Вогнутое зеркало в комнате смеха
5/10Школьник Вася пошёл в комнату смеха и обнаружил там большое круглое вогнутое зеркало, стоящее на полу и закреплённое так, что центр зеркала находился на уровне \(H = 1{,}5\) м над полом, а ось симметрии зеркала была горизонтальной. Насмеявшись вдоволь, Вася заметил, что его изображение в зеркале при определённых расстояниях до него либо сильно расплывается, либо получается нечётким, и он не может себя разглядеть. Для того чтобы исследовать это явление, Вася начал приближаться к зеркалу, идя издалека вдоль его оптической оси и наблюдая при этом за изображениями своих глаз. Оцените, в каком диапазоне расстояний от глаз до центра отражающей поверхности зеркала школьник мог видеть чёткое изображение своих глаз. Диаметр зеркала \(2H = 3\) м, радиус кривизны отражающей поверхности \(R = 15\) м, расстояние от пола до глаз у Васи \(h = H = 1{,}5\) м. Наименьшее расстояние, с которого Вася может рассматривать что-либо в подробностях (например, читать условие этой задачи), равно \(a = 0{,}2\) м. Будем также считать для упрощения задачи, что бесконечно удалённые от глаз объекты Вася может разглядеть вне зависимости от их размеров.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаГлаз Васи находится у самой оси зеркала. Запишите формулу зеркала и найдите, при каких расстояниях изображение глаз оказывается дальше \(a\) от них, а при каких "— нет; не забудьте про случай изображения за зеркалом.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветШкольник мог видеть чёткое изображение своих глаз при расстояниях от глаз до центра отражающей поверхности зеркала \([a/2;\ R/2]\) и \([R + a/2;\ \infty)\), то есть \([0{,}1\text{ м} \div 7{,}5\text{ м}]\) и \([15{,}1\text{ м} \div \infty)\).
Я надел свои очки
5/10Часто на портретных фотографиях, сделанных с помощью камеры смартфона (рис. 1), в отражении очков фотографирующего можно увидеть изображение его смартфона. Определите по фотографии ниже радиус кривизны поверхности очков, оцените погрешность измерений. Считайте, что расстояние между смартфоном и очками известно точно и равно \(L = 50\) см. На рис. 2 изображены смартфон и очки, лежащие рядом друг с другом. Длины, необходимые для получения числового ответа в задаче, можно измерить с помощью линейки по фотографиям из условия.
Рис. 1. Портретная фотография, сделанная с помощью смартфона.
Рис. 2. Очки и смартфон рядом друг с другом.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСравните отношение размеров очков и смартфона на рис. 2 (реальные размеры) с отношением их размеров на портрете (угловые размеры, видимые из смартфона). Изображение смартфона в выпуклом зеркале мнимое и уменьшенное — дальше формула сферического зеркала и увеличение.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(R = \dfrac{2L}{\frac{\alpha}{\beta}\frac{Y}{X} - 2} = (10{,}7 \pm 1{,}6)\) см (при \(X/Y = 1{,}1 \pm 0{,}1\), \(\alpha/\beta = 12 \pm 1\)).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеОбозначим реальный размер очков за \(X\), а реальный размер смартфона за \(Y\). Пусть также \(\alpha\) — угловой размер изображения очков на портретной фотографии, а \(\beta\) — угловой размер изображения смартфона на ней. Измерим отношение размеров изображений очков и смартфона на двух фотографиях. \[\frac{X}{Y} = (1{,}1 \pm 0{,}1); \quad \frac{\alpha}{\beta} = (12 \pm 1);\] На левой фотографии отношение размеров изображений соответствует отношению реальных размеров, а на правой отношению угловых размеров изображений.
Сделаем простейший чертеж расположения изображения смартфона и очков на правой фотографии. Обозначим размер изображения смартфона за \(y\), расстояние между изображением смартфона и очками за \(l\). Угловые размеры изображения смартфона и очков на правой фотографии в приближении малых углов даются формулами: \[\alpha = \frac{X}{L}; \quad \beta = \frac{y}{L + l}. \tag{1}\]
Положение изображения определяется формулой сферического зеркала: \[\frac1L - \frac1l = -\frac2R, \tag{2}\] где \(R\) — радиус кривизны зеркала. Размер изображения смартфона связан с его реальным размером через увеличение зеркала: \[y = Y\frac{l}{L}. \tag{3}\] Объединяя уравнения получим: \[R = \frac{2L}{\frac{\alpha}{\beta}\frac{Y}{X} - 2}. \tag{4}\] Рассчитаем с учетом погрешности измерений минимально возможное значение радиуса кривизны и максимально возможное:
\[R_{\min} = \frac{2\cdot50\text{ см}}{\frac{13}{1} - 2} = 9{,}09\text{ см}.\] \[R_{\max} = \frac{2\cdot50\text{ см}}{\frac{11}{1{,}2} - 2} = 12{,}24\text{ см}.\] Тогда окончательное значение радиуса кривизны с учетом погрешностей измерений: \[R = (10{,}7 \pm 1{,}6)\text{ см}.\]
Муравей в кривом зеркале
6/10Глаз наблюдателя расположен так, что муравей и его изображение в «кривом» (сферическом) зеркале для наблюдателя имеют одинаковые угловые размеры и полностью «накладываются» друг на друга. Наблюдатель отодвинулся от зеркала на расстояние \(L\) вдоль линии, на которой находятся муравей и его изображение, и теперь видит, что угловой размер муравья составляет 75% от углового размера его изображения. Затем наблюдатель отодвинулся в том же направлении ещё на \(L\), и угловой размер изображения стал в 1,5 раза больше углового размера муравья. Во сколько раз изображение муравья больше его самого? Каков радиус кривизны зеркала?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУгловой размер объекта обратно пропорционален расстоянию от глаза до него. Изображение и предмет лежат на одной линии на разных расстояниях от зеркала; увеличение выражается через эти расстояния.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветИзображение муравья больше его самого в два раза, радиус кривизны зеркала \(R = 4L/3\).
Изображения в шаре
6/10Наблюдатель видит изображение Солнца в полированном металлическом шаре. Угловая высота Солнца над горизонтом равна \(\alpha\) и равна углу между линией зрения и горизонтальной нормалью к шару. Определите характерный размер изображения Солнца, если радиус шара равен \(R\), а угловой размер Солнца равен \(\varphi\) (\(\varphi \ll \alpha\)).
Примечание. Для малого угла \(\varphi\) справедливы приближённые формулы: \(\cos\varphi \approx 1\), \(\sin\varphi \approx 1\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЛучи от краёв Солнца падают на шар под углами \(\alpha\pm\varphi/2\). Найдите, как смещается точка отражения по поверхности шара при изменении угла падения на малую величину.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(\Delta L = \dfrac{R\cos\alpha}{2}\,\varphi\).
Каустики
8/10Каустика — это огибающая семейства лучей, не пересекающихся в одной точке. В плоском случае, рассматриваемом в этой задаче, каустика — это кривая, которой касаются все лучи, отражающиеся от некоторой поверхности, или испытывающие преломление на некоторой границе раздела. Интенсивность света вблизи каустики возрастает, поэтому кривые каустик хорошо видны невооружённым глазом и на фотографиях.
Кривая серого цвета на рисунке — это каустика, образованная после отражения пучка параллельных лучей цилиндрической поверхностью \(M\), радиус которой равен \(R\). Определите расстояние от оси цилиндра т. \(O\) до вершины каустики — т. \(A\), а также расстояние \(PA\). \(OO_1\) — ось симметрии, \(P_1P_2\) — касательная к каустике. (5 баллов)
Источник, освещающий цилиндрическую поверхность радиусом \(R\), располагается на расстоянии \(a = 4R\) от т. \(O\) на оси симметрии системы \(OO_1\). Определите расстояние от т. \(O\) до вершины каустики, формируемой отражёнными лучами в этом случае. (4 балла)
В тонкостенный стеклянный цилиндрический стакан наливают воду и освещают светом фонаря. Ось пучка света составляет разные углы \(\alpha\) с горизонтальной поверхностью стола в п. 3 и п. 4. В п. 3 стакан фотографируют сверху (оптическая ось объектива перпендикулярна дну стакана), а освещают справа. В п. 4 ось объектива немного отклоняется от перпендикуляра.
Величина угла \(\alpha\) около \(45^\circ\). Вблизи дна стакана наблюдается кривая с двумя вершинами, части которой напоминают кривую из п. 1. На рисунке вершины обведены квадратиками. Объясните наблюдаемую картину. (3 балла)
Радиус основания стакана равен \(R = 8\) см. Фонарь располагается на расстоянии \(a \approx 10R\) от оси стакана. Угол \(\alpha\) можно считать малым. Снаружи стакана видна каустика, образованная прошедшими через стакан лучами. Определите приближённо расстояние от стакана до вершины каустики (до вершины «конуса»). Показатель преломления воды равен \(n \approx 1{,}33\). (6 баллов)
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЛучи касаются каустики, а вблизи оси хорошо работает параксиальное приближение: отражение от вогнутого зеркала даёт фокус на расстоянии, которое для п. 2 можно найти по формуле зеркала, а в п. 4 стакан с водой нужно рассматривать как «толстую» линзу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(AO = \dfrac{R}{2}\), \(PA = R\left(\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\right)\); 2) \(OA = \dfrac{4R}{9}\); 3) наблюдаются две каустики отражённых лучей. Одна формируется лучами, однократно отразившимися от левой половины стакана. Другая формируется лучами, испытавшими отражение от левой и правой половин стакана; 4) \(S = 1{,}5R = 12\) см.
Глаз в сферическом зеркале
5/10Глаз аккомодирован на расстояние d, изображение в плоском зеркале даёт опорную высоту; в вогнутом зеркале прямое изображение вдвое больше, из подобия и формулы зеркала находится радиус кривизны.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Мираскоп
6/10Два вогнутых зеркала дают изображение лягушки в отверстии верхнего; объяснить перевёрнутость по горизонтали и оценить увеличение в параксиальном приближении.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Телескоп-рефлектор Ньютона
5/10Рефлектор Ньютона – это зеркальный аналог зрительной трубы Кеплера. Вогнутое сферическое зеркало \(M_1\) (см. рисунок, расположенный ниже по тексту), представляющее собой объектив телескопа-рефлектора, формирует в фокальной плоскости действительное изображение небесного светила. Это изображение рассматривается через окуляр \(L\), роль которого играет собирающая линза. На рисунке также можно видеть плоское поворотное зеркало \(M_2\).
Зеркало отклоняет сходящийся отражённый (от вогнутого зеркала) пучок света в сторону. На рисунке схематично показан ход лучей.
Пусть радиус сферического зеркала равен \(R\), а фокусное расстояние линзы равно \(F\). Чему равно угловое увеличение прибора?
Указание. Угловым увеличением \(\gamma\) оптических приборов, предназначенных для наблюдения удалённых объектов, называется отношение \(\gamma = \dfrac{\alpha'}{\alpha}\), где \(\alpha'\) – угол, под которым рассматриваемый объект виден в окуляр, \(\alpha\) – угол зрения невооружённым глазом с того же расстояния.
Один из крупнейших в мире телескоп Специальной астрофизической обсерватории РАН (сделанный по схеме Ньютона) имеет фокусное расстояние объектива \(F = 300\) м. Каков максимально допустимый угол \(\varphi_{\max}\) качания телескопа, обусловленный вибрациями фундамента обсерватории, при котором ещё полностью используется разрешающая способность фотоплёнки \(\delta = 50\) линий/мм при фотографировании астрономических объектов? При фотографировании плёнка помещается в фокальную плоскость объектива, используется длительная выдержка до нескольких минут.
Пусть из-за проходящих рядом с обсерваторией строительных работ телескоп колеблется с амплитудой \(10^{-6}\) рад. Чему будет равен размер изображения на плёнке, если угловой размер источника \(10^{-7}\) рад?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ телескопной настройке фокальные плоскости объектива и окуляра совпадают; сравните углы, под которыми изображение размера \(H\) видно из этих двух фокусов. При качании зеркала на угол \(\varphi\) изображение сдвигается на \(2F\varphi\), но плёнка тоже сдвигается.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\gamma = \dfrac{R}{2F}\); 2) \(\varphi_{\max} = \dfrac{1}{F\delta} \approx 6{,}7\cdot 10^{-8}\) рад; 3) \(\Delta = 0{,}63\) мм.
▶РешениеСкрыть: решение
Решениеа) При наблюдении удалённого предмета объектив формирует его действительное изображение в своей фокальной плоскости. Это изображение рассматривается в окуляр, как в лупу. Если фокальные плоскости объектива и окуляра совпадают, то параллельный входящий пучок переходит в параллельный выходящий, но идущий, вообще говоря, под другим углом к главной оптической оси системы. В этом случае наблюдение ведётся ненапряжённым глазом и угловое увеличение телескопа легко находится из рисунка \[\gamma = \frac{\alpha'}{\alpha} = \frac{H/F}{H/F_1} = \frac{F_1}{F} = \frac{R}{2F},\] где \(H\) – размер изображения в совмещённых фокальных плоскостях объектива и окуляра, \(F_1 = \dfrac{R}{2}\) – фокусное расстояние объектива.
б) При повороте зеркала из-за тряски фундамента на угол \(\varphi\) его главная оптическая ось поворачивается тоже на угол \(\varphi\), а изображение точки астрономического объекта, находящееся в фокальной плоскости, сместится, как нетрудно понять, на \(2F\varphi\) (на \(\varphi\) возрастёт угол падения и на столько же – угол отражения). Но та же тряска фундамента вызовет смещение самой плёнки на \(F\varphi\) (ибо <<всё>> вместе с фундаментом повернётся на угол \(\varphi\)), так что относительно плёнки изображение сместится только на \(F\varphi\). Очевидно, что эта величина не должна быть больше \(1/\delta\), откуда \[\varphi_{\max} = \frac{1}{F\delta} \approx 6{,}7\cdot 10^{-8}\text{ рад}.\]
в) Обозначим угловой размер источника \(\alpha = 10^{-7}\). В идеальных условиях размер его изображения на плёнке будет равен \(\Delta_0 = \alpha F\), так что на плёнке получится круг указанного диаметра. Однако вследствие вибраций обсерватории центр изображения Плутона при съёмке будет хаотически смещаться с амплитудой \(d = \varphi F\). Размах колебаний центра (расстояние между крайними положениями) будет вдвое больше амплитуды, а полный размер изображения, полученного с длительной выдержкой, составит \(\Delta = \Delta_0 + 2d = F(\alpha + 2\varphi) = 0{,}63\) мм.
Вращающаяся жидкость как зеркало
5/10Свободная поверхность вращающейся жидкости — параболоид; радиус кривизны в нижней точке g/ω², он же даёт параболическое зеркало, фокус которого определяет расстояние до изображения Солнца (лучи параллельны оси). (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Интерференция с зеркалом
6/10Источник вблизи выпуклого зеркала и его изображение — два когерентных источника; кольца на экране, потеря полуволны при отражении, число полос и область, где полосы ещё различимы.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Линза и шар с зеркальной задней стенкой
7/10Шар с отражающим покрытием работает как система преломление-отражение-преломление; условие совпадения изображения с источником при любом n даёт радиус, затем показатель преломления при смещении (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.