Плоский конденсатор с площадью пластин \(S\) имеет заряд \(q\). Докажите, что при раздвижении пластин на расстояние \(x\) нужно совершить работу, равную объёму пространства, которое заполнит вновь созданное электрическое поле напряжённости \(E\), умноженному на плотность энергии \(\varepsilon_0 E^2/2\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Заряд \(q\) закреплён, поэтому \(E=q/(\varepsilon_0 S)=\mathrm{const}\) — поле не зависит от зазора. Раздвинули пластины на \(x\): появился новый слой поля толщины \(x\), объёма \(Sx\). Плотность энергии \[ w=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}, \] прирост энергии поля \(\Delta W=w\cdot Sx\).
С другой стороны, сила притяжения пластин \(F=\sigma^2 S/(2\varepsilon_0)=q^2/(2\varepsilon_0 S)\) постоянна (заряд фиксирован). Работа против этой силы \[ A=Fx=\frac{q^2 x}{2\varepsilon_0 S}=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}\cdot Sx. \] Два выражения совпали: \(A=(\varepsilon_0 E^2/2)\cdot Sx\). Мы доказали, что энергия живёт в поле, а не «на зарядах».
Это ключевой аргумент всего параграфа: энергия живёт в поле. Мы не «заряды раздвинули и где-то в них прибавилось энергии» — мы создали новый кусок поля, и работа рук ровно ему равна. Дальше, в задачах про сжатие сферы и сборку капель, мы будем пользоваться тем же: \(\Delta W=\int(\varepsilon_0 E^2/2)\,dV\).
Заряд фиксирован — поле в зазоре не зависит от ширины. Раздвигая пластины, мы не меняем уже существующее поле, а создаём новый слой. Работа рук равна энергии этого слоя. Если бы держали \(V=\mathrm{const}\), батарея забирала бы заряд, поле падало бы, и простая формула \(A=w\cdot\Delta V\) уже не работала бы в одиночку.
Это главный аргумент «энергия живёт в поле». Не на пластинах и не «в зарядах»: мы физически изготовили кусок поля, и именно он стоит работу. Численно \(E=10^6\) В/м, литр такого поля хранит \(4{,}4\) мДж — мало, но измеримо баллистическим гальванометром при разряде.