q=-Q/2\) удерживает обе части: он тянет каждый кусок внутрь сильнее, чем куски толкают друг друга. Почему половина, а не весь \(Q\)? Полный \(-Q\) скомпенсировал бы всё поле снаружи и «схлопнул» сферу внутрь. Для удержания разрезанных частей хватает половины — это видно из того, что сила куска пропорциональна \((Q+2q)Q\), и нуль при \(q=-Q/2\).