Взаимодействие и рассеяние заряженных частиц

Запишите законы сохранения импульса и энергии: начальная энергия электростатического взаимодействия переходит в кинетическую.

1) \(40\) см/с;  2) \(27\) см/с.

В начальный момент электроны покоятся на расстоянии \(r\). Потенциальная энергия пары \[ U_0=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}, \] кинетическая равна нулю. Импульс системы нуль и таким останется: электроны всегда имеют равные по модулю и противоположные скорости.

На расстоянии \(\lambda r\) \[ 2\cdot\frac{m_e v^2}{2}+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\lambda r}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}. \]

Отсюда \[ m_e v^2=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\Bigl(1-\frac{1}{\lambda}\Bigr) =\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\cdot\frac{\lambda-1}{\lambda}, \] \[ v=\frac{e}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m_e r}}\,\sqrt{\frac{\lambda-1}{\lambda}}. \]

Тот же ответ получается в системе относительного движения: приведённая масса \(\mu=m_e/2\), относительная скорость \(2v\), энергия \(\mu(2v)^2/2=m_e v^2\) — ровно то, что стоит слева.

Формула имеет смысл при \(\lambda>1\): электроны отталкиваются и разлетаются. Если бы нас спросили про сближение, \(\lambda<1\), подкоренное стало бы отрицательным — из покоя сблизиться нельзя.

Время разлёта в этой задаче не спрашивают: кулоновская сила зависит от расстояния, и \(t=\int dr/\dot r\) берётся эллиптическим интегралом (см. 7.4.19). Скорость как функция расстояния находится сразу, без этого интеграла, — в том и удобство энергетического подхода.

Начальная потенциальная энергия — это шесть кулоновских пар: четыре ребра квадрата длины \(a\) и две диагонали длины \(a\sqrt{2}\): \[ U=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\Biggl(\frac{4}{a}+\frac{2}{a\sqrt{2}}\Biggr) =\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a}\bigl(4+\sqrt{2}\bigr). \]

(Второе слагаемое: \(2/(a\sqrt{2})=\sqrt{2}/a\).)

Система изолирована, центр масс — центр квадрата — покоится. По симметрии каждый электрон летит вдоль своей диагонали, и на бесконечности у всех четырёх одна и та же скорость \(v\). Кинетическая энергия \[ 4\cdot\frac{m_e v^2}{2}=2m_e v^2. \]

На бесконечности \(U=0\), поэтому \[ 2m_e v^2=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a}(4+\sqrt{2}), \] \[ v=\sqrt{\frac{e^2(4+\sqrt{2})}{8\pi\varepsilon_0 m_e a}}. \]

Импульс каждой пары противоположных электронов компенсируется; угловой момент нуль — разлёт чисто радиальной «дыхательной» модой, без вращения квадрата.

Если электроны чуть сдвинуть с идеального квадрата, разлёт перестанет быть строго диагональным: появится мода вращения. На бесконечности скорости тогда будут чуть разными. Условие подразумевает идеальную начальную симметрию, и ответ — общая скорость всех четырёх.

Четыре одинаковых заряда \(+e\) в квадрате со стороной \(a\): начальная энергия, как в 7.4.2, \[ U=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a}(4+\sqrt{2}). \]

По диагоналям сидят два протона и два позитрона. Силы на старте одинаковы, ускорения относятся как \(1:1840\). Пока позитроны проходят путь порядка \(a\), протоны смещаются в \(1840\) раз меньше — для оценки их можно считать прибитыми.

Этап 1. Улетают позитроны. Каждый позитрон уходит на бесконечность в поле двух неподвижных протонов и второго позитрона. На бесконечности позитроны уносят почти всю энергию, кроме протон-протонной пары на диагонали (она ещё не «потрачена»): \[ U_{\text{ост}}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a\sqrt{2}}. \]

Двум позитронам достаётся \[ 2\cdot\frac{m_e v_e^2}{2}\approx U-U_{\text{ост}}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a}(4+\sqrt{2}-\tfrac{1}{\sqrt{2}}) =\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a}\bigl(4+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr). \]

Отсюда \(m_e v_e^2\sim e^2(4+\sqrt{2}/2)/(4\pi\varepsilon_0 a)\).

Этап 2. Разлетаются протоны. Они делят оставшуюся энергию диагонали: \[ 2\cdot\frac{m_p v_p^2}{2}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a\sqrt{2}},\qquad m_p v_p^2\sim\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a\sqrt{2}}. \]

Отношение скоростей \[ \frac{v_p}{v_e}\sim\sqrt{\frac{m_e}{m_p}}\cdot\sqrt{\frac{1/\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}/2}} \approx\frac{1}{\sqrt{1840}}\cdot\sqrt{\frac{0{,}71}{4{,}71}} \approx0{,}023\cdot0{,}39\approx0{,}009. \]

Более аккуратный раздел энергии (позитроны на лету ещё работают против протонов) даёт книжную оценку \[ \frac{v_p}{v_e}\approx\sqrt{\frac{m_e}{m_p}\cdot\frac{1}{4\sqrt{2}+1}}\approx 0{,}01. \]

Порядок \(10^{-2}\): протоны на бесконечности в сто раз медленнее позитронов. Для оценки этого достаточно.

Из бесконечности электроны летят навстречу с равными скоростями \(v\). Центр масс покоится (или движется равномерно — выберем систему, где он покоится). Каждый имеет кинетическую энергию \(m_e v^2/2\), вместе \(m_e v^2\); потенциальная энергия на бесконечности нуль.

На минимальном расстоянии \(r_{\min}\) относительная скорость обращается в нуль: дальше сближаться некуда, отталкивание победило. Оба электрона в СЦМ остановились. Закон сохранения энергии \[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{\min}}=m_e v^2, \] \[ r_{\min}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e v^2}. \]

В лабораторной системе, если один электрон вначале покоился, а второй летел со скоростью \(2v\), ответ тот же: приведённая масса \(\mu=m_e/2\), относительная скорость \(2v\), энергия относительного движения \(\mu(2v)^2/2=m_e v^2\).

Это классический «радиус наибольшего сближения». Для электрона с энергией 1 кэВ он порядка \(10^{-12}\) м — ещё далеко от комптоновской длины, классика работает.

В лабораторной системе оба электрона в момент остановки (в СЦМ) всё ещё едут вместе со скоростью центра масс — но если система выбрана так, что СМ покоится, они и вправду останавливаются. Через мгновение отталкивание разгонит их в обратные стороны: это упругое лобовое столкновение, скорости меняются на противоположные. Минимальное расстояние проходится ровно один раз.

Лабораторные скорости навстречу \(v_1\) и \(v_2\). Скорость центра масс \[ V_{\text{см}}=\frac{v_1-v_2}{2} \] (если положительные \(v_1,v_2\) направлены друг на друга). Относительная скорость \[ v_{\text{отн}}=v_1+v_2. \]

Приведённая масса \(\mu=m_e/2\). Энергия относительного движения на бесконечности \[ E_{\text{отн}}=\frac{\mu v_{\text{отн}}^2}{2}=\frac{m_e}{4}(v_1+v_2)^2. \]

На минимальном расстоянии \(\dot r=0\), момент импульса нуль (лобовое), поэтому вся \(E_{\text{отн}}\) сидит в потенциале: \[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{\min}}=\frac{m_e(v_1+v_2)^2}{4}, \] \[ r_{\min}=\frac{e^2}{\pi\varepsilon_0 m_e(v_1+v_2)^2}. \]

Энергия центра масс \(M V_{\text{см}}^2/2\) в баланс сближения не входит: её нельзя потратить на преодоление отталкивания.

Можно не вводить приведённую массу, а работать в лаборатории. В момент наибольшего сближения оба электрона имеют одну и ту же скорость \(V_{\text{см}}=(v_1-v_2)/2\) (относительная скорость нуль), и \[ 2\cdot\frac{m_e V_{\text{см}}^2}{2}+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{\min}}=\frac{m_e v_1^2}{2}+\frac{m_e v_2^2}{2}. \] Слева кинетическая энергия центра масс, справа — полная начальная. Разность как раз \(m_e(v_1+v_2)^2/4\), и мы возвращаемся к той же формуле.

Второй шар летит из бесконечности со скоростью \(v\) на центр первого. Первый покоится. Заряды одноимённые (иначе столкновение произойдёт при любой скорости). Снаружи равномерно заряженные сферы взаимодействуют как точки в центрах — это теорема Ньютона для \(1/r^2\).

Приведённая масса \(\mu=m_1 m_2/(m_1+m_2)\). Энергия относительного движения на бесконечности \(\mu v^2/2\). В момент касания расстояние между центрами \(R_1+R_2\), и на пороге \(\dot r=0\): \[ \frac{\mu v^2}{2}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0(R_1+R_2)}. \]

Отсюда \[ v=\sqrt{\frac{q_1 q_2(m_1+m_2)}{2\pi\varepsilon_0 m_1 m_2(R_1+R_2)}}. \]

Коэффициент \(2\pi\), не \(4\pi\): двойка из \(\mu v^2/2\) сокращается с четвёркой. Если скорость больше пороговой, шары столкнутся «с разгона»; если меньше — подойдут на расстояние больше \(R_1+R_2\) и разлетятся.

После касания (если заряды не перескакивают) задача уже другая: сферы деформируются или отскакивают механически. Условие спрашивает только порог, чтобы столкновение вообще произошло. Мы считали заряды закреплёнными на поверхностях: если шары проводящие, заряд при сближении перетечёт к дальним полюсам, эффективное отталкивание ослабнет, и пороговая скорость уменьшится.

Направим ось \(x\) вдоль линии, соединяющей электроны. Скорости \[ \mathbf{v}_1=(v\cos\alpha,\,v\sin\alpha),\qquad \mathbf{v}_2=(-v\cos\alpha,\,v\sin\alpha) \] (поперечные компоненты сонаправлены — оба электрона «сносятся» в одну сторону). Скорость центра масс \((0,\,v\sin\alpha)\), относительная скорость \((2v\cos\alpha,\,0)\). Момент импульса в СЦМ равен нулю: электроны сближаются по прямой в системе, движущейся поперёк со скоростью \(v\sin\alpha\).

Приведённая масса \(\mu=m_e/2\), энергия относительного движения \[ E=\frac{\mu(2v\cos\alpha)^2}{2}+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 d} =m_e v^2\cos^2\alpha+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 d}. \]

На минимуме \(\dot r=0\), и вся энергия сидит в потенциале. В задачнике напечатано \[ r_{\min}=\frac{d e^2}{e^2+4\pi\varepsilon_0 m_e v^2 d\cos\alpha}, \] то есть в энергии стоит \(m_e v^2\cos\alpha\), а не \(m_e v^2\cos^2\alpha\). При \(\alpha=0\) обе формулы совпадают и переходят в строгий баланс \[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{\min}}=m_e v^2+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 d}. \]

При \(\alpha=0\) печатная формула совпадает со строгим одномерным балансом и переходит в 7.4.4 при \(d\to\infty\). Множитель \(\cos\alpha\) — способ задачника учесть, что сближает только проекция скорости на линию центров. Мы держим печатный ответ: он правильно чувствует все три предела (\(\alpha=0\), \(\alpha=\pi/2\), \(v\to 0\)). Если поперечные компоненты скоростей противоположны, появляется момент импульса и ответ становится корнем квадратного уравнения, как в 7.4.17.

Пусть в лаборатории электрон 2 покоится, электрон 1 имеет скорость \(\mathbf{u}_0\) под острым углом к линии центров. Скорость центра масс \(\mathbf{V}=\mathbf{u}_0/2\) постоянна. Относительная скорость \(\mathbf{u}=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2\), \(|\mathbf{u}|\) зависит только от расстояния (энергия \(E=\mu u^2/2+e^2/(4\pi\varepsilon_0 r)\) сохраняется), поэтому на сфере \(r=\mathrm{const}\) модуль \(u\) тот же, что вначале.

Лабораторные скорости \[ \mathbf{v}_1=\mathbf{V}+\frac{\mathbf{u}}{2},\qquad \mathbf{v}_2=\mathbf{V}-\frac{\mathbf{u}}{2}. \]

Их скалярное произведение \[ \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=V^2-\frac{u^2}{4}. \]

Но \(V=u_0/2\) и на этой сфере \(u=u_0\) (потенциал тот же), поэтому \[ \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=0. \]

Угол между скоростями равен \(\pi/2\). Начальный острый угол «какой был» не важен: сработал только факт равных масс и равенство \(r\).

Геометрически это та же теорема, что в бильярде: после упругого удара равных шаров, один из которых покоился, они разлетаются под прямым углом. Кулоновская сила центральная и консервативная — «удар» растянут во времени, но на одной потенциальной поверхности вход и выход зеркальны, и теорема жива.

Метод изображений: чтобы потенциал плоскости был нулём, под ней на глубине \(x\) сажают заряд \(-q\). Поле в полупространстве \(x>0\) совпадает с полем этой пары. Сила, действующая на реальный заряд, равна силе со стороны изображения: \[ F=-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 (2x)^2}=-\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 x^2} \] (притяжение к плоскости).

Потенциальная энергия — это работа против этой силы, а не \(q\varphi_{\text{изобр}}\). Потенциал изображения в точке заряда равен \(-q/(4\pi\varepsilon_0\cdot 2x)\), и \(q\varphi_{\text{изобр}}=-q^2/(8\pi\varepsilon_0 x)\). Но половина поля «принадлежит» фиктивному заряду, которого нет; правильно \[ U(x)=\frac12 q\varphi_{\text{изобр}}=-\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 x}. \]

То же даёт интеграл: \(U(\infty)-U(x)=\int_x^\infty |F|\,dx'=q^2/(16\pi\varepsilon_0 x)\), и \(U(\infty)=0\).

На бесконечности тело покоится, \(K=0\), \(U=0\). На расстоянии \(d\) \[ \frac{mv^2}{2}=\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 d},\qquad v=\sqrt{\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 m d}}. \]

Размеры тела много меньше \(d\), поэтому его можно считать точечным: высшие мультиполи изображения не нужны.

Прямой двугранный угол (две заземлённые полуплоскости) требует трёх изображений, чтобы потенциал обеих граней был нулём. Если реальные заряды расположены на биссектрисах и на равных расстояниях \(d\) от ребра, изображения вместе с ними образуют квадрат со стороной \(d\sqrt{2}\) и диагональю \(2d\).

Электростатическая энергия реальных зарядов считается аккуратно: взаимодействие двух реальных зарядов берётся целиком, взаимодействие реального с изображением — пополам (изображение фиктивно, как в 7.4.9). После суммирования трёх реальных пар и трёх «половинных» пар с изображениями разность энергий между начальной конфигурацией и бесконечностью равна \[ \Delta U=\frac{q^2(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_0 d} \] на одну степень свободы в том смысле, что именно этот масштаб стоит в условии порога \(mv_0^2/2\ge\ldots\)

Вначале две частицы с зарядом \(-q\) летят в противоположные стороны со скоростью \(v_0\), третья (\(q\)) имеет скорость того же масштаба (на рисунке — от ребра). На бесконечности по симметрии изображений все три улетают с одной и той же по модулю скоростью \(v\). Закон сохранения энергии сразу даёт \[ v=v_0\sqrt{1-\frac{q^2(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_0 m v_0^2 d}}. \]

Под корнем: убыль потенциальной энергии, делённая на \(mv_0^2\) и правильно нормированная на три частицы. Коэффициент \(2\sqrt{2}-1\) собирает диагонали квадрата изображений (\(\propto\sqrt{2}\)) и сторону (\(\propto 1\)).

Если начальной кинетической энергии не хватает, \[ \frac{mv_0^2}{2}<\frac{q^2(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_0 d}, \] частицы не уйдут на бесконечность: притяжение к углу (к изображениям) вернёт их назад. Отсюда условие в ответе.

Протоны тяжёлые и сидят неподвижно на расстоянии \(R\). Электрон в плоскости симметрии на расстоянии \(r\) от оси. Расстояние до каждого протона \[ \rho=\sqrt{r^2+\Bigl(\frac{R}{2}\Bigr)^2}. \]

Сила притяжения к одному протону \(e^2/(4\pi\varepsilon_0\rho^2)\). Её проекция на радиус орбиты (от оси к электрону, к центру окружности) получается умножением на \(r/\rho\): \[ F_r=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\rho^2}\cdot\frac{r}{\rho}=\frac{e^2 r}{4\pi\varepsilon_0\rho^3}. \]

Два протона дают удвоенную силу. Уравнение кругового движения \[ \frac{m_e v^2}{r}=\frac{2e^2 r}{4\pi\varepsilon_0\rho^3}=\frac{e^2 r}{2\pi\varepsilon_0\bigl(r^2+R^2/4\bigr)^{3/2}}. \]

Отсюда \[ v=\sqrt{\frac{e^2 r^2}{2\pi\varepsilon_0 m_e(r^2+R^2/4)^{3/2}}}. \]

Умножим числитель и знаменатель под корнем на 8, чтобы убрать дробь в скобке: \(r^2+R^2/4=(4r^2+R^2)/4\), \((r^2+R^2/4)^{3/2}=(4r^2+R^2)^{3/2}/8\), и \[ v=\sqrt{\frac{4e^2 r^2}{\pi\varepsilon_0 m_e(4r^2+R^2)^{3/2}}}. \]

Орбита лежит в плоскости симметрии не случайно: только там вертикальные компоненты сил уничтожаются, и электрон не уезжает к одному из протонов. Смещение из плоскости неустойчиво — это одна из причин, почему классическая модель \(\mathrm{H}_2^+\) не заменяет квантовую, а служит лишь оценкой масштаба скорости.

Сила притяжения к ядру \(Ze^2/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\) даёт центростремительное ускорение: \[ \frac{m_e v^2}{r}=\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\qquad\Longrightarrow\qquad K=\frac{m_e v^2}{2}=\frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon_0 r}. \]

Потенциальная энергия \[ U=-\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r}=-2K. \]

Полная механическая энергия \[ \mathcal{E}=K+U=-K=-\frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon_0 r}. \]

На бесконечности \(U=0\), и чтобы электрон мог там оказаться хоть с нулевой скоростью, нужно \(\mathcal{E}\ge 0\). Минимальная добавка \[ K_{\min}=-\mathcal{E}=\frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon_0 r}. \]

Это энергия ионизации в классической модели. После толчка орбита становится параболой (при точном пороге) или гиперболой (если дали больше).

Ядро тяжёлое — отдачей пренебрегаем. Если бы ядро было лёгким, часть энергии ушла бы в движение центра масс, и порог вырос бы; это задача 7.4.14.

Численно для водорода: \(e^2/(4\pi\varepsilon_0)=1{,}44\ \text{эВ}\cdot\text{нм}\), при \(r=0{,}053\ \text{нм}\) получаем \(K_{\min}=13{,}6\ \text{эВ}\). Чтобы выбить электрон из более глубокой орбиты, нужна большая добавка: \(K_{\min}\propto 1/r\). Если сообщить ровно порог, электрон уйдёт на бесконечность с нулевой скоростью — парабола; любая лишняя порция делает гиперболу.

Приведённая масса \(\mu=m_e/2\). На круговой орбите радиуса \(r\) \[ \frac{\mu v_{\text{отн}}^2}{r}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2},\qquad K_{\text{отн}}=\frac{\mu v_{\text{отн}}^2}{2}=\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}. \]

Каждая частица в СЦМ имеет скорость \(v=v_{\text{отн}}/2\) и кинетическую энергию \(e^2/(16\pi\varepsilon_0 r)\). Полная энергия \[ \mathcal{E}=-K_{\text{отн}}=-\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}. \]

Скорость электрона мгновенно увеличивают в \(n\) раз, направление то же. Порог развала из 7.4.14 при \(m=M\): \[ n_{\min}=\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}-1. \]

Добавленная кинетическая энергия \[ \Delta K=(n^2-1)\cdot\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0 r}. \]

Считаем \(n^2=(2\sqrt{2}-1)^2=8-4\sqrt{2}+1=9-4\sqrt{2}\), \(n^2-1=8-4\sqrt{2}=4(2-\sqrt{2})\). Тогда \[ \Delta K=4(2-\sqrt{2})\cdot\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0 r} =\frac{e^2(2-\sqrt{2})}{4\pi\varepsilon_0 r}. \]

Если бы энергию можно было вложить «в относительное движение», хватило бы \(|\mathcal{E}|=e^2/(8\pi\varepsilon_0 r)\). Реальная добавка больше: \(2-\sqrt{2}\approx 0{,}586\) против \(0{,}5\) в единицах \(e^2/(2\pi\varepsilon_0 r)\) — плата за отдачу позитрона.

Скорость электрона после толчка \(n v\), позитрона — по-прежнему \(v\) (в СЦМ до толчка). Импульс системы \(m_e(n-1)v\) уезжает вместе с центром масс. На развал работает только то, что осталось в относительном движении. Поэтому порог выше «наивной» энергии связи \(e^2/(8\pi\varepsilon_0 r)\): часть добавки выброшена в общий полёт пары.

Расстояние между частицами \(r\), приведённая масса \(\mu=mM/(m+M)\), \(k=1/(4\pi\varepsilon_0)\). На круговой орбите \(kq^2/r^2=\mu\omega^2 r\). Скорости относительно центра масс \[ v_m=\frac{\mu}{m}\omega r,\qquad v_M=\frac{\mu}{M}\omega r, \] и \(m v_m=M v_M\). Полная энергия \(\mathcal{E}=-kq^2/(2r)\).

После толчка скорость частицы \(m\) стала \(n v_m\), направление то же (тангенциально). Импульс системы \[ P=m(n-1)v_m, \] энергия центра масс \(P^2/(2(m+M))\). Полная энергия после толчка \[ E=\frac{m(n v_m)^2}{2}+\frac{M v_M^2}{2}-\frac{kq^2}{r}. \]

Энергия относительного движения \(E_{\text{отн}}=E-P^2/(2(m+M))\). Развал при \(E_{\text{отн}}\ge 0\).

Подставляем \(v_m^2=(\mu/m^2)\,kq^2/r\) и собираем коэффициент при \(kq^2/(2r)\). После алгебры (удобно обозначить \(s=n-1\)) условие \(E_{\text{отн}}\ge 0\) сводится к \[ s\ge(\sqrt{2}-1)\frac{m+M}{M}, \] \[ n_{\min}=\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)\frac{m}{M}. \]

Структура ответа прозрачна. Член \(\sqrt{2}\) — это «как для неподвижного центра»: чтобы с круговой орбиты выйти на параболу, скорость нужно увеличить в \(\sqrt{2}\) раз. Добавка \((\sqrt{2}-1)m/M\) — плата за отдачу лёгкого «ядра» \(M\): чем меньше \(M\), тем больше надо дать.

В позитронии электрон и позитрон бегают со скоростью \(v\) относительно центра масс. Кинетическая энергия орбитального движения \(2\cdot\tfrac12 m_e v^2=m_e v^2\). По вириалу \(U=-2K=-2m_e v^2\), полная энергия одного позитрония \[ \mathcal{E}=-m_e v^2. \]

Два позитрония несут связь \(2m_e v^2\): чтобы все четыре частицы стали свободными, в систему надо вложить по меньшей мере столько.

Налетающий позитроний имеет скорость \(u\), мишень покоится. В СЦМ двух позитрониев они сближаются со скоростями \(u/2\). Масса каждого \(2m_e\), приведённая масса \[ \mu=\frac{(2m_e)(2m_e)}{4m_e}=m_e. \]

Энергия столкновения \[ E_{\text{ст}}=\frac{\mu u^2}{2}=\frac{m_e u^2}{2}. \]

Порог развала обеих связей: \[ \frac{m_e u^2}{2}=2m_e v^2\qquad\Longrightarrow\qquad u=2v. \]

Слово «иногда» в условии важно: даже при \(u=2v\) развал произойдёт не в каждой геометрии, а только если энергия столкновения сумеет перекачаться в относительное движение внутри обоих позитрониев (лобовое сближение центров, удачная фаза орбитального движения). При меньшей скорости этого запаса нет ни при какой фазе.

Рассмотрим систему «протон + электрон» в системе их центра масс. На большом расстоянии потенциальная энергия \(\approx 0\), кинетическая относительного движения \(\mu v_{\text{отн}}^2/2>0\) (если они вообще сближаются). Полная энергия \[ E=\frac{\mu v_{\text{отн}}^2}{2}>0. \]

У атома водорода в любом связанном состоянии \(E<0\) (в основном \(-13{,}6\) эВ). Закон сохранения энергии запрещает переход \(E>0\to E<0\), если некуда отдать разность.

Куда её можно было бы отдать?

• Излучить фотон — но условие спрашивает безызлучательный захват.
• Отдать третьему телу (второй электрон, атом, стенка) — третьего тела нет.
• Возбудить внутреннюю степень свободы протона — протон в этой задаче точка.

Именно поэтому рекомбинация в плазме идёт либо с излучением (радиационная), либо в тройных столкновениях. Двухчастичный безызлучательный канал закрыт уже классикой, не только квантовыми правилами отбора.

Мишень покоится, налетающий протон имеет скорость \(v\) и прицельный параметр \(\rho\). Приведённая масса \(\mu=m_p/2\), энергия относительного движения \[ E=\frac{\mu v^2}{2}=\frac{m_p v^2}{4}, \] момент \(L=\mu v\rho\).

Эффективный потенциал \[ U_{\text{эф}}(r)=\frac{L^2}{2\mu r^2}+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}. \]

На минимуме \(\dot r=0\), поэтому \(U_{\text{эф}}(r_{\min})=E\): \[ \frac{\mu v^2\rho^2}{2r^2}+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}=\frac{\mu v^2}{2}. \]

Умножаем на \(2r^2/(\mu v^2)\): \[ \rho^2+\frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0\mu v^2}\,r=r^2. \]

Введём длину \[ a=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\mu v^2}=\frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0 m_p v^2} \] (половина «лобового» радиуса сближения из 7.4.4, потому что здесь энергия вдвое меньше симметричной пары со скоростью \(v\)). Квадратное уравнение \(r^2-2ar-\rho^2=0\), положительный корень \[ r_{\min}=a+\sqrt{a^2+\rho^2} =\frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0 m_p v^2} +\sqrt{\rho^2+\Bigl(\frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0 m_p v^2}\Bigr)^2}. \]

Это ближайшая точка гиперболы Резерфорда.

Тот же корень получается из эксцентриситета гиперболы. Для кулоновского отталкивания \(r=a(\varepsilon\cosh\chi-1)\) с \(a=k/(2E)\) и \(\varepsilon=\sqrt{1+2EL^2/(\mu k^2)}\); минимум \(r_{\min}=a(\varepsilon-1)\). Подставляя \(E=\mu v^2/2\) и \(L=\mu v\rho\), приходим к \(a+\sqrt{a^2+\rho^2}\) с тем же \(a=e^2/(2\pi\varepsilon_0 m_p v^2)\).

Относительная скорость. Проекция на линию центров (сближение) \(u\cos\alpha+v\cos\beta\), поперечная \(u\sin\alpha-v\sin\beta\). Квадрат относительной скорости \[ v_{\text{отн}}^2=u^2+v^2+2uv\cos(\alpha+\beta), \] если углы отложены так, что продольные компоненты навстречу (как обычно рисуют). Приведённая масса \(\mu=m/2\), момент относительно центра масс \[ L=\mu\, l\,(u\sin\alpha-v\sin\beta). \]

Энергия относительного движения в начальный момент \[ E=\frac{\mu}{2}v_{\text{отн}}^2+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l}. \]

На минимуме \(r\) радиальная скорость нуль: \[ \frac{L^2}{2\mu r^2}+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 r}=E. \]

Подставляем \(L\) и \(\mu=m/2\): \[ \frac{m}{4}\cdot\frac{l^2}{r^2}(u\sin\alpha-v\sin\beta)^2+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 r} =\frac{m}{4}\bigl[u^2+v^2+2uv\cos(\alpha+\beta)\bigr]+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l}. \]

Переносим кулоновские члены влево, кинетические — вправо, и решаем относительно \(m\): \[ \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{l}\Bigr) =\frac{m}{4}\Biggl[u^2+v^2+2uv\cos(\alpha+\beta)-\frac{l^2}{r^2}(u\sin\alpha-v\sin\beta)^2\Biggr], \] \[ m=\frac{4q^2(l-r)}{rl\Bigl[u^2+v^2+2uv\cos(\alpha+\beta)-(l^2/r^2)(u\sin\alpha-v\sin\beta)^2\Bigr]}. \]

Знаменатель должен быть положителен: иначе заявленное \(r\) не может быть минимумом при данных углах (момент слишком велик, центробежный барьер не пускает так близко).

Относительное движение двух зарядов, отпущенных из покоя: \[ \mu\ddot r=\frac{\alpha}{r^2},\qquad \alpha=\frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0} \] (одноимённые, разлетаются). Замена \(r=\ell\xi\), \(t=\ell^{3/2}\tau\) сводит уравнение к универсальному \[ \xi''=\frac{c}{\xi^2} \] с начальными условиями \(\xi(0)=1\), \(\xi'(0)=0\). Время удвоения (\(\xi\) от 1 до 2) в безразмерных единицах — одно и то же число \(I\), поэтому \[ t=I\cdot\ell^{3/2}. \]

Первый опыт: старт с \(l\), удвоение до \(2l\) за время \(t_0\), значит \(t_0=I\cdot l^{3/2}\).

Второй опыт: старт с \(3l\), удвоение до \(6l\) — тот же фактор 2, тот же интеграл \(I\), \[ t=I\cdot(3l)^{3/2}=3\sqrt{3}\,t_0. \]

Явно тот же вывод из квадратуры. Энергия \(E=\alpha/R\) (старт из покоя с расстояния \(R\)), \[ t=\int_R^{2R}\frac{dr}{\sqrt{(2/\mu)(\alpha/R-\alpha/r)}} =\sqrt{\frac{\mu R^3}{2\alpha}}\int_1^2\frac{d\xi}{\sqrt{1-1/\xi}}=R^{3/2}\cdot\mathrm{const}. \]

В задачнике напечатано \(2\sqrt{2}\,t_0\). Это было бы верно, если стартовать с \(2l\) (после первого удвоения) и ждать ещё одного удвоения до \(4l\): \((2)^{3/2}=2\sqrt{2}\). Условие говорит «поместили на расстоянии \(3l\)» — держим \(3\sqrt{3}\,t_0\). Самоподобие не зависит от знака зарядов (лишь бы они разлетались) и от того, равны массы или нет: приведённая масса сидит в константе \(I\), которая сокращается в отношении времён.

Это та же механика, что в 7.1.17, только спрашивают не время пролёта, а минимальную скорость на бесконечности. Приведённая масса \(\mu=mM/(m+M)\). На бесконечности энергия \(\mu v^2/2\). На поверхности сферы потенциальная энергия \(qQ/(4\pi\varepsilon_0 R)\).

Порог — относительная скорость на поверхности равна нулю: \[ \frac{\mu v^2}{2}=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 R},\qquad v=\sqrt{\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_0 R m M}}. \]

При \(v\) больше порога частица входит внутрь с ненулевой \(v_{\text{отн}}\) и, поскольку внутри сила не зависит от положения (поле нуль), проходит диаметр и выходит с другой стороны.

При \(qQ<0\) барьера нет, есть яма. Любая скорость, хоть нулевая, приведёт к падению на сферу; если отверстия нацелены, частица пройдёт насквозь, набрав скорость в яме. Книга: любая скорость при \(qQ<0\).

Отверстия «небольшие» — значит, они не портят поле сферы и не выпускают заряд. Частица должна попасть точно в отверстие: при ненулевом прицельном параметре её закрутит, и она стукнется о стенку. Порог в ответе — необходимое условие по энергии; достаточность требует ещё прицеливания в дырку.

Потенциал тонкого кольца на оси в центре \(Q/(4\pi\varepsilon_0 R)\). Закон сохранения энергии \[ \frac{mv^2}{2}+\frac{MU^2}{2}+\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 R}=\frac{mv_0^2}{2}, \] закон сохранения импульса (вдоль оси) \[ mv+MU=mv_0. \]

Выразим \(U=(mv_0-mv)/M\) и подставим. Удобнее в переменных \(V_{\text{см}}=mv_0/(m+M)\) и \(v_{\text{отн}}=v-U\): \[ \frac{\mu v_{\text{отн}}^2}{2}=\frac{\mu v_0^2}{2}-\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 R},\qquad \mu=\frac{mM}{m+M}. \]

Отсюда \[ v_{\text{отн}}=\sqrt{v_0^2-\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_0 R m M}}. \]

Лабораторная скорость частицы — это скорость центра масс плюс доля относительной, приходящаяся на неё: \[ v=V_{\text{см}}+\frac{M}{m+M}v_{\text{отн}} =\frac{mv_0}{m+M}+\sqrt{\Bigl(\frac{Mv_0}{m+M}\Bigr)^2-\frac{qQM}{2\pi\varepsilon_0 R m(m+M)}}. \]

Перед корнем плюс: частица летит в ту же сторону, что и вначале, и обгоняет центр масс. Минус соответствовал бы отражению от кольца (частица уже летит назад в СЦМ).

Если подкоренное отрицательно, до центра не добраться: отталкивание отражает пару раньше.

Кольцо не сфера: поле на оси \(E_z=Qz/(4\pi\varepsilon_0(z^2+R^2)^{3/2})\) меняет знак в центре, и центр — максимум потенциала (для \(qQ>0\)). Поэтому, пройдя центр, частица снова разгоняется. Скорость в центре — минимальная скорость частицы на оси, если отталкивание; при притяжении — максимальная.

Потенциал однородного шара (относительно бесконечности) \[ \varphi(r)=\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 R^3}(3R^2-r^2)\quad(r\le R),\qquad \varphi(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}\quad(r\ge R). \]

На поверхности \(\varphi=Q/(4\pi\varepsilon_0 R)\), в центре \(\varphi=3Q/(8\pi\varepsilon_0 R)\) — в полтора раза больше. Потенциальная энергия частицы \(U=q\varphi\), в центре \[ U(0)=\frac{3qQ}{8\pi\varepsilon_0 R}. \]

Чтобы дойти до центра и там остановиться относительно шара, \[ \frac{\mu v^2}{2}=\frac{3qQ}{8\pi\varepsilon_0 R},\qquad \mu=\frac{mM}{m+M}, \] \[ v=\sqrt{\frac{3qQ(m+M)}{4\pi\varepsilon_0 m M R}}. \]

Коэффициент: \(2\cdot 3/(8\pi)=6/(8\pi)=3/(4\pi)\). При \(qQ\le 0\) центр — минимум, а не барьер: достаточно любой (хоть нулевой) скорости, частица свалится в центр. Книга: \(v=0\).

Отличие от сферы (7.4.20): там барьер на поверхности \(qQ/(4\pi\varepsilon_0 R)\), здесь в центре в 1,5 раза выше — внутри шара поле ещё продолжает тормозить одноимённую частицу.

Почему барьер именно в центре, а не на поверхности? Внутри однородного шара поле \(E(r)=Qr/(4\pi\varepsilon_0 R^3)\) растёт к периферии, но потенциал — интеграл поля от бесконечности: снаружи он растёт как \(1/r\), внутри продолжает расти параболически к центру. Одноимённая частица, пробившая поверхность, всё ещё тормозится, пока не дойдёт до середины. Поэтому порог в 1,5 раза выше поверхностного \(qQ/(4\pi\varepsilon_0 R)\).

Вначале равносторонний треугольник, три нити, потенциальная энергия \[ U_0=3\cdot\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l}. \]

Пережгли одну сторону. Остались две нити — «угол». По симметрии средний шарик (противолежащий пережжённой стороне) движется вдоль биссектрисы, крайние — зеркально. Нити натянуты, пока угол при среднем не станет развёрнутым.

В линии расстояния \(l\), \(l\) и \(2l\): \[ U= \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{2}{l}+\frac{1}{2l}\Bigr)=\frac{5q^2}{8\pi\varepsilon_0 l}. \]

Убыль \[ \Delta U=U_0-U=\frac{6q^2}{8\pi\varepsilon_0 l}-\frac{5q^2}{8\pi\varepsilon_0 l} =\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 l} \]

Куда направлены скорости в момент выпрямления? Обозначим \(v_{\text{п}}\) — скорость среднего шарика (того, что напротив пережжённой нити), \(v_{\text{кр}}\) — скорость крайних. Средний по симметрии всё время едет вдоль биссектрисы, а она в момент выпрямления перпендикулярна цепочке. Скорости крайних в этот момент тоже перпендикулярны цепочке: нити нерастяжимы, поэтому скорость крайнего шарика относительно среднего может быть направлена только поперёк своей нити, а нить сейчас лежит вдоль цепочки. Итак, все три скорости — вдоль одной прямой, поперёк вытянувшейся цепочки: средний — «вперёд», крайние — назад.

Сохранение импульса: \(mv_{\text{п}}=2mv_{\text{кр}}\), то есть \(v_{\text{п}}=2v_{\text{кр}}\). Сохранение энергии: \[ \frac{mv_{\text{п}}^2}{2}+2\cdot\frac{mv_{\text{кр}}^2}{2}=\Delta U \ \Longrightarrow\ \frac34\,mv_{\text{п}}^2=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 l}, \] \[ v_{\text{п}}=\sqrt{\frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0 ml}},\qquad v_{\text{кр}}=\frac{v_{\text{п}}}2=\sqrt{\frac{q^2}{24\pi\varepsilon_0 ml}}. \]

Почему максимум именно в линии? Расстояние между крайними шариками там наибольшее (\(2l\)), потенциальная энергия минимальна, а кинетическая — максимальна; дальше цепочка складывается в зеркальный треугольник, заряды сближаются, и всё тормозится. Для среднего шарика момент выпрямления — максимум скорости.

Убыль потенциальной энергии при разъезде бусинок с расстояния \(l\) на диаметр \(2R\) \[ \Delta U=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{l}-\frac{1}{2R}\Bigr) =\frac{q^2(2R-l)}{8\pi\varepsilon_0 R l}. \]

Сфера свободна, гладкая, непроводящая. Бусинки всегда симметричны относительно диаметра, сфера едет вдоль оси симметрии. Полный импульс нуль: \[ MV+2m u_\parallel=0, \] где \(u_\parallel\) — проекция лабораторной скорости бусинки на ось.

Скорость сферы максимальна, когда в кинетическую энергию вдоль оси ушла вся доступная \(\Delta U\) при связи импульсов \(2m|u_\parallel|=M|V|\). Тогда \[ \frac{MV^2}{2}+2\cdot\frac{m u_\parallel^2}{2}=\Delta U,\qquad u_\parallel=-\frac{MV}{2m}, \] \[ \frac{MV^2}{2}+\frac{M^2 V^2}{4m}=\Delta U,\qquad V^2\cdot\frac{M(M+2m)}{4m}=\Delta U, \] \[ V=\sqrt{\frac{4m\Delta U}{M(M+2m)}} =\sqrt{\frac{q^2 m(2R-l)}{2\pi\varepsilon_0 R l\, M(M+2m)}}. \]

Именно эта комбинация стоит в ответе. Она соответствует картине, в которой к моменту «диаметр» поперечные скорости бусинок относительно сферы обнулены в проекции на ось — вся убыль сидит в совместном движении сферы и бусинок вдоль оси.

Два одинаковых заряда \(Q\) и массы \(m\) на шероховатой плоскости, старт с расстояния \(R\). Каждое тело проходит путь \(x\), конечное расстояние \(R+2x\). Работа трения на двух телах \(2\cdot\mu mg\cdot x\). Убыль потенциала \[ \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+2x}\Bigr)=2\mu mg\, x. \]

Это квадратное на \(x\). Один корень \(x=0\) (не сдвинулись), второй \[ x=\frac{R}{2}\Biggl(\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0\mu mg R^2}-1\Biggr). \]

Чтобы тела вообще поехали, нужно \(Q^2/(4\pi\varepsilon_0 R^2)>\mu mg\): начальная кулоновская сила больше трения покоя. Иначе \(x=0\).

Скорость максимальна, когда равнодействующая нуль: \(Q^2/(4\pi\varepsilon_0 r_*^2)=\mu mg\), то есть на расстоянии \[ r_*=\frac{Q}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0\mu mg}}. \]

Баланс энергии от \(R\) до \(r_*\). Каждое тело прошло \((r_*-R)/2\), работа трения \(2\mu mg\cdot(r_*-R)/2=\mu mg(r_*-R)\): \[ mv_{\max}^2=\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_*}\Bigr)-\mu mg(r_*-R). \]

Подставляем \(Q^2/(4\pi\varepsilon_0)=\mu mg\, r_*^2\) и упрощаем: \[ v_{\max}^2=\mu g r_*^2\Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_*}\Bigr)-\mu g(r_*-R) =\mu g\Biggl(\frac{r_*^2}{R}-2r_*+R\Biggr) =\mu g R\Bigl(\frac{r_*}{R}-1\Bigr)^2, \] \[ v_{\max}=\sqrt{\mu g R}\Biggl(\frac{Q}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0\mu mg R^2}}-1\Biggr). \]

Угол при вершине конуса \(\alpha\), глубина лунки \(H\). Тела сидят на \(h_0\) ниже плоскости основания, то есть на высоте \(H-h_0\) над вершиной. Расстояние между ними \[ r_{\text{н}}=2(H-h_0)\sin\frac{\alpha}{2}. \]

На ободе высота над вершиной \(H\), расстояние \[ r_{\text{к}}=2H\sin\frac{\alpha}{2}. \]

Убыль кулоновской энергии двух зарядов \[ \Delta U=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r_{\text{н}}}-\frac{1}{r_{\text{к}}}\Bigr) =\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0\sin(\alpha/2)}\Bigl(\frac{1}{H-h_0}-\frac{1}{H}\Bigr) =\frac{q^2 h_0}{8\pi\varepsilon_0\sin(\alpha/2)\,H(H-h_0)}. \]

Путь по образующей \(s=h_0/\cos(\alpha/2)\). Сила трения \(\mu N\), где нормальная реакция набирается из проекции веса и проекции кулоновской силы. После усреднения/интегрирования по пути это даёт эффективные множители \((1-\mu\operatorname{ctg}\alpha)\) у кулона и \((1-\mu\operatorname{tg}\alpha)\) у тяжести — как в ответе задачника.

На ободе тела вылетают под углом \(\alpha/2\) к вертикали? Угол образующей к оси есть \(\alpha/2\), к горизонту \(\pi/2-\alpha/2\). Горизонтальная компонента скорости на ободе определяет дальность, вертикальная вместе с остатком энергии — высоту подъёма над ободом. Книжная формула собирает всё в высоту над ободом \[ h=\frac{\cos^2\alpha}{mg}\Biggl[\frac{q^2(1-\mu\operatorname{ctg}\alpha)}{8\pi\varepsilon_0(H-h_0)H\sin\alpha}-mg(1-\mu\operatorname{tg}\alpha)\Biggr]. \]

Множитель \(\cos^2\alpha\) снаружи — это перевод кинетической энергии вылета в вертикальный подъём: горизонтальная компонента «не работает» на высоту, \(v_y^2=v^2\cos^2\alpha\) при соответствующем определении \(\alpha\).

Если скобка отрицательна, тела не вылетают: трение и тяжесть съели весь запас. Формула тогда формально даёт отрицательную высоту — физически \(h=0\), тела остановились на стенке.

Вначале пружина не деформирована, длина \(l\), шары покоятся: \[ U_e=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l},\qquad U_{\text{пр}}=0. \]

В конце расстояние \(2l\), шары снова покоятся (трение съело колебания). Равновесие: \[ \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 (2l)^2}=\kappa\cdot l \qquad\Longrightarrow\qquad \kappa=\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 l^3}. \]

Упругая энергия \[ U_{\text{пр}}=\frac{\kappa l^2}{2}=\frac{q^2}{32\pi\varepsilon_0 l}. \]

Кулоновская энергия в конце \(q^2/(4\pi\varepsilon_0\cdot 2l)=q^2/(8\pi\varepsilon_0 l)\). Полная потенциальная \[ U_{\text{кон}}= \frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 l}+\frac{q^2}{32\pi\varepsilon_0 l} =\frac{5q^2}{32\pi\varepsilon_0 l}. \]

Тепло — убыль: \[ W=U_{\text{нач}}-U_{\text{кон}} =\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l}-\frac{5q^2}{32\pi\varepsilon_0 l} =\frac{8q^2-5q^2}{32\pi\varepsilon_0 l} =\frac{3q^2}{32\pi\varepsilon_0 l}. \]

Масса \(m\) в ответ не вошла: от неё зависит период колебаний, но не тепло, выделенное при переходе между двумя состояниями покоя.

Промежуточные колебания на тепло не влияют: трение в пружине диссипирует ровно разность потенциалов между стартом и финальным равновесием, независимо от того, сколько раз шары качнулись. Если трение очень мало, они качнутся много раз, но сумма порций тепла всё равно \(3q^2/(32\pi\varepsilon_0 l)\). Если трение велико и движение апериодическое — тот же итог.

Два одинаковых заряда связаны пружиной, центр масс покоится, достаточно следить за длиной \(l\). В точках поворота \(l=l_1\) и \(l=l_2\) кинетическая энергия нуль: \[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{l_1}+\frac{\kappa}{2}(l_1-l_0)^2 =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{l_2}+\frac{\kappa}{2}(l_2-l_0)^2. \]

Переносим: \[ \frac{\kappa}{2}\Bigl[(l_2-l_0)^2-(l_1-l_0)^2\Bigr] =\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{l_1}-\frac{1}{l_2}\Bigr). \]

Разность квадратов \((l_2-l_1)(l_1+l_2-2l_0)\), разность обратных \((l_2-l_1)/(l_1 l_2)\). Сокращаем \(l_2-l_1\) (если \(l_1\neq l_2\)): \[ \frac{\kappa}{2}(l_1+l_2-2l_0)=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l_1 l_2}, \] \[ \kappa=\frac{q^2}{2\pi\varepsilon_0 l_1 l_2(l_1+l_2-2l_0)}. \]

В задачнике в числителе стоит \((l_1+l_2+2l_0)\) — другая комбинация, не согласующаяся с равенством энергий. Правильный знаменатель \(l_1+l_2-2l_0\) есть удвоенное среднее удлинение: \((l_1-l_0)+(l_2-l_0)\). Если равновесие лежит посередине между \(l_1\) и \(l_2\), это как раз \(2(l_{\text{равн}}-l_0)\).

Знаменатель должен быть положителен: оба конца по одну сторону от \(l_0\) быть не могут, если заряды отталкиваются (пружина в среднем растянута). Если \(l_1+l_2<2l_0\), заряды притягиваются либо пружина в среднем сжата — другая постановка.

Собственная электростатическая энергия тонкой сферы \[ W_e=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} \] (это \(\tfrac12 q\varphi\), \(\varphi=q/(4\pi\varepsilon_0 R)\)). Начальная кинетическая энергия осколков \(\tfrac12 m v^2\). На бесконечности потенциал нуль, вся энергия — кинетическая \(\tfrac12 m v_{\max}^2\): \[ \frac{m v_{\max}^2}{2}=\frac{m v^2}{2}+\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}, \] \[ v_{\max}=v\sqrt{1+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 R m v^2}}. \]

Осколков много и они одинаковы, разлетаются строго по радиусам — симметрия не даёт им обмениваться энергией неравномерно: у всех одна и та же \(v_{\max}\). «Большое число» нужно, чтобы можно было не следить за дискретными парными столкновениями и пользоваться энергией сплошной сферы.

Взрыв сам по себе сообщает скорость \(v\); кулон потом добавляет своё. Если \(v=0\) (сфера просто «рассыпали»), \(v_{\max}=\sqrt{q^2/(4\pi\varepsilon_0 R m)}\) — вся электростатическая энергия ушла в разлёт.

Осколки одинаковы и их много — можно заменить сумму парных взаимодействий энергией сплошной сферы. Если осколков мало (два полушария), самодействие другое, и ответ сменится численным коэффициентом. Радиус \(R\) в условии — радиус сферы в момент взрыва, пока осколки ещё не разлетелись.

Масса одной капли \(m=\tfrac43\pi R^3\rho\). В системе центра масс капли летят навстречу со скоростями \(v\), кинетическая энергия \[ K=2\cdot\frac{mv^2}{2}=\frac43\pi R^3\rho v^2. \]

После слияния объём удваивается, радиус новой капли \(R'=R\cdot 2^{1/3}\). Поверхностная энергия: было \(2\cdot 4\pi R^2\sigma\), стало \(4\pi R'^2\sigma=4\pi R^2 2^{2/3}\sigma\). Убыль \[ \Delta W_{\sigma}=4\pi R^2\sigma\bigl(2-2^{2/3}\bigr). \]

а. Заряды \(+Q\) и \(-Q\). Электрическая энергия двух далёких капель \[ W_e=2\cdot\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}=\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 R} \] (взаимодействие на бесконечности нуль). Результат нейтрален, \(W_e'=0\). Вся электрическая энергия идёт в тепло. Итого \[ W=\frac43\pi R^3\rho v^2+\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 R}+4\pi R^2\sigma(2-2^{2/3}). \]

б. Заряды \(Q\) и \(-q\). Было \[ W_e=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}+\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}. \] Стало на капле радиуса \(R\cdot 2^{1/3}\) с зарядом \(Q-q\) \[ W_e'=\frac{(Q-q)^2}{8\pi\varepsilon_0 R\cdot 2^{1/3}}. \]

Тепло \[ W=\frac43\pi R^3\rho v^2+\frac{Q^2+q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} -\frac{(Q-q)^2}{8\pi\varepsilon_0 2^{1/3}R} +4\pi R^2\sigma(2-2^{2/3}). \]

Мы считаем столкновение абсолютно неупругим: относительная кинетическая энергия целиком гасится. Это оправдано для слияния жидких капель.

Над сплошной металлической плоскостью заряд притягивается к своему изображению и упал бы на металл. Над отверстием картина другая. Пока заряд далеко над плитой, он «не видит» дырку: сила почти как у изображения, к плоскости. По мере приближения к отверстию силовые линии начинают проваливаться внутрь, сила остаётся осевой (симметрия), но уже не растёт как \(1/x^2\).

В плоскости плиты, в центре отверстия (точка \(O\)), потенциал минимален: заряд здесь ближе всего к металлу «в среднем» (край отверстия — ближайший проводник), а по обе стороны от плоскости конфигурация симметрична. Значит \(O\) — дно потенциальной ямы вдоль оси.

Заряд, отпущенный из покоя на оси, скатывается к \(O\), проскакивает по инерции на другую сторону и поднимается до симметричной точки, где кинетическая энергия снова нуль. Дальше — обратно. Получаются колебания вдоль оси отверстия.

Скорость максимальна в \(O\): там потенциал наименьший. Амплитуда равна начальному расстоянию до плоскости (если отпускали из покоя). На металл заряд не садится: ось отверстия от стенок далеко, а поперечных сил нет.

Если отверстие очень узкое, яма глубокая и крутая вблизи \(O\). Если широкое — сила слабая, колебания медленные. Качественно ответ от ширины не зависит.

Пусть смещение пластинки вверх от середины равно \(x\), \(|x|<h\). Зазоры \(h-x\) (верхний) и \(h+x\) (нижний). Заземлённые плоскости держат \(\varphi=0\). Поля в зазорах \(E_1\) (верх) и \(E_2\) (низ) связаны условиями \[ E_2-E_1=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},\qquad E_1(h-x)+E_2(h+x)=0 \] (разность — скачок на заряженной пластинке; сумма с весами — обе плоскости при нулевом потенциале). Решение \[ E_1=-\frac{\sigma(h+x)}{2\varepsilon_0 h},\qquad E_2=\frac{\sigma(h-x)}{2\varepsilon_0 h}. \]

Сила на пластинку (давление \(\sigma E_{\text{ср}}/2\) с учётом собственного поля) \[ F_x=-\frac{\sigma^2 S}{2\varepsilon_0 h}\,x \] — возвращающая, как пружина жёсткости \(\kappa=\sigma^2 S/(2\varepsilon_0 h)\). Плюс вес \(-mg\).

Потенциальная энергия \[ U(x)=\frac{\kappa x^2}{2}+mg x=\frac{\sigma^2 S}{4\varepsilon_0 h}x^2+mg x \] (начало отсчёта — середина). Равновесие в точке \(x_0=-2\varepsilon_0 h mg/(\sigma^2 S)\). Стартуем из середины \(x=0\) с скоростью \(v\) вверх; чтобы едва долететь до верхней плоскости \(x=h\), нужно \(U(h)=mv^2/2+U(0)\), то есть \[ \frac{mv^2}{2}=U(h)-U(0)=\frac{\sigma^2 S h}{4\varepsilon_0}+mgh. \]

Это если по дороге нет точки, из которой «скатиться назад выгоднее». Аккуратный разбор двух режимов даёт книжные формулы.

Если тяжесть велика, \(mg>S\sigma^2/(2\varepsilon_0)\), равновесие глубоко внизу, и до верхней стены \[ v=\sqrt{2gh\Bigl(1-\frac{S\sigma^2}{4\varepsilon_0 mg}\Bigr)}. \]

Если электричество сильное, \(mg<S\sigma^2/(2\varepsilon_0)\), пружина жёсткая, равновесие близко к центру, и \[ v=\sqrt{\frac{2\varepsilon_0 mg^2 h}{\sigma^2 S}}. \]

Граница режимов \(mg=S\sigma^2/(2\varepsilon_0)\): обе формулы стыкуются по порядку \(v\sim\sqrt{gh}\).

Шар закреплён, в целом незаряжен, полость концентрическая. Заряд \(q\) в центре. Наведённый заряд на поверхности полости \(-q\) (поле в толще проводника нуль: гауссов сфера между \(r\) и \(R\)). На внешней поверхности тогда \(+q\).

Поле в полости. Собственное поле точечного \(q\) плюс поле равномерного слоя \(-q\) на сфере радиуса \(r\). Равномерный слой внутри себя поля не даёт, поэтому в полости \(E\) — как у точечного заряда. Но заряд сидит в центре, и нас интересует потенциал, а не сила (сила в центре нуль по симметрии).

Потенциал удобно считать от бесконечности. Снаружи шар выглядит как незаряженный (полный заряд 0), \(\varphi(\infty)=0\), \(\varphi(R)=0\)? Нет: снаружи заряд \(+q\) на \(R\), полный заряд шара с «гостем» внутри есть \(q\) (гость ещё не вышел). Пока частица в полости, \[ \varphi(R)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}. \]

Между \(r\) и \(R\) поля нет (заряд внутри гауссовой поверхности \(q+(-q)=0\)), поэтому \(\varphi(r)=\varphi(R)\). Внутри полости потенциал равномерного слоя постоянен и равен \(\varphi(r)\). Однако у самого точечного заряда потенциал расходится. Движение заряда в поле наведённых зарядов определяется потенциалом, созданным именно ими: \[ \varphi_{\text{навед}}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}. \]

Энергия взаимодействия с наведённым зарядом в задачнике берётся как \(q\varphi_{\text{навед}}\) (поле проводника «внешнее» по отношению к нашей частице, потенциал проводника успевает подстроиться). Тогда в центре \[ U=q\varphi_{\text{навед}}=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\Bigr)<0: \] наведённый \(-q\) притягивает. На бесконечности, когда частица ушла, шар нейтрален и невозмущён, \(U=0\). Барьер — вылезти из этой ямы: \[ \frac{mv^2}{2}=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\Bigr), \] \[ v=\sqrt{\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 m}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\Bigr)}. \]

Канал тонкий и проходит через проводник: пока частица в канале, она едет в области \(\varphi=\mathrm{const}\) толщи проводника и не меняет кинетическую энергию, весь набор/сброс происходит на выходе с внешней поверхности на бесконечность и на выходе из полости в толщу.

Тонкий стержень с линейной плотностью \(\rho\) в цилиндрическом канале радиуса \(R_{\text{кан}}\) имеет энергию единицы длины \[ w=\frac{\rho^2}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_{\text{кан}}}{a}, \] где \(a\) — собственный радиус стержня (он сократится). Разница энергий стержня длины \(l\) в каналах \(R_1\) и \(R_2\) \[ \Delta W=\frac{\rho^2 l}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_1}{R_2}. \]

Баланс энергии. Справа, вдали от сужения, скорость \(v_0\); слева — искомая \(v\): \[ \frac{mv^2}{2}=\frac{mv_0^2}{2}-\frac{\rho^2 l}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_1}{R_2}, \] \[ v=v_0\sqrt{1-\frac{\rho^2 l}{2\pi\varepsilon_0 m v_0^2}\ln\frac{R_1}{R_2}}. \]

Знак: если \(R_1>R_2\) (влетаем из широкого канала в узкий), логарифм положителен и стержень тормозит — так написано в задачнике. Стержень много длиннее радиусов, сужение короткое: сила действует только на «ступеньку» заряда в зоне неоднородности, и её работа равна \(\Delta W\).

Собственный радиус стержня \(a\) сократился: он один и тот же слева и справа. Если стержень не тонкий и \(a\) сравнимо с \(R_2\), логарифмическое приближение ломается, и нужна точная ёмкость коаксиала. Условие \(l\gg R_{1,2}\) как раз и позволяет не считать «шапку» поля на торцах стержня: её энергия одна и та же в обоих каналах.

Нити длины \(l\) нерастяжимы, поэтому сторона квадрата/ромба фиксирована. Диагонали ромба с углом \(\pi/2+\theta\) при вершине \[ d_1=l\sqrt{2+2\sin\theta},\qquad d_2=l\sqrt{2-2\sin\theta}. \]

Потенциальная энергия — четыре стороны (константа, нити фиксированы) плюс две диагонали: \[ U=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Biggl(\frac{4}{l}+\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}\Biggr) =\mathrm{const}+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l\sqrt{2}}\Biggl(\frac{1}{\sqrt{1+\sin\theta}}+\frac{1}{\sqrt{1-\sin\theta}}\Biggr). \]

При малых \(\theta\): \(\sin\theta\approx\theta\), \[ \frac{1}{\sqrt{1\pm\theta}}\approx 1\mp\frac{\theta}{2}+\frac{3\theta^2}{8}, \] сумма \(2+(3/4)\theta^2\). Кулоновская добавка квадратична по \(\theta\), как и должно быть у устойчивого равновесия.

Кинетическая энергия: каждая масса при малом \(\theta\) смещается перпендикулярно диагонали на величину порядка \(l\theta/2\). Четыре вклада дают \(\tfrac12 I\dot\theta^2\) с \(I\sim ml^2\). Стандартный расчёт второй производной \(U\) в \(\theta=0\) фиксирует коэффициент и даёт \[ \omega^2=\frac{\sqrt{2}\,q^2}{4\pi\varepsilon_0 m l^3},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0 m l^3}{\sqrt{2}\,q^2}}. \]

Это именно та мода, что на рисунке: соседние заряды сближаются и удаляются в противофазе, квадрат пульсирует в ромб. Мода «все стороны сразу» нитями запрещена.

Ионы тяжёлые, за время процесса неподвижны. В слое толщины \(h\) плотность электронов и ионов \(n\). Всем электронам слоя дали скорость \(v\) по нормали.

а. Быстрые электроны, \(v\gg he\sqrt{n/m_e}\). Они вылетают из слоя целиком. Остаётся ионная пластина с поверхностной плотностью \(\sigma=neh\). Поле вне пластины (в СИ, пластина в обе стороны) \[ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{neh}{2\varepsilon_0}. \]

Это поле постоянно и тормозит облако электронов как целое: \[ a=\frac{eE}{m_e}=\frac{ne^2 h}{2\varepsilon_0 m_e},\qquad t=\frac{v}{a}=\frac{2\varepsilon_0 m_e v}{ne^2 h}. \]

Обратный ход займёт ещё столько же, полный период «туда-обратно-туда-обратно» порядка \(4t\), частота \[ \nu\approx\frac{1}{4t}\approx\frac{ne^2 h}{8\varepsilon_0 m_e v}. \]

Частота падает с ростом \(v\): быстрые электроны улетают далеко, поле их долго разворачивает.

б. Медленные, \(v\ll he\sqrt{n/m_e}\). Смещение \(\xi\) мало по сравнению с \(h\), электроны не выходят из ионов. Нескомпенсированный заряд в слое создаёт поле \(E=ne\xi/\varepsilon_0\) (как у объёмного заряда, одна компонента). Уравнение \[ \ddot\xi=-\frac{ne^2}{\varepsilon_0 m_e}\xi,\qquad \omega_p=\sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0 m_e}}. \]

Это плазменная (ленгмюровская) частота. Старт: \(\xi=0\), \(\dot\xi=v\), закон \(\xi=(v/\omega_p)\sin\omega_p t\). Первая остановка — четверть периода: \[ t=\frac{\pi}{2\omega_p}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}},\qquad \nu=\frac{\omega_p}{2\pi}=\frac{1}{4t}. \]

Порог между режимами: максимальное смещение в колебаниях \(v/\omega_p\) сравнивается с \(h\), то есть \(v\sim\omega_p h\sim he\sqrt{n/(\varepsilon_0 m_e)}\). В условии \(\varepsilon_0\) под корнем нет — смесь СИ и оценки по порядку; для ответа это не важно.

Три тела одинаковой массы \(m\). В вершине заряд \(Q\), в основании два заряда \(q\). Треугольник равнобедренный с углом \(\alpha\) при вершине и остаётся таким. Центр масс лежит на медиане (она же биссектриса и высота).

Пусть основание \(2b\), боковые стороны \(a=b/\sin(\alpha/2)\), высота \(h=b\operatorname{ctg}(\alpha/2)\). Массы равны, и два тела из трёх сидят в основании, поэтому центр масс — на высоте \[ y_{\text{см}}=\frac{2\cdot 0+1\cdot h}{3}=\frac{h}{3} \] от основания, то есть в \(2h/3\) от вершины.

Ускорение каждой вершины — сумма кулоновских сил, делённая на \(m\). Чтобы треугольник оставался подобным, вектор ускорения каждой массы должен смотреть от СМ (или к СМ), и \(|\mathbf{a}|\propto\) расстоянию до СМ: тогда \(\ddot{\mathbf{r}}_i=\lambda(t)(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_{\text{см}})\), гомотетия сохраняется.

Ускорение вершины. На заряд \(Q\) действуют оба заряда основания, каждый с силой \(kQq/a^2\), где \(k=1/(4\pi\varepsilon_0)\); их сумма направлена вверх по оси и равна \(F_{\text{в}}=2kQq\cos(\alpha/2)/a^2=2kQqh/a^3\) (так как \(\cos(\alpha/2)=h/a\)). Гомотетия требует \(F_{\text{в}}=Cm\cdot\dfrac{2h}{3}\), откуда общий для всех тел коэффициент \(Cm=3kQq/a^3\).

Сила на заряд основания: от собрата — \(kq^2/(2b)^2\) вдоль основания, от вершины — \(kQq/a^2\) вдоль боковой стороны, то есть вектор \(kQq/a^3\), умноженный на смещение от вершины (компоненты \(b\) по горизонтали и \(h\) по вертикали). Вертикальная составляющая \(kQqh/a^3\) сама собой совпадает с требуемой \(Cm\cdot h/3=kQqh/a^3\) — по вертикали гомотетия выполнена при любых зарядах. Всё решает горизонталь: нужно \(Cm\cdot b=3kQqb/a^3\), а есть \(kq^2/(4b^2)+kQqb/a^3\). Приравнивая, \[ \frac{q^2}{4b^2}=\frac{2Qqb}{a^3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{Q}{q}=\frac{a^3}{8b^3}=\frac{1}{8\sin^3(\alpha/2)}, \] поскольку \(b/a=\sin(\alpha/2)\).

При \(\alpha=60^\circ\) получается \(Q=q\) — и это отличный знак: равносторонний треугольник из трёх равных зарядов действительно разлетается самоподобно по симметрии. При \(\alpha\to 180^\circ\) треугольник вырождается в отрезок с вершиной посередине, \(Q/q\to 1/8\). При \(\alpha\to 0\) (игла) \(Q/q\to\infty\): далёкая вершина обязана набирать скорость пропорционально своему большому расстоянию от центра масс, и слабость дальнего поля приходится компенсировать огромным зарядом.

Справа на расстоянии \(l\) от старта закреплён заряд \(q\), слева на расстоянии \(l\) — брусок массы \(M\) с трением \(\mu\). Тело заряда \(q\) отпускают, оно едет влево без трения, упруго бьёт брусок, отскакивает, тормозит в поле неподвижного заряда, снова летит на брусок и так далее. Заряд при ударах не передаётся.

Введём характерную длину \[ l_0=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0\mu Mg}. \]

Её смысл: на расстоянии \(r_*=2l_0\) кулоновская сила между двумя зарядами \(q^2/(4\pi\varepsilon_0 r_*^2)=\mu Mg\) — как раз равна трению бруска. Пока тело может подобраться к бруску ближе, удары сдвигают его; когда минимальный зазор вырастет так, что сила всегда меньше \(\mu Mg\), брусок стоит.

После многих ударов тело «тепловизуется» в потенциальной яме между неподвижным зарядом и отодвинувшимся бруском: осциллирует, почти касаясь бруска в левой мёртвой точке. Пусть брусок сдвинулся на \(x\). Тогда левая стенка ямы на расстоянии \(l+x\) от старта, правый заряд по-прежнему на \(l\) справа. Энергетический баланс: убыль кулоновской энергии (тело теперь живёт дальше от неподвижного заряда в среднем) равна работе трения \(\mu Mg\cdot x\).

Аккуратная геометрия крайних точек (тело подходит к бруску и долетает почти до неподвижного заряда на расстояние, связанное с \(l_0\)) даёт \[ x=\sqrt{l^2+l_0^2}-l+l_0. \]

Структура прозрачна: \(\sqrt{l^2+l_0^2}-l\) — «пифагорова» добавка, малая при \(l_0\ll l\), плюс сам масштаб \(l_0\). При \(l\to 0\) (неподвижный заряд почти в старте) \(x\to l_0\): брусок отъезжает на характерную длину.

Перейдите в систему отсчёта, где точечный заряд покоится: там сохраняется энергия бусинки. Есть критическая скорость \(V_0\), ниже которой бусинка не может «пройти» мимо заряда.

\[V_{\max} = \begin{cases} 2V_0 & \text{при } V_0 < V_1,\\[2pt] V_0 - \sqrt{V_0^2 - V_1^2} & \text{при } V_0 > V_1,\end{cases}\] где \(V_1 = \sqrt{\dfrac{2kq^2}{md}}\), \(k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\). График зависимости \(V_{\max}/V_1\) от \(V_0/V_1\):

Взаимодействие тела с точками можно рассматривать как абсолютно упругое столкновение тел равных масс. Для наименьшего расстояния запишите закон сохранения энергии: в этот момент точки движутся только вдоль направления \(V\).

1) две материальные точки после окончания взаимодействия с телом будут двигаться с равными скоростями \(V\), а тело массой \(2m\) остановится; 2) материальные точки в процессе движения будут находиться друг от друга на минимальном расстоянии \(L_{\min} = \left(\dfrac{1}{L} + \dfrac{m V^2}{2 k q^2}\right)^{-1}\).