В однородном электрическом поле напряжённости \(E\) перпендикулярно направлению поля расположены две плоские разноимённо заряженные пластины площади \(S\). Поверхностная плотность заряда пластин \(\pm\sigma\), расстояние между ними \(d\). Какую работу нужно совершить, чтобы поменять пластины местами?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Внешнее поле \(\mathbf E\) однородно и перпендикулярно пластинам. Пластины несут \(\pm\sigma\), стоят на расстоянии \(d\). Поменять их местами — значит каждую сдвинуть на \(d\) навстречу другой (или одну на \(2d\), что то же самое по работе, если считать относительно центра).
На заряд \(+\sigma S\) действует сила \(F_+=\sigma S\cdot E\) по полю, на \(-\sigma S\) — сила \(F_-=\sigma S\cdot E\) против поля. Чтобы поменять пластины местами, положительную нужно вести против поля на расстояние \(d\), отрицательную — по полю на расстояние \(d\) (тоже против своей силы). Работа внешних сил \[ A=2\cdot\sigma S\cdot E\cdot d=2E\sigma dS. \]
Можно думать про энергию. Пара пластин — диполь \(p=\sigma S\cdot d\). В однородном поле энергия диполя \(-pE\cos\alpha\). Перестановка меняет \(\alpha\) с \(0\) на \(\pi\), \(\Delta W=2pE=2E\sigma Sd\). Это и есть наша работа.
Числа: \(E=10^5\) В/м, \(\sigma=10^{-5}\) Кл/м\(^2\), \(d=1\) см, \(S=100\) см\(^2\) дают \(A=2\cdot10^5\cdot10^{-5}\cdot10^{-2}\cdot10^{-2}=2\cdot10^{-4}\) Дж. Мало, но для лабораторных пластин в миллионы вольт на метр уже джоули. Знак работы плюс: мы ведём заряды против сил поля.
Пара пластин — диполь \(p=\sigma Sd\). Перестановка меняет его направление на противоположное. Энергия диполя в однородном поле \(-pE\cos\alpha\) меняется на \(2pE=2\sigma Sd E\). Это и есть работа. Знак: мы ведём каждую пластину против действующей на неё силы, работа положительна, система после перестановки в неустойчивом равновесии.
Если пластины одноимённые, дипольного момента нет, перестановка ничего не стоит: обе силы смотрят одинаково, и «поменять местами» не меняет энергии. В условии они разноимённые — это важно.