Конденсатор с диэлектриком, диэлектрики

Вектор электрического смещения \(D\) одинаков в обоих слоях и равен поверхностной плотности свободных зарядов; напряжение — сумма \(D\,d_i/(\varepsilon_i\varepsilon_0)\) по слоям. Поляризационный заряд на границе — разность поляризаций слоёв.

1) \(2{,}4\) мКл/м\(^2\);  2) \(0{,}1\) мКл/м\(^2\).

а. Молекула диэлектрика — либо готовый диполь (вода), либо «пружинка» из ядра и электронной оболочки (гелий, стекло). Внешнее поле \(E_0\) ориентирует готовые диполи и чуть раздвигает заряды в неполярных молекулах. На границе образца «торчат» связанные заряды: с одной стороны плюс, с другой минус. Их поле \(E'\) направлено против \(E_0\), поэтому внутри

Именно это ослабление мы и наблюдаем как «поле в веществе меньше, чем в пустоте».

б. Диэлектрическая проницаемость говорит, во сколько раз поле упало при тех же свободных зарядах:

Эквивалентное определение через вектор индукции: \(D=\varepsilon_0\varepsilon E\), причём \(\operatorname{div} D=\rho_{\text{своб}}\). Для вакуума \(\varepsilon=1\), для обычных диэлектриков \(\varepsilon>1\), у воды \(\varepsilon\approx80\).

в. Поляризация газа \(P=np\), где \(p=\alpha E\) — момент одной молекулы, \(n\) — концентрация. Тогда \(\varepsilon-1=P/(\varepsilon_0 E)=n\alpha/\varepsilon_0\). У идеального газа \(n=P/(kT)\), поэтому при фиксированной температуре

Само \(\varepsilon\) при атмосферном давлении лишь чуть больше единицы: для воздуха \(\varepsilon-1\sim6\cdot10^{-4}\).

Связанные заряды — не «новые электроны», а чуть смещённые свои. На границе куска они не компенсируются: с одной стороны торчат плюсы, с другой минусы. Их поле внутри направлено против внешнего, и результирующее \(E\) меньше, чем было бы в пустоте при тех же свободных зарядах. Во сколько раз меньше — это \(\varepsilon\).

В газе молекул мало, поправка \(\varepsilon-1\) пропорциональна концентрации, а та — давлению (при фиксированной температуре). Откачали газ — \(\varepsilon\to1\). Сжали вдвое — поправка удвоилась. У жидкости концентрация в тысячу раз выше, и \(\varepsilon-1\) уже порядка единицы: вода, спирт, стекло заметно гасят поле, воздух — почти нет.

При нормальных условиях один моль любого идеального газа занимает \(22{,}4\) л, поэтому

То же из \(n=P/(kT)=1{,}01\cdot10^5/(1{,}38\cdot10^{-23}\cdot273)\). Поле \(E=300\) В/см \(=3\cdot10^4\) В/м. Поляризация

Момент одного атома

Округляя, \(p=7{,}4\cdot10^{-37}\) Кл·м. Для сравнения: если бы заряд \(e\) сместился на \(10^{-15}\) м (ядерные расстояния), момент был бы \(1{,}6\cdot10^{-34}\) Кл·м. У нас в сотни раз меньше — электронная оболочка гелия очень жёсткая, атом почти не деформируется.

Макроскопическая поляризация \(P=(\varepsilon-1)\varepsilon_0 E\) — сумма крошечных атомных диполей. Делим на концентрацию \(n=N_A/V_\mu\) и получаем момент одного атома. У гелия \(p\sim7\cdot10^{-37}\) Кл·м: заряд \(e\), смещённый на \(5\cdot10^{-18}\) м, в сотни раз меньше ядерных размеров. Электронная оболочка почти не поддалась.

Поляризуемость \(\alpha=p/E\sim4\pi\varepsilon_0 a^3\) при \(a\sim0{,}3\) Å даёт тот же порядок, что измеренный \(\varepsilon-1=n\alpha/\varepsilon_0\). Безразмерная комбинация \(n\alpha/\varepsilon_0\) и есть \(7{,}4\cdot10^{-5}\). Круг замкнулся: макроскопическое \(\varepsilon\) честно выросло из атомного размера.

Концентрация молекул насыщенного пара при \(18^\circ\mathrm{C}\):

Средний момент в поле \(E=10^3\) В/м

Порядок \(10^{-34}\) Кл·м. Справочник даёт собственный момент молекулы воды \(p_0=0{,}61\cdot10^{-29}\) Кл·м — в \(\sim4\cdot10^4\) раз больше.

Расхождение не ошибка. Справочник сообщает «длину стрелки» одной молекулы. Мы измерили среднюю проекцию этих стрелок на поле. В теории Ланжевена

потому что параметр ориентации \(p_0 E/kT\sim0{,}61\cdot10^{-29}\cdot10^3/(1{,}38\cdot10^{-23}\cdot291)\sim1{,}5\cdot10^{-4}\ll1\): молекулы почти не выстроены, и средний момент в \(kT/(p_0 E)\) раз меньше собственного. Численно \(p_0^2 E/(3kT)\sim10^{-34}\) Кл·м — ровно то, что мы получили из \(\varepsilon\).

Справочник даёт собственный момент молекулы воды \(p_0\) — «длину стрелки». Мы измерили среднюю проекцию этих стрелок на слабое поле. Параметр ориентации \(p_0 E/kT\sim5\cdot10^{-5}\): молекулы почти не выстроены, средний момент в десятки тысяч раз меньше собственного. Расхождение — не ошибка, а разница между \(p_0\) и \(p_{\text{ср}}=p_0^2 E/(3kT)\).

Почему тогда \(\varepsilon-1\) пара воды заметно больше, чем у гелия? Потому что сам \(p_0\) огромный (молекула полярная), и даже крошечная ориентация даёт вклад. Деформационная поляризуемость воды добавляет ещё немного — отсюда лишний множитель два в сравнении с чистым Ланжевеном.

Две плоскости несут \(\pm\sigma\). По теореме Гаусса \(D=\sigma\) везде между ними (свободных зарядов внутри нет). Внутри прокладки толщины \(h\)

в воздушном зазоре толщины \(d-h\)

Поляризация прокладки \(P=\varepsilon_0(\varepsilon-1)E_{\text{д}}=(\varepsilon-1)\sigma/\varepsilon\). Связанный заряд на её гранях

Разность потенциалов между плоскостями

Если прокладка заполняет весь зазор (\(h=d\)), получаем обычное \(V=\sigma d/(\varepsilon_0\varepsilon)\). Если прокладки нет (\(h=0\)), \(V=\sigma d/\varepsilon_0\).

Свободный заряд на плоскостях фиксирован, поэтому \(D=\sigma\) и в диэлектрике, и в воздухе. Поле же в диэлектрике в \(\varepsilon\) раз меньше. Связанный заряд на гранях прокладки \(P=D(1-1/\varepsilon)\) частично экранирует обкладки. Разность потенциалов — сумма \(E_{\text{возд}}(d-h)+E_{\text{д}}h\).

Предел \(\varepsilon=1\): прокладки нет, \(V=\sigma d/\varepsilon_0\). Предел \(\varepsilon\to\infty\): диэлектрик как металл, внутри поле нуль, \(V=\sigma(d-h)/\varepsilon_0\) — конденсатор с уменьшенным зазором. Оба конца формулы правильные, и это лучшая проверка, чем подстановка чисел.

Пусть нормаль к пластинке составляет угол \(\alpha\) с однородным полем \(E_0\) вдали. Тогда

Касательная \(E\) непрерывна, поэтому внутри \(E_\parallel=E_0\sin\alpha\). Нормальная \(D\) непрерывна (свободного заряда на гранях нет), а снаружи \(D_{\perp}=\varepsilon_0 E_0\cos\alpha\), внутри \(D_{\perp}=\varepsilon_0\varepsilon E_\perp\). Значит

Полное поле внутри пластинки

Поле уже не параллельно внешнему: оно «преломляется», отклоняясь к плоскости пластинки, потому что нормальная компонента ослаблена в \(\varepsilon\) раз, а касательная — нет.

На границе без свободного заряда непрерывны \(E_\parallel\) и \(D_\perp\). Касательная компонента проходит без изменения, нормальная ослабляется в \(\varepsilon\) раз. Поле внутри «преломляется» к плоскости пластинки. Полный модуль собирается теоремой Пифагора.

Вдоль поля (\(\alpha=90^\circ\)) связанных зарядов на бесконечных гранях нет, \(E=E_0\). Поперёк (\(\alpha=0\)) — обычная пластинка в конденсаторе, \(E=E_0/\varepsilon\). При \(\varepsilon\to\infty\) остаётся только касательная, как в тонком слое проводника. Три предела — три знакомые задачи.

Пустой плоский конденсатор: \(E_0=\sigma/\varepsilon_0\), \(V_0=E_0 d=\sigma d/\varepsilon_0\), \(C_0=Q/V_0=\varepsilon_0 S/d\).

Заполнили зазор целиком диэлектриком \(\varepsilon\). Свободный заряд тот же, но внутри \(E=E_0/\varepsilon\), поэтому

Ёмкость увеличится в \(\varepsilon\) раз.

Можно сказать иначе: связанные заряды на поверхности диэлектрика частично «экранируют» обкладки, эффективный свободный заряд, который создаёт поле, меньше, потенциал падает, \(C=Q/V\) растёт.

Ёмкость \(C=Q/V\). При том же свободном заряде поле в диэлектрике в \(\varepsilon\) раз меньше, напряжение в \(\varepsilon\) раз меньше, ёмкость в \(\varepsilon\) раз больше. Связанные заряды частично гасят обкладки — вот и весь механизм. Формула \(C=\varepsilon_0\varepsilon S/d\) есть определение \(\varepsilon\) для плоского конденсатора.

Воздух \(\varepsilon\approx1{,}0005\) — ёмкость почти как у пустого. Стекло \(\varepsilon\sim6\) — вшестеро «ёмче». Вода \(\varepsilon\approx80\), но вода ещё и проводит: постоянный ток утечёт, и конденсатор с водой — уже не конденсатор, а резистор. Формальный предел \(\varepsilon\to\infty\) — короткое замыкание обкладок.

До вытекания: ёмкость \(C=\varepsilon C_0\), заряд \(Q=CV=\varepsilon C_0 V\), разность потенциалов \(V\).

Конденсатор отключён, \(Q=\operatorname{const}\). После вытекания диэлектрика ёмкость стала \(C_0\), поэтому новая разность потенциалов

По условию \(V'=2V\), следовательно

Физика простая: связанные заряды, которые раньше ослабляли поле, уплыли вместе с жидкостью. Поле выросло, напряжение выросло. Заряд никуда не делся — деваться ему некуда, провода нет.

Конденсатор отсоединён — заряд заморожен. Вытек диэлектрик, ёмкость упала в \(\varepsilon\) раз, \(V=Q/C\) выросло в \(\varepsilon\) раз. Нам сказали «удвоилось», значит \(\varepsilon=2\). Физика: связанные заряды уплыли вместе с жидкостью, экранировка пропала, поле выросло.

Если бы конденсатор сидел на батарее, напряжение было бы прибито, и вытек бы заряд, а не выросло \(V\). Условие «отсоединённый» решает, что сохраняется. Керосин и трансформаторное масло как раз около \(\varepsilon=2\) — задача не про экзотику, а про обычную заливку.

До заполнения заряд обкладок \(Q_1=CV\). После заполнения жидкостью ёмкость стала \(\varepsilon C\), напряжение по-прежнему \(V\), заряд

Через источник прошёл заряд

Откуда он взялся. Поле в диэлектрике меньше, чем было в воздухе, при том же \(V\). Чтобы держать прежнее напряжение на выросшей ёмкости, батарея подгоняет на обкладки дополнительный свободный заряд. Связанные заряды жидкости частично его экранируют, и поле остаётся равным \(V/d\).

Знак: заряд идёт от батареи на положительную обкладку, то есть через источник «в сторону плюса конденсатора».

На батарее напряжение закреплено, ёмкость растёт в \(\varepsilon\) раз, батарея докачивает заряд \(\Delta Q=(\varepsilon-1)CV\). Именно он проходит через источник. Связанные заряды жидкости частично экранируют обкладки, и чтобы держать прежнее \(V\), свободного заряда нужно больше.

Сначала два одинаковых конденсатора. Каждый с диэлектриком имеет ёмкость \(\varepsilon C\), они параллельны и заряжены до \(V\). Суммарный заряд

Батарею отключили. Из одного конденсатора вытек диэлектрик: теперь ёмкости \(\varepsilon C\) и \(C\), они по-прежнему параллельны (провод остался), общая ёмкость \(C(\varepsilon+1)\). Новое напряжение

Поскольку \(2\varepsilon/(\varepsilon+1)>1\) при \(\varepsilon>1\), напряжение выросло? \(2\varepsilon/(\varepsilon+1)\) при \(\varepsilon=2\) равно \(4/3>1\), да выросло. Но в исходном ответе \(\Delta V=(\varepsilon-1)V/(\varepsilon+1)=V-V'\) было бы отрицательным, если \(V'>V\).

Считаем ещё раз. \(2\varepsilon/(\varepsilon+1)\) vs 1: \(2\varepsilon\) vs \(\varepsilon+1\), \(\varepsilon\) vs 1. Да, \(V'>V\). Исходный текст писал \(V'=2\varepsilon V/(\varepsilon+1)\) и \(\Delta V=V-V'=(\varepsilon-1)V/(\varepsilon+1)\) — это неверно арифметически:

А \(V'-V=(\varepsilon-1)V/(\varepsilon+1)\). Задачник спрашивает «как изменится» и даёт положительную величину \((\varepsilon-1)V/(\varepsilon+1)\). Это приращение напряжения: оно выросло на \((\varepsilon-1)V/(\varepsilon+1)\). В старом тексте знак «уменьшения» был опиской в интерпретации, формула \(\Delta V=(\varepsilon-1)V/(\varepsilon+1)\) как модуль изменения верна.

Для \(n\) параллельных: было \(n\varepsilon C\), заряд \(Q=n\varepsilon C V\). Стало \((n-1)\varepsilon C+C=C[\varepsilon(n-1)+1]\),

Батарея отключена, суммарный заряд двух (или \(n\)) параллельных конденсаторов заморожен. Из одного вытек диэлектрик — его ёмкость упала с \(\varepsilon C\) до \(C\), общая ёмкость уменьшилась, общее напряжение выросло. Для двух штук \(V'=2\varepsilon V/(\varepsilon+1)\), прирост \((\varepsilon-1)V/(\varepsilon+1)\).

При \(n\to\infty\) один конденсатор из большой батареи почти не влияет на напряжение, \(\Delta V\to0\). При \(\varepsilon=1\) вытекать нечему. Заряд сохраняется тождественно: новая ёмкость на новое напряжение даёт старый \(Q\). Для \(n=2\) и \(\varepsilon=2\) напряжение растёт на треть — заметно на вольтметре.

Ёмкость одного конденсатора с диэлектриком \(\varepsilon C\). Батарея из \(n\) последовательных имеет

После отключения \(q\) заморожен. Из \(k\) конденсаторов диэлектрик вытек: у них ёмкость стала \(C\), у оставшихся \(n-k\) по-прежнему \(\varepsilon C\). Сумма напряжений

Напряжение батареи выросло на

Интуиция: вытекший диэлектрик перестал экранировать заряд, поле в этих \(k\) зазорах выросло в \(\varepsilon\) раз, их вклад в сумму \(V\) вырос, остальные не изменились.

Последовательная батарея несёт один и тот же заряд на каждом конденсаторе. Когда из \(k\) штук вытекает диэлектрик, их ёмкость падает в \(\varepsilon\) раз, напряжение на них растёт в \(\varepsilon\) раз, и сумма \(V\) батареи увеличивается на \(k(\varepsilon-1)V/n\). Остальные \(n-k\) не заметили.

Предел \(k=n\): вытекло из всех, \(V'=\varepsilon V\) — как в 6.6.7. Предел \(k=0\): ничего не случилось. Последовательное соединение не перекачивает заряд с конденсатора на конденсатор: им некуда течь, кроме как через уже разорванную цепь батареи.

Площадь каждой половины \(S/2\), зазор у обеих \(d\). Ёмкости

Параллельно: напряжения одинаковы, заряды складываются,

Поле в каждой половине своё: \(E_i=V/d\), одинаковое по величине (одинаковый зазор и общий \(V\)), а вот \(\sigma_i=\varepsilon_0\varepsilon_i E\) разное. На границе двух диэлектриков, идущей от пластины к пластине, появляется связанный заряд, но на ёмкость он не влияет: мы уже всё учли через \(\varepsilon\).

Граница диэлектриков идёт от пластины к пластине — оба куска видят одну и ту же разность потенциалов. Это параллельное соединение. Ёмкости складываются, в ответе среднее арифметическое \(\varepsilon\). Поле \(E=V/d\) в обеих половинах одинаково, плотности свободного заряда на обкладках разные: \(\sigma_i=\varepsilon_0\varepsilon_i E\).

При \(\varepsilon_1=\varepsilon_2\) возвращается обычный конденсатор. При \(\varepsilon_2=1\) — «полузаполненный», ёмкость больше воздушного, меньше полностью заполненного. Если бы границу провели параллельно пластинам, была бы уже последовательная схема задачи 6.6.12, и среднее было бы гармоническим.

Индукция в обоих слоях одинакова: \(D=q/S\). Поля

Разность потенциалов \(V=E_1 d_1+E_2 d_2\), ёмкость \(C=q/V\):

Поляризация \(P=D(1-1/\varepsilon)\). На границе слоёв связанный заряд

Если \(\varepsilon_1=\varepsilon_2\), стыкового заряда нет. Если \(\varepsilon_1>\varepsilon_2\), на стыке со стороны первого слоя выступает отрицательный связанный заряд (при \(q>0\)).

Слои друг за другом — один и тот же \(D=q/S\), напряжения складываются. Последовательная формула \(1/C=d_1/(\varepsilon_0\varepsilon_1 S)+d_2/(\varepsilon_0\varepsilon_2 S)\) сразу даёт ответ. Связанный заряд на стыке — разность поляризаций: больше \(\varepsilon\) — больше \(P\), на стыке выступает заряд знака, соответствующего «обрыву» большей поляризации.

При \(d_2=0\) остаётся один слой. При \(\varepsilon_1=\varepsilon_2\) стыкового заряда нет, \(C=\varepsilon_0\varepsilon S/(d_1+d_2)\). Если один слой — металл (\(\varepsilon\to\infty\)), он просто уменьшает зазор. Все три предела живые.

Выделим два столбика.

Столбик площади \(S_2\) — там, где лежит пластинка. Толщина диэлектрика \(d_2\), над (или под) ним воздушный зазор \(d_1-d_2\). Это два конденсатора последовательно:

Столбик площади \(S_1-S_2\) — чистый воздух толщины \(d_1\):

Столбики соединены параллельно (общие обкладки), поэтому

Если пластинка перекрывает всю площадь (\(S_2=S_1\)), остаётся обычный слоистый конденсатор задачи 6.6.12. Если \(d_2=d_1\) и \(S_2=S_1\), получаем \(C=\varepsilon_0\varepsilon S_1/d_1\).

Под пластинкой — последовательное «диэлектрик + воздух», рядом — чистый воздух. Два канала стоят параллельно, потому что обкладки общие. Краевым полем по периметру пластинки пренебрегаем: зазор много меньше поперечных размеров.

При \(\varepsilon=1\) оба слагаемых вместе дают пустой конденсатор. При \(S_2=S_1\) и \(d_2=d_1\) — полностью заполненный, \(C=\varepsilon_0\varepsilon S_1/d_1\). При \(S_2=0\) пластинки нет. Формула покрывает все вырожденные постановки одной строкой.

Пусть относительная проницаемость \(\varepsilon=(1+x/d)^{-1}\), ось \(x\) от одной обкладки к другой, \(0\le x\le d\). Индукция \(D=q/S\) не зависит от \(x\). Поле \(E=D/(\varepsilon_0\varepsilon)\). Поляризация

Связанный объёмный заряд \(\rho_{\text{связ}}=-\operatorname{div} P=-dP/dx\):

Знак: при \(q>0\) у нас \(P\) растёт по модулю в отрицательную сторону, \(\rho_{\text{связ}}>0\). В обозначениях задачника часто пишут \(\rho=-q/(\varepsilon_1 Sd)\), держа свой выбор начала \(x\) и нормировку \(\varepsilon(x)\). Структура одна: однородный связанный объёмный заряд, плотность порядка свободного заряда, размазанного по толщине.

Физика: \(\varepsilon\) падает вдоль \(x\), поляризуемость среды слабеет, «хвосты» диполей не компенсируют друг друга, и в объёме остаётся нетто-заряд.

Свободный заряд только на обкладках, \(D=q/S=\mathrm{const}\). Поляризация \(P=D(1-1/\varepsilon)\) меняется вместе с \(\varepsilon(x)\), и \(\rho_{\text{связ}}=-\operatorname{div}P\) уже не ноль. При \(\varepsilon=(1+x/d)^{-1}\) поляризация линейна по \(x\), объёмный заряд однороден и порядка \(q/(Sd)\) — свободный заряд, «размазанный» по толщине.

При постоянном \(\varepsilon\) объёмного заряда нет: \(P=\mathrm{const}\), \(\operatorname{div}P=0\). Связанный заряд сидит только на поверхностях. Неоднородность \(\varepsilon\) «размазывает» его в объём. Полный связанный заряд в объёме порядка свободного, как и должно быть, когда \(\varepsilon\) меняется в разы.

а. Поле нити \(E\propto 1/r\), у оси оно больше, у трубы — меньше. Нейтральная пылинка поляризуется, её диполь \(\mathbf{p}\) смотрит вдоль \(\mathbf{E}\), и разность сил на концы диполя тянет её в область сильного поля. Пылинки притягиваются к нити.

б. Поляризуемость диэлектрического шарика \(\alpha=4\pi\varepsilon_0 R^3(\varepsilon-1)/(\varepsilon+2)\). В грубой оценке задачника (когда \(\varepsilon\) не слишком близко к 1) берут \(\alpha\propto(\varepsilon-1)/\varepsilon\). Сила пропорциональна \(\alpha\), поэтому

в. Поле нити \(E\sim V/r\) (с логарифмом, который на зависимости почти не сказывается). Его перепад на размере пылинки \(\sim E/r\sim V/r^2\). Момент \(p=\alpha E\propto E\), сила

Сила растёт как квадрат напряжения и быстро падает при удалении от нити.

г. \(\alpha\propto R^3\), поле одно и то же, поэтому \(F\propto R^3\). Сила на пылинку радиуса \(R\) больше, чем на пылинку радиуса \(r\), в \((R/r)^3\) раз. Крупная пыль ловится легче.

При \(\varepsilon\to1\) пылинка исчезает, сила нуль. При \(\varepsilon\to\infty\) (проводящая капля) сила максимальна. Зависимость \(V^2\) — общая черта пондеромоторных сил: поле поляризует (\(\propto V\)) и тянет поляризованное (\(\propto V\)). Тонкая проволока под высоким напряжением — именно поэтому фильтр работает.

Поле заряда на расстоянии \(R\) равно \(E_0=Q/(4\pi\varepsilon_0 R^2)\) и направлено по нормали к пластинке. Пластинка тонкая, \(R\) велико, поле по её площади почти однородно. Внутри \(E=E_0/\varepsilon\) (как у пластины поперёк поля, задача 6.6.5 при \(\alpha=0\)). Поляризация

Дипольный момент всей пластинки

Поле заряда неоднородно: на малом смещении \(\Delta R\) оно меняется на \(\Delta E_0=\dfrac{2E_0}{R}\,\Delta R=\dfrac{2Q}{4\pi\varepsilon_0 R^3}\,\Delta R\) (так убывает \(1/R^2\)). Сила на диполь, ориентированный вдоль поля, — разность сил на его концы, \(F=p\,\Delta E_0/\Delta R\):

Знак: пластинка втягивается в область сильного поля, то есть притягивается к заряду.

Далёкая тонкая пластинка в поле точечного заряда поляризуется почти однородно. Внутри \(E=E_0/\varepsilon\), \(P=\varepsilon_0(\varepsilon-1)E_0/\varepsilon\), момент \(p=PS\delta\). Сила на диполь \(p\cdot2E_0/R\propto1/R^5\). Знак — притяжение: пластинка лезет в сильное поле.

При \(\varepsilon=1\) силы нет. При \(\varepsilon\to\infty\) (металл) сила конечна и совпадает с 6.5.29. Зависимость \(1/R^5\) стандартна: \(E\sim1/R^2\), градиент \(\sim1/R^3\), \(p\sim E\). Объём пластинки \(S\delta\) входит линейно — как и должно быть у малого образца.

Из 6.6.5 внутри пластинки \(E_\perp=E\cos\alpha/\varepsilon\), \(E_\parallel=E\sin\alpha\). Поляризация перпендикулярна пластинке (для тонкой пластины касательная \(P\) мала по сравнению с нормальной, если считать отклик через \(D_\perp\)):

Момент \(p=PSd\). Энергия в постоянном внешнем поле (поле создают удалённые обкладки, \(E=\operatorname{const}\))

Энергия \(W\propto-\cos^2\alpha\) минимальна при \(\alpha=0\): нормаль вдоль поля, то есть пластинка стоит поперёк поля — туда её и разворачивает момент сил, стремясь уменьшить \(\alpha\).

Однако интуиция «диэлектрик вытягивается вдоль поля» относится к стержню (касательная геометрия, \(E_\parallel\) не ослабляется). У тонкой пластины выгоднее лечь поперёк: тогда поляризация максимальна. Момент

При малом повороте от \(\alpha\) к \(\alpha+\Delta\alpha\) величина \(\cos^2\alpha=\tfrac12(1+\cos2\alpha)\) получает приращение \(-\sin2\alpha\,\Delta\alpha\), так что \(\Delta W=\dfrac{\varepsilon_0(\varepsilon-1)SdE^2}{2\varepsilon}\sin2\alpha\,\Delta\alpha\), и момент

Модуль, который пишут в ответе:

Работа, чтобы поставить пластинку перпендикулярно полю (из угла \(\alpha\) в \(\alpha=0\)):

Если внешние силы поворачивают пластинку, они совершают именно эту работу против электрического момента. Знак: система сама норовит уменьшить \(\alpha\), так что, чтобы увеличить угол, работу совершаем мы; чтобы поставить перпендикулярно, система отдаёт энергию, \(A\) в ответе — величина изменения энергии.

Энергия тонкой пластинки во внешнем поле \(W\propto-\cos^2\alpha\). Минимум при \(\alpha=0\): пластинка стремится встать поперёк поля. Момент \(M=-\Delta W/\Delta\alpha\propto\sin2\alpha\), нуль в положениях \(\alpha=0\) и \(\alpha=90^\circ\). Устойчиво только первое.

Работа перевода из угла \(\alpha\) в положение «поперёк» — разность энергий, \(\propto\sin^2\alpha\). При \(\varepsilon=1\) момента нет. При \(\varepsilon\to\infty\) момент конечен: металл тоже хочет встать поперёк (вытеснить поле из как можно большего «толстого» сечения). Размерность \(M\) — ньютон-метры, \(A\) — джоули.

Внутри металла \(E=0\). В диэлектрическом слое \(r<x<R\)

Снаружи, \(x>R\), диэлектрика нет, \(\varepsilon=1\),

Поляризация в слое \(P=D(1-1/\varepsilon)\). Связанный заряд на внутренней поверхности (нормаль из диэлектрика к центру, знак: для \(Q>0\) связанные минусы притягиваются к шару)

На внешней поверхности нормаль наружу:

Задачник обычно пишет модули \((\varepsilon-1)Q/(4\pi\varepsilon r^2)\) и \((\varepsilon-1)Q/(4\pi\varepsilon R^2)\). Полный связанный заряд внутренней сферы \(-(\varepsilon-1)Q/\varepsilon\), внешней \(+(\varepsilon-1)Q/\varepsilon\): сумма нуль, как и должно быть у нейтральной оболочки.

Линии напряжённости — радиальные лучи от центра. В металле их нет. На внутренней поверхности слоя часть линий обрывается на связанных минусах: в слой проходит лишь \(1/\varepsilon\) их числа. На внешней поверхности связанные плюсы рождают недостающие линии, и наружу выходят снова все \(Q/\varepsilon_0\) линий. Картина всюду сферически симметрична.

Потенциал: снаружи \(\varphi=Q/(4\pi\varepsilon_0 x)\); в слое \(\varphi=Q/(4\pi\varepsilon_0\varepsilon x)+\operatorname{const}\), константа сшивается на \(x=R\); в металле \(\varphi=\operatorname{const}=\varphi(r)\). График \(\varphi(x)\): снаружи гипербола \(1/x\), в слое поле в \(\varepsilon\) раз слабее, поэтому к центру потенциал нарастает полого, а в металле выходит на горизонтальную полку \(\varphi(r)\).

Полный связанный заряд внутренней сферы \(-(\varepsilon-1)Q/\varepsilon\), внешней \(+(\varepsilon-1)Q/\varepsilon\). Сумма нуль: оболочка в целом нейтральна. При \(\varepsilon\to\infty\) внутренняя полностью экранирует шар, снаружи остаётся обычный проводник радиуса \(R\) с зарядом \(Q\). График \(E(x)\): нуль в металле, спад \(1/x^2\) в слое, скачок вверх на \(R\), снова спад.

На каждый кусочек жидкого диэлектрика в неоднородном поле действует сила, тянущая его туда, где \(E^2\) больше; в равновесии её уравновешивает перепад механического давления, так что давление жидкости нарастает от внешней границы слоя к шару. Добавка давления между двумя точками жидкости пропорциональна разности \(E^2\) в них: суммирование малых перепадов по слою даёт \(\Delta P=\tfrac12\varepsilon_0\varepsilon(\varepsilon-1)\bigl(E_1^2-E_2^2\bigr)\). Поле в жидкости ослаблено в \(\varepsilon\) раз: у шара \(E_r=Q/(4\pi\varepsilon_0\varepsilon r^2)\), у внешней границы \(E_R=Q/(4\pi\varepsilon_0\varepsilon R^2)\). Подстановка даёт ответ задачника:

Давление направлено к шару: жидкость прижимается к металлу. Если слой бесконечный (\(R\to\infty\)), остаётся только \(1/r^4\).

Жидкий диэлектрик втягивается в сильное поле. У поверхности шара поле больше, чем на внешней границе слоя, и разность втягивающих давлений \(\propto(\varepsilon-1)(E_r^2-E_R^2)\) прижимает жидкость к шару. Суммирование перепадов давления по слою от \(R\) до \(r\) даёт ответ.

При \(\varepsilon=1\) или \(R=r\) слоя нет, давление нуль. Для \(Q=1\) мкКл, \(r=1\) см, \(\varepsilon=2\) давление порядка килопаскаля — заметное, но не рвущее. Знак скобки \(1/r^4-1/R^4\) положителен: жидкость прижимается к шару, а не отрывается.

Пластина толщины \(\approx d\) вошла на длину \(x\), ширина пластин \(b\), длина \(a\). Заполненная часть — конденсатор ёмкости \(\varepsilon_0\varepsilon b x/d\), пустая — \(\varepsilon_0 b(a-x)/d\). Они параллельны:

Заряд \(Q\) постоянен, энергия

Вдвинем пластину ещё на малое \(\Delta x\): ёмкость вырастет на \(\Delta C=\dfrac{\varepsilon_0 b(\varepsilon-1)}{d}\,\Delta x\), а энергия уменьшится на \(\Delta W=\dfrac{Q^2}{2C^2}\,\Delta C\). Сила, действующая на пластину в сторону увеличения \(x\), — убыль энергии на единицу смещения:

Сила втягивает (\(\varepsilon>1\)). Она зависит от \(x\): чем глубже пластина, тем больше ёмкость и тем слабее сила (при фиксированном \(Q\) напряжение падает).

Заряд фиксирован, энергия \(W=Q^2/(2C)\). Пластина вдвигается — ёмкость растёт, энергия падает, система сама втягивает пластину. Сила \(F=-\Delta W/\Delta x=(Q^2/2C^2)\,\Delta C/\Delta x\). Она зависит от \(x\): чем глубже пластина, тем больше \(C\) и тем слабее сила (напряжение при фиксированном \(Q\) падает).

На батарее было бы наоборот: \(F=\tfrac12 V^2\,\Delta C/\Delta x\) не зависит от \(x\). Два режима — два разных ответа, и путать их нельзя. При \(\varepsilon=1\) сила нуль в обоих случаях: вдвигать воздух вместо воздуха бессмысленно.

Ёмкость на единицу ширины пластин, когда жидкость поднялась на \(h\): заполненная часть \(\varepsilon_0\varepsilon h/d\), пустая \(\varepsilon_0(L-h)/d\). При подъёме ещё на малое \(\Delta h\) ёмкость прирастает на

При постоянном напряжении \(V\) сила на единицу ширины (втягивающая вверх, как в задаче 6.6.20)

Вес столба жидкости высоты \(h\), ширины 1, толщины \(d\): \(\rho g\cdot h\cdot d\). Равновесие \(f=\rho g h d\):

Это электрический капилляр: роль \(2\sigma\cos\theta/(\rho g r)\) играет комбинация \(\varepsilon_0(\varepsilon-1)V^2/(2\rho g d^2)\).

Вертикальный конденсатор на батарее втягивает жидкость точно так же, как пластину в 6.6.20. Сила на единицу ширины \(\tfrac12 V^2\,\Delta C'/\Delta h\) уравновешивается весом столба \(\rho g h d\). Высота \(h=\varepsilon_0(\varepsilon-1)V^2/(2\rho g d^2)\) — электрический капилляр.

При \(V=0\) подъёма нет. При \(d\to0\) поле \(V/d\) растёт, высота тоже. Для воды, 300 В и миллиметрового зазора выходит несколько миллиметров — скромно, но измеримо линейкой. Размерность длины собирается: \(\varepsilon_0 V^2/(\rho g d^2)\) есть метры.

Пусть жидкость поднялась на высоту \(h\), площадь \(S\). Ёмкость \(C=\varepsilon_0\varepsilon S/h\) (сетка задаёт эквипотенциаль на верхней поверхности). Энергия поля

Гравитационная энергия столба (центр масс на \(h/2\)) \(W_{\text{гр}}=\rho S h\cdot g\cdot h/2=\rho g S h^2/2\). Но жидкость пришла из большого сосуда, где её потенциальная энергия была нуль: корректнее считать работу против тяжести \(\rho g S h\cdot h/2\). Кроме того, часть объёма «заменила» воздух на диэлектрик, и есть ещё член, связанный с тем, что \(\varepsilon\neq1\).

Минимум полной энергии с учётом выигрыша \((\varepsilon-1)\) при заполнении даёт задачниковый ответ

Структура прозрачна: электрическое давление порядка \((\varepsilon-1)E D/2\) уравновешивает гидростатическое \(\rho g h\), а \(E\sim Q/(\varepsilon_0\varepsilon S)\).

Сетка — верхняя обкладка, жидкость заполняет зазор и служит диэлектриком. Заряд \(Q\) фиксирован. Энергия поля растёт с толщиной слоя (\(C\propto1/h\)), гравитация растёт как \(h^2\). Минимум полной энергии с учётом выигрыша \((\varepsilon-1)\) сидит при вполне определённом \(h\).

При \(Q=0\) или \(\varepsilon=1\) выигрыша нет, сетка лежит на поверхности. Чем тяжелее жидкость, тем меньше подъём. Размерность: \(Q^2/(\varepsilon_0 S^2)\) — давление, делим на \(\rho g\) — длина. Та же комбинация, что у капиллярной постоянной, только электрическая.

До заполнения \(W_1=q^2/(2C)\). После заполнения ёмкость \(\varepsilon C\), заряд тот же,

Убыль энергии поля

Кто совершает работу? Мы не двигаем обкладки и не гоняем заряд по проводам. Молекулы диэлектрика втягиваются в поле, но в квазистатическом «появлении» вещества эта механическая работа в итоге диссипирует (вязкость, неупругая посадка диполей). В тепло уходит вся убыль:

Заряд заморожен. Ёмкость при заполнении растёт в \(\varepsilon\) раз, энергия поля \(q^2/(2C)\) падает в \(\varepsilon\) раз. Убыль деваться некуда: обкладки не двигаем, заряд по проводам не гоняем. Молекулы втягиваются, но в школьной постановке эта механическая работа диссипирует. В тепло уходит \(q^2(\varepsilon-1)/(2C\varepsilon)\).

До заполнения \(W_1=\tfrac12 CV^2\), заряд \(Q_1=CV\). После: ёмкость \(\varepsilon C\), \(W_2=\tfrac12\varepsilon CV^2\), заряд \(Q_2=\varepsilon CV\).

Батарея прогнала заряд \(\Delta Q=(\varepsilon-1)CV\) при напряжении \(V\), её работа

Прирост энергии поля \(\Delta W=W_2-W_1=\tfrac12(\varepsilon-1)CV^2\). По первому началу разность уходит в тепло:

Тепло такое же по структуре, как убыль при \(Q=\operatorname{const}\), но вдвое больше в сравнимых переменных и другого происхождения: теперь поле усилилось (батарея докачала заряд), и греет «трение» втягиваемых диполей на фоне растущей энергии.

Напряжение закреплено. Ёмкость растёт, энергия поля растёт на \(\tfrac12(\varepsilon-1)CV^2\). Батарея при этом прогоняет заряд \((\varepsilon-1)CV\) и тратит \((\varepsilon-1)CV^2\). Разность — тепло \(\tfrac12(\varepsilon-1)CV^2\). Поле усилилось (докачали заряд), а греет «трение» втягиваемых диполей.

Баланс сходится: \(A_{\text{бат}}=\Delta W+Q_{\text{тепл}}\). При \(\varepsilon=1\) все три нули. Если заполнять обратимо, без вязкости, тепло будет другим — но «заполнили» в задачнике значит необратимое втягивание, и весь избыток работы идёт в тепло.

Конденсатор на источнике, напряжение \(V\) задано. Свободная энергия (точнее, та её часть, что зависит от поля)

в расчёте на «геометрическую» ёмкость \(C\) пустого конденсатора. Разность свободных энергий двух фаз

Переход \(1\to2\) (\(\varepsilon_2>\varepsilon_1\)) выгоден, когда этот выигрыш сравняется со скрытой теплотой \(W\):

Для льда и воды \(\varepsilon_1=3{,}1\), \(\varepsilon_2=88\), \(\lambda\sim3\cdot10^5\) Дж/кг. Берём слой толщины \(d\), тогда \(W/S=\lambda\rho d\), \(C/S=\varepsilon_0/d\), и поле

Это чудовищное поле, больше пробойного. Электрическим полем лёд в воду так не переводят — выигрыш слишком мал по сравнению с теплотой плавления.

Поле любит фазу с большей \(\varepsilon\): при фиксированном \(V\) свободная энергия \(-\tfrac12 C\varepsilon V^2\) ниже у той фазы, у которой проницаемость больше. Чтобы сдвинуть переход, этот выигрыш должен покрыть скрытую теплоту \(W\). Отсюда \(V=\sqrt{2W/[(\varepsilon_2-\varepsilon_1)C]}\).

Для льда и воды оценка даёт \(E\sim10^9\) В/м — далёкий пробой. В природе лёд тает от тепла, не от грозы. При \(\varepsilon_2=\varepsilon_1\) никакое поле переход не сдвинет. При \(W=0\) хватает сколь угодно малого \(V\). Оба предела здравые.

Исходно конденсатор заряжен до \(V\). Свободный заряд \(\sigma_{\text{св}}=\varepsilon_0\varepsilon E=\varepsilon_0\varepsilon V/d\), поляризация \(P=\varepsilon_0(\varepsilon-1)V/d\).

Обкладки на короткое время замкнули. Свободный заряд частично ушёл. В момент, когда напряжение упало втрое, ключ разомкнули: свободный заряд заморозился при \(V_1=V/3\). Диполи ещё почти в исходном состоянии (не успели).

Дальше поляризация релаксирует при фиксированном свободном заряде, и напряжение медленно вырастает до \(V_2=2V/3\). Это классическая картина двух вкладов в \(\varepsilon\): «мгновенная» (упругая деформация электронных оболочек) и «медленная» (ориентация диполей).

Пусть мгновенная проницаемость \(\varepsilon_\infty\), полная \(\varepsilon\). Сразу после быстрого разряда «живёт» только \(\varepsilon_\infty\), и отношение напряжений связано с тем, какую долю заряда успели снять. Согласование \(V\to V/3\to 2V/3\) с условием, что медленная часть поляризации сохраняется на первом шаге и полностью релаксирует на втором, даёт

Именно при \(\varepsilon=2\) «быстрая» и «медленная» доли таковы, что скачок \(V\to V/3\) и последующий отскок до \(2V/3\) стыкуются с сохранением соответствующего заряда.

Быстрый разряд снимает свободный заряд, диполи не успевают развернуться. Оставшаяся поляризация держит на обкладках напряжение \(V/3\). Потом диполи медленно релаксируют, наводят заряд, и напряжение вырастает до \(2V/3\). Два числа фиксируют \(\varepsilon=2\): «мгновенная» и «полная» проницаемости связаны этими дробями.

Если бы диполи не запаздывали, после размыкания напряжение так и осталось бы \(V/3\). Наблюдаемый рост — прямое доказательство запаздывания. У воды релаксация пикосекундная, у стёкол и полимеров — секунды и часы. Опыт из задачи — про «медленный» диэлектрик, не про воду.

а. Исходно \(D=\varepsilon_0\varepsilon V/d\), \(P=\varepsilon_0(\varepsilon-1)V/d\). Быстрый разряд до нуля: обкладки замкнуты, \(V=0\), свободный заряд снят, \(D=0\). Поляризация ещё равна старой \(P\). Разомкнули ключ: свободный заряд так и остался нулём. Когда поляризация релаксирует к равновесию с новым полем, на изолированных обкладках появляется

Эквивалентно: связанные заряды \(\pm PS\) наводят равные свободные «изображения», но свободных нет — поэтому возникает поле, которое само себя согласует с оставшейся \(P\).

б. Энергия, которая в итоге диссипирует, порядка исходной энергии поля на единицу объёма \(\varepsilon_0\varepsilon E^2/2\). \(E=V/d=300/10^{-3}=3\cdot10^5\) В/м, \(\varepsilon=81\), \(c=4{,}18\cdot10^3\) Дж/(кг·К), \(\rho=10^3\) кг/м\(^3\):

Нагрев ничтожный: электрическая энергия кубического сантиметра воды в поле 3 кВ/см — доли микроджоуля.

Для разбавленного газа \(\varepsilon-1=n\alpha/\varepsilon_0\). Модель: ядро в центре, электронное облако — проводящий шар радиуса \(r\). Из задачи 6.6.29 (или прямо из условия «заряд размазан по объёму») \(\alpha=4\pi\varepsilon_0 r^3\). Тогда

При н.у. \(n=2{,}7\cdot10^{25}\) м\(^{-3}\), \(\varepsilon-1=5{,}6\cdot10^{-4}\):

Это разумный атомный размер: табличный радиус Аргона около 0,19 нм, наша модель «проводящего шарика» чуть занижает, но порядок пойман с первого раза.

Атом аргона в поле ведёт себя как проводящий шарик: электронное облако «перетекает» на одну сторону. Поляризуемость \(\alpha=4\pi\varepsilon_0 r^3\). Из \(\varepsilon-1=n\alpha/\varepsilon_0\) сразу \(r=((\varepsilon-1)/(4\pi n))^{1/3}=0{,}12\) нм. Табличный радиус около 0,19 нм — модель чуть теснее, порядок пойман.

Для гелия \(\varepsilon-1\) в семь раз меньше, радиус меньше в \(7^{1/3}\approx2\) раза — гелий и правда компактнее. Оценка \(\alpha\sim4\pi\varepsilon_0 a_B^3\) с боровским радиусом даёт тот же ангстрем. Макроскопическое \(\varepsilon\) газа снова честно выросло из атомного размера.

По 6.2.14б плотность наведённого заряда

где \(\alpha\) — угол от направления внешнего поля. Дипольный момент

Элемент сферы \(dS=2\pi r\sin\alpha\cdot r\,d\alpha\), интегрируем \(\alpha\) от 0 до \(\pi\):

Тот же ответ даёт разложение потенциала снаружи: \(\varphi=-Er\cos\alpha+p\cos\alpha/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\), и условие \(\varphi=\operatorname{const}\) на сфере фиксирует \(p=4\pi\varepsilon_0 r^3 E\).

Поляризуемость шарика \(\alpha=p/E=4\pi\varepsilon_0 r^3\). Именно её мы подставляли в задачах 6.6.28 и 6.6.30.

Наведённая плотность \(\sigma=3\varepsilon_0 E\cos\alpha\) — результат 6.2.14. Интеграл \(\sigma\cdot r\cos\alpha\) по сфере даёт \(p=4\pi\varepsilon_0 r^3 E\). Снаружи шар неотличим от точечного диполя в центре. Внутри поле диполя как раз гасит внешнее: \(p/(4\pi\varepsilon_0 r^3)=E\), сумма нуль.

Коэффициент 3 в \(\sigma\) не случаен: единица — вклад самого диполя, две — однородное «размазывание», нужное, чтобы внутри было строго нуль, а не только в центре. При \(E=0\) момента нет. Поляризуемость \(\alpha=4\pi\varepsilon_0 r^3\) пойдёт в следующую задачу как готовый кирпич.

Концентрация шариков \(n\), радиус каждого \(r\). В среднем поле \(E\) (оно же внешнее, раз шарики редкие) момент одного шарика по 6.6.29

Поляризация среды

Диэлектрическая проницаемость

Это формула Клаузиуса–Моссотти в пределе малой плотности (без лоренцева поправочного поля \(E+P/(3\varepsilon_0)\)). Она же получилась в 6.6.28 «наоборот»: там из \(\varepsilon\) находили \(r\), здесь из \(r\) и \(n\) находим \(\varepsilon\).

Объёмная доля шариков \(f=n\cdot\tfrac43\pi r^3\), поэтому \(\varepsilon=1+3f\). Пока \(f\ll1\), поправка мала. Когда шарики начинают занимать заметную долю объёма, нужно уже поле Лоренца, и \(\varepsilon=(1+2f)/(1-f)\).

Редкий «газ» проводящих шариков. Каждый несёт \(p=4\pi\varepsilon_0 r^3 E\), поляризация \(P=np\), \(\varepsilon=1+4\pi nr^3\). Это Клаузиус–Моссотти без лоренцева поля: шарики не чувствуют соседей, пока \(nr^3\ll1\). Объёмная доля \(f=\tfrac43\pi nr^3\), поэтому \(\varepsilon=1+3f\).

При плотной упаковке (\(f\sim0{,}5\)) наивная формула врёт по коэффициенту, но порядок (\(\varepsilon\sim2\div4\)) ещё жив. Формула Максвелла–Гарнетта \((1+2f)/(1-f)\) аккуратнее. Для металлической пыли в масле оценка \(1+4\pi nr^3\) вполне рабочая, пока пыль не слипнется в цепочки.

Эталонный конденсатор и нелинейный соединены последовательно, поэтому их заряды равны: по \(U_x\) узнаёте заряд, а по \(U_y\) — напряжение на нелинейном конденсаторе. Для второго пункта: чему равна работа генератора по перемещению заряда за период и куда уходит часть этой энергии помимо резистора?

1) \(|\sigma_\text{p}^{(\alpha)}|=\dfrac{C_0a}{S}\), \(|\sigma_\text{p}^{(\beta)}|=\dfrac{C_0b}{S}\), \(|\sigma_\text{p}^{(\gamma)}|=\dfrac{99C_0u}{S}\approx\dfrac{100C_0u}{S}\); \(E^{(\alpha)}=\dfrac{C_0a}{S\varepsilon_0}\), \(E^{(\gamma)}=\dfrac{C_0u}{S\varepsilon_0}\);  2) \(P_g=4CU_0^2n\), \(P_R=3{,}8\,CU_0^2n\).

Пункт 1. Сначала рассмотрим точку \(\gamma\) графика зависимости \(U_y(U_x)\). Справедливы соотношения \[100u=\frac{q(\gamma)}{C_0},\qquad u=\frac{R_2}{R_1+R_2}\bigl(E(\gamma)d+100u\bigr), \tag{1}\] где \(q(\gamma)\) — заряд эталонного конденсатора, \(E(\gamma)\) — напряжённость поля в диэлектрической пластине в данный момент. Из условия следует сильное неравенство \[100\,\frac{R_2}{R_1+R_2}\ll1, \tag{2}\] поэтому второе уравнение из (20) можно переписать так \[u=\frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot E(\gamma)d. \tag{3}\] Таким образом, напряжение \(U_x=100u\) в точке \(\gamma\) пропорционально заряду \(q(\gamma)\) эталонного конденсатора, а следовательно (поскольку заряды конденсаторов равны) и заряду нелинейного конденсатора. Напряжение \(U_y=u\) в точке \(\gamma\) пропорционально напряжению на нелинейном конденсаторе. Подставляя в формулу (22) соотношение из условия, имеем искомую напряжённость \[E(\gamma)=\frac{C_0u}{S\varepsilon_0}. \tag{4}\] Поверхностная плотность поляризационных зарядов найдётся из соотношения \[\frac{q(\gamma)}{S\varepsilon_0}-\frac{|\sigma_\text{p}^{(\gamma)}|}{\varepsilon_0}=E(\gamma).\] Подставим в это соотношение заряд \(q(\gamma)\) из первого уравнения из (20), а напряжённость поля из формулы (23), после несложных преобразований получим ответ \[|\sigma_\text{p}^{(\gamma)}|=\frac{100C_0u}{S}-\frac{C_0u}{S}=\frac{99C_0u}{S}.\] Теперь рассмотрим точку \(\beta\). Легко видеть, что сумма напряжений на нелинейном и обычном конденсаторе в состоянии, соответствующем этой точке на графике, равна нулю. Этот факт отражает уравнение \[\left(\frac{C_0b}{S\varepsilon_0}-\frac{|\sigma_\text{p}^{(\beta)}|}{\varepsilon_0}\right)d-b=0, \tag{5}\] ведь заряд нелинейного конденсатора в этом случае равен \(C_0b\) (с точностью до знака). Из условия следует сильное неравенство \(\dfrac{C_0d}{S\varepsilon_0}\gg1\), поэтому пренебрегая последним слагаемым в уравнении (24), получаем искомую поверхностную плотность \[|\sigma_\text{p}^{(\beta)}|=\frac{C_0b}{S}.\] Наконец рассмотрим состояние диэлектрика, соответствующее точке \(\alpha\). Заряды конденсаторов в этом состоянии, очевидно, равны нулю, поэтому напряжённость поля в диэлектрике создаётся только поляризационными зарядами, следовательно справедливо равенство \[\frac{|\sigma_\text{p}^{(\alpha)}|}{\varepsilon_0}\cdot d\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}=a. \tag{6}\] Используя соотношение для сопротивлений, данное в условии, из равенства (25) имеем ответы: \[|\sigma_\text{p}^{(\alpha)}|=\frac{C_0a}{S},\qquad E^{(\alpha)}=\frac{C_0a}{S\varepsilon_0}.\]

Пункт 2. Сильное неравенство \(nRC\ll1\), приведённое в условии, означает, что время, за которое заряды на обкладках конденсатора устанавливаются, значительно меньше периода колебаний напряжения.

Пусть в некоторый момент времени напряжение на выводах генератора и на конденсаторе равно \(-U_0\). При изменении полярности напряжения на выводах генератора, последний перемещает заряд \(Q=2CU_0\), совершая работу \(A_g^{(1/2)}=2CU_0^2\). При обратном изменении полярности на выводах генератора, он совершает такую же работу по перемещению заряда. Таким образом, за период генератор совершает работу \(A_g=2A_g^{(1/2)}=4CU_0^2\), следовательно средняя мощность, потребляемая цепью от генератора, равна \(P_g=4CU_0^2n\).

Заметим, что если бы зависимость заряда конденсатора от напряжения на нём была бы линейной (\(q=CU\)), то вся мощность, потребляемая цепью от генератора, выделялась бы в виде тепла на резисторе. В случае нелинейного конденсатора часть работы, совершаемой генератором, тратится на «переполяризацию диэлектрика». При увеличении заряда нелинейного конденсатора от значения \(-CU_0\) до значения \(CU_0\) электрические силы совершают работу, равную \(A_p^{(1/2)}=\int U\,dq\), численно эта работа равна площади половины петли гистерезиса, располагающейся справа от оси ординат. Очевидно, что работа электрических сил по перезарядке конденсатора за период равна площади всей петли гистерезиса \(A_p=2A_p^{(1/2)}\) — это и есть потери энергии на переполяризацию диэлектрика. Таким образом, из закона сохранения энергии следует, что на резисторе за период выделяется количество теплоты, равное \(Q=A_g-A_p\). Определение \(A_p\), как уже было сказано, сводится к расчёту площади петли гистерезиса, которая может быть найдена разными способами. Приведём здесь конечный ответ \(A_p=0{,}2\,CU_0^2\). Таким образом, искомая мощность равна \(P_R=3{,}8\,CU_0^2n\).

Пластины, соединённые перемычками, имеют один потенциал: определите, какие промежутки образуют конденсаторы и как они соединены (параллельно или последовательно) между \(A\) и \(B\).

\(C_{AB} = \dfrac{S\varepsilon_0\,(5\varepsilon + 3)}{2d}\).

Работа за цикл равна площади цикла на диаграмме \(D\)–\(E\) (с учётом \(\Delta A = VD\,\Delta E\)), а подведённое тепло считайте из \(\Delta Q\) на участках, где оно поступает. В адиабатическом процессе \(\Delta Q = 0\), поэтому температура меняется вместе с полем.

1) \(\eta_1 = \dfrac{-p\,(T_H - T_L)(E_H - E_L)}{c\,(T_H - T_L) - pT_H\,(E_H - E_L)}\);  2) цикл показан на рисунке;  3) \(\eta_2 = \dfrac{r\,\Delta T}{\Delta T - rT_L}\), где \(r = -\dfrac{p\,\Delta E}{c}\), \(\eta_2 > \eta_1\).