Фотометрия, освещённость

Непосредственно под лампой расстояние равно высоте, лучи падают по нормали:

Выше — норма уже не выполняется. Сбоку от «под лампой» ещё хуже: и расстояние больше, и \(\cos\theta<1\).

Определение люкса: 1 лк = 1 кд/м² на нормальную площадку. Поэтому \(E=I/h^2\) пишется без коэффициентов. Норма «не менее 100 лк» при \(I=100\) кд даёт \(h\le1\) м. Чуть в стороне \(E=I\cos^3\theta/h^2\) уже меньше: край стола не дотягивает до нормы, если лампу повесить ровно на пределе.

Почему именно квадрат высоты, а не, скажем, \(h\) или \(h^3\)? Изотропная лампа силы \(I=100\) кд гонит световой поток \(4\pi I\) на полную сферу. На расстоянии \(h\) эта сфера имеет площадь \(4\pi h^2\), и на каждый квадратный метр приходится \(I/h^2\) люмен — ровно определение освещённости. Норма \(E=100\) лк при \(I=100\) кд ставит нас на сферу радиуса 1 м: выше — поток «размазывается» сильнее, чем позволяет норма.

Числовой ориентир со школьной настольной лампой. Обычная лампа накаливания 60 Вт даёт около 700 лм, то есть среднюю силу света \(I\sim700/(4\pi)\approx55\) кд. Чтобы на тетради было те же 100 лк, её надо повесить не выше \(\sqrt{55/100}\approx0{,}74\) м — как раз высота нормального абажура. Если ту же сотню кандел поднять на 2 м, под ней останется всего 25 лк: читать можно, чертить тонкие линии — уже нет. Предел \(I\to0\) очевидно требует \(h\to0\): тусклый источник годится, только если его ткнуть носом в тетрадь.

Точечный источник на высоте \(h\). В точке с углом падения \(\theta\)

\(\cos30^\circ=\sqrt3/2\), \(\cos^3 30^\circ=3\sqrt3/8\approx0{,}650\), \(E_1=130\) лк.

\(\cos45^\circ=1/\sqrt2\), \(\cos^3 45^\circ=\sqrt2/4\approx0{,}354\), \(E_2=71\) лк.

\(\cos60^\circ=1/2\), \(\cos^3 60^\circ=1/8\), \(E_3=25\) лк.

Куб косинуса собирается из двух разных мест, и их полезно не сваливать в одну кучу. Расстояние до точки с углом \(\theta\) есть \(r=h/\cos\theta\), поэтому закон \(1/r^2\) уже даёт \(\cos^2\theta\). Плюс закон Ламберта: та же порция лучей падает на площадку, «растянутую» в \(1/\cos\theta\) раз, и ещё один \(\cos\theta\) приходит от проекции. Вместе \(E=E_0\cos^3\theta\). При \(E_0=200\) лк и \(\theta=60^\circ\) остаётся ровно восьмушка — 25 лк, как у ночника.

Оценим письменный стол. Лампа висит в 60 см над серединой, край стола в 60 см в сторону: \(\theta=45^\circ\), и там \(E\approx71\) лк против 200 лк под лампой. На \(30^\circ\) ещё терпимо (130 лк), на \(60^\circ\) уже «пещера». Предел \(\theta\to0\) возвращает все 200 лк; при \(\theta\to90^\circ\) косинус в кубе убивает свет быстрее любой экспоненты — скользящий луч почти не освещает, только рисует длинные тени.

Прямой свет, высота 2 м:

Изображение \(S'\) симметрично относительно вертикального зеркала: на 2 м правее \(S\), на той же высоте 2 м. До точки под \(S\) от \(S'\) расстояние \(\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\) м, луч идёт под \(45^\circ\) к нормали:

Сумма \(E\approx40{,}6\ \text{лк}\approx41\) лк.

Метод изображений здесь работает буквально как вторая лампа. Вертикальное зеркало в метре от \(S\) сажает фиктивный источник \(S'\) ещё на метр дальше, на той же высоте 2 м. До точки под настоящей лампой от \(S'\) гипотенуза \(2\sqrt2\) м, и луч идёт под \(45^\circ\). Сила света та же 120 кд (зеркало абсолютно отражающее), поэтому «зайчик» даёт \(120\cdot(\sqrt2/2)/8\approx10{,}6\) лк. Прямой вклад \(120/4=30\) лк, сумма \(\approx41\) лк.

Если зеркало отодвинуть на расстояние \(d\) от лампы, добавка станет \(120\cdot h/(h^2+4d^2)^{3/2}\). При \(d\to\infty\) она падает как \(1/d^3\) — и расстояние растёт, и наклон портится. При \(d=1\) м, как в условии, добавка — треть прямого света; при \(d=2\) м уже только \(\approx2{,}1\) лк, почти не чувствуется. Два зеркала в правом углу дали бы два изображения и ещё \(\sim10\) лк — но это уже другая задача.

Прямой свет: \(E_1=I/h^2\). Изображение в плоском зеркале — на \(x\) выше зеркала, то есть на \(h+2x\) над полом. Лучи от изображения тоже идут вертикально вниз:

Источник \(S\) на высоте \(h\), зеркало на \(x\) над лампой. Изображение \(S'\) лежит на высоте \(h+2x\). Под лампой складываются два вклада:

При \(x=0\) зеркало лежит на лампе — \(E=2I/h^2\). При \(x\to\infty\) изображение уходит, остаётся \(I/h^2\).

Физическая картинка простая, как два фонаря на одной вертикали. Настоящий \(S\) сидит на высоте \(h\) и светит вниз \(I/h^2\). Плоское зеркало на высоте \(x\) над ним порождает изображение на высоте \(h+2x\) — как лампочку, повешенную за потолком. Под источником оба луча идут по нормали, косинусов нет, остаётся сумма квадратов расстояний. Отсюда и числитель \(h^2+(h+2x)^2\): это просто \(r_1^2+r_2^2\) в общем знаменателе.

Полезно спросить: на сколько близко к лампе жать зеркало, чтобы добавка была хотя бы половиной прямого света? Нужно \(h+2x=h\sqrt2\), то есть \(x=h(\sqrt2-1)/2\approx0{,}21h\). Если \(h=2\) м, зеркало — в 40 см над лампой. Уже при \(x=h\) выигрыш всего \(1/9\approx11\%\): изображение уехало на \(3h\), и \(1/(3h)^2\) мало. Производная \(dE/dx=-4I/(h+2x)^3<0\) всегда — поднимать зеркало бессмысленно, только прижимать.

Сторона \(AB\) параллельна экрану, так что вышедший из \(AB\) пучок бьёт в экран под углом \(\delta\) к нормали. Освещённость площадки

Вдоль экрана картина такая. Слева и справа от «тени призмы» — исходная \(E_0\). В геометрической тени, куда преломлённый пучок не попал, \(E=0\). В полосе, куда сел преломлённый пучок, плато \(E_0\cos\delta\). На границах полосы — узкие всплески или провалы из-за дифракции на рёбрах; в геометрической оптике их нет.

Если \(\delta\) мало, \(\cos\delta\approx1\), и единственный видимый эффект — сдвиг светлой полосы и появление тени ширины порядка основания призмы.

Почему в полосе «зайчика» стоит именно \(\cos\delta\), а не, скажем, \(1/\cos\delta\)? Параллельный пучок несёт тот же поток \(\Phi\) на ту же ширину пучка. После клина он бьёт в экран под углом \(\delta=(n-1)\alpha\) к нормали, и тот же \(\Phi\) размазывается по площадке, растянутой в \(1/\cos\delta\). Освещённость — поток на площадь — падает как \(\cos\delta\). Для стекла \(n\approx1{,}5\) и призмы \(\alpha=10^\circ\approx0{,}17\) рад получим \(\delta\approx5^\circ\), \(\cos\delta\approx0{,}996\): глазом не отличишь от \(E_0\). Весь видимый эффект — тень ширины основания \(AB\) и сдвиг светлой полосы.

Предел \(\alpha\to0\): клина нет, \(\delta=0\), график вдоль экрана — ровная полка \(E_0\). При большом \(\alpha\) пучок уходит почти вдоль экрана, \(\cos\delta\to0\), «зайчик» тускнеет, а тень остаётся чёрной. Энергия никуда не делась: интеграл \(E\,dx\) по всему экрану равен потоку, упавшему на призму, плюс тому, что прошёл мимо неё. Дифракция на рёбрах размажет границы на \(\sim\lambda L/a\), но в геометрической оптике этих гребешков нет.

Пусть \(E_\odot\) — освещённость земной (и лунной) площадки Солнцем. Мощность, падающая на Луну, \(E_\odot\cdot\pi R^2\). «Во все стороны равномерно» для поверхности — в наружную полусферу \(2\pi\), сила света диска

Освещённость Земли полной Луной (Луна в зените, как и Солнце в условии):

В 80 000 раз.

Другой путь к тем же \(8\cdot10^4\). Солнечная освещённость Луны равна нашей дневной \(E_\odot\). Диск Луны перехватывает поток \(E_\odot\pi R^2\) и, по условию, отдаёт его в наружную полусферу. Сила света «лунной лампы» \(I=E_\odot R^2/2\). С Земли, \(L=4\cdot10^5\) км, при Луне в зените \(E_☽=I/L^2=E_\odot R^2/(2L^2)\). Подстановка \(R=2\cdot10^3\) км даёт \(2L^2/R^2=2\cdot(200)^2=8\cdot10^4\). Телесный угол лунного диска \(\pi R^2/L^2=\pi/4\cdot10^4\) — вот та малая доля неба, которой светит полная Луна.

Реальное отношение ближе к \(4\cdot10^5\), потому что альбедо Луны \(\approx0{,}12\), а не единица, и диск не идеальный ламбертов рассеиватель. Если бы мы зря отправили свет в полную сферу \(4\pi\), вышло бы 160 000 — того же порядка. Предел \(L\to\infty\) гасит лунную ночь как \(1/L^2\); при \(R\to0\) Луна перестаёт быть экраном. Серп вместо полнолуния умножает ответ на долю освещённой площади: в четверть Луны ночь темнее ещё в несколько раз.

Прямой проход: \(I(1-k)^2\). Один полный цикл двух отражений внутри и снова выход: ещё \(I(1-k)^2 k^2\). Два цикла — \(k^4\), и так далее:

Пучок \(I\) на первой грани: отражается \(kI\), проходит \((1-k)I\). Сумма вышедшего вперёд — геометрическая прогрессия со знаменателем \(k^2\):

Сумма прошедшего — ещё не всё. Можно так же сложить всё, что ушло назад, и проверить энергию. Первое отражение от передней грани даёт \(kI\). Дальше из пластины наружу (назад) выходит ещё \((1-k)^2 k I(1+k^2+\cdots)=k(1-k)I/(1+k)\). Итого отражённое \(I_r=I\cdot 2k/(1+k)\). Складываем с прошедшим \(I'=I(1-k)/(1+k)\): \(I'+I_r=I\). Поглощения нет, счёт сошёлся. Формула \((1-k)/(1+k)\) потому и выглядит «дробью из отражения», что прошедшее и отражённое делят единицу в отношении \((1-k):2k\).

Для оконного стекла \(k\approx0{,}04\), тогда \(I'\approx0{,}923\,I\) и назад уходит 7,7 %. Две такие пластины (двойной стеклопакет без просветления) умножают на \([(1-k)/(1+k)]^2\approx0{,}85\): уже заметная потеря. Предел \(k\to0\) — пластины как будто нет, \(I'=I\). Предел \(k\to1\) — обе грани зеркала, внутрь ничего не заходит, \(I'\to0\). Если бы поглощение внутри было \(\alpha\) на проход, в знаменателе прогрессии вместо \(k^2\) стояло бы \(k^2 e^{-2\alpha}\), и красивое сокращение \((1-k)\) сломалось бы.

Освещённость спутника Солнцем — та же \(E_\odot\), что у нас. Рассеянная мощность \(\sim E_\odot\pi R^2\), освещённость Земли с 300 км

Солнцеподобная звезда на расстоянии \(x\): \(E_*=E_\odot(R_\odot/x)^2\), удобнее через а.е.: \(E_*=E_\odot(\mathrm{а.е.}/x)^2\). Но проще сравнить с тем, что \(E_\odot=L_\odot/(4\pi\,\mathrm{а.е.}^2)\), и спутник даёт

Равенство \(E_\text{сп}=E_*\):

\(\mathrm{а.е.}=1{,}5\cdot10^{11}\) м, \(x\sim6\cdot10^{16}\) м \(\sim5\)–7 световых лет. Оценка книги: \(\sim5\) св. лет.

Соберём те же 5 световых лет из ватт, без астрономических единиц. Солнечная постоянная \(\approx1{,}4\) кВт/м², спутник радиуса 1 м перехватывает \(\sim1{,}4\cdot10^3\cdot\pi\approx4{,}4\) кВт. Рассеивая в полусферу, он даёт силу света \(\sim4{,}4\cdot10^3/(2\pi)\approx700\) Вт/ср. С \(L=300\) км \(=3\cdot10^5\) м освещённость у глаза \(E_\text{сп}\sim700/(3\cdot10^5)^2\approx8\cdot10^{-9}\) Вт/м². Солнцеподобная звезда светимости \(3{,}8\cdot10^{26}\) Вт на расстоянии \(x\) даёт \(E_*=3{,}8\cdot10^{26}/(4\pi x^2)\). Равенство даёт \(x\sim6\cdot10^{16}\) м \(\approx6{,}5\) св. лет — как в ответе.

Почему «рядовая» звезда, а не Сириус? Сириус в 20 раз ярче Солнца, и расстояние выросло бы в \(\sqrt{20}\approx4{,}5\) раза, до 25 св. лет. Предел \(R\to0\): спутник гаснет как \(R^2\), с 10 см его уже не спутаешь со звездой. Обратно, модуль МКС метров десять — в сто раз по площади, и он действительно спорит с Венерой. Расстояние 300 км выбрано не случайно: низкая орбита, спутник ещё не точка для бинокля, но для глаза уже точка.

Мощность локатора \(N\). У Венеры плотность потока \(N/(4\pi r^2)\). Планета перехватывает \(\sim\pi R^2\) и рассеивает примерно изотропно. Приёмник площади \(A\) на Земле получает

Спутник мощности \(N'\) даёт \(P_\text{сп}\sim N'A/r^2\). По условию \(P\) одинаковы:

\(R\) — радиус Венеры, \(r\) — расстояние Земля–Венера. Это \(\sim10^{-8}\): спутниковый ватт заменяет гигаватты радара.

Разница \(1/r^4\) против \(1/r^2\) — вся соль радиолокации. Локатор платит дважды: поток до Венеры падает как \(1/r^2\), планета перехватывает долю \(\sim R^2/r^2\) своего «неба», и эхо на обратном пути снова делится на \(4\pi r^2\). Спутник — это маяк: он сразу излучает \(N'\) в нашу сторону, и приёмник берёт только последнюю \(A/r^2\). При равном уровне на антенне \(N'/N\sim(R/r)^2\).

Числа. Радиус Венеры \(R\approx6050\) км, в нижнем соединении \(r\approx4\cdot10^7\) км, \((R/r)^2\approx2\cdot10^{-8}\). Киловатт на спутнике заменяет 50-мегаваттный радар. В верхнем соединении \(r\approx2{,}6\cdot10^8\) км, отношение падает ещё в 40 раз. Предел \(r\to R\) (приёмник на поверхности Венеры) даёт \(N'\sim N\): «туда-обратно» вырождается в один путь. Именно поэтому планетный радар — чудовище на сотни киловатт, а «передатчик на орбите» шепчет ваттами.

Пусть мощность излучателя \(N\), эффективная площадь машины \(\sim r^2\), площадь антенны \(A\). На пределе дальности инспектора

Водитель ловит прямой поток:

При \(P=P_\min\)

\(r\) — характерный размер автомобиля (метр). Если радар берёт машину с 300 м, антирадар пискнет уже с десятков километров.

Порог приёмника \(P_\min\) один и тот же — у инспектора и у водителя аппаратура одинаковая. Инспектору нужно эхо: излучатель \(N\) освещает машину площади \(\sim r^2\) с расстояния \(R\), та рассеивает, и назад на антенну \(A\) приходит \(NAr^2/R^4\). На пределе дальности это как раз \(P_\min\). Водитель ловит прямую волну \(NA/x^2\). Приравнивая, \(x\sim R^2/r\). Метр в знаменателе — размер машины, не расстояние: чем меньше цель, тем слабее эхо у полиции, тем дальше «слышит» антирадар при том же \(R\).

Пусть радар берёт легковушку (\(r\approx2\) м) с \(R=300\) м. Тогда \(x\sim300^2/2=45\) км. Рекламные «обнаружит за 3–5 км» скромнее из-за узкой диаграммы направленности: водитель ловит только боковой лепесток. Предел \(r\sim R\) (отражатель с человека в упор) даёт \(x\sim R\): прямая и обратная волны сравнимы, прятаться поздно. Размерность \(R^2/r\) — метры, как и должно быть у расстояния.

Из любой точки предмета в любую точку образа можно провести луч через оптический центр и через нижнюю половину. Поэтому изображение останется целым, того же размера и в том же месте. Исчезнут только лучи, шедшие через верх, — освещённость упадёт примерно вдвое.

Почему не ровно вдвое и не одинаково? Предмет конечного размера: из верхней точки в линзу смотрит конус, смещённый вверх, из нижней — вниз. Верхняя половина линзы забирает у верхней части стрелки-предмета чуть больше половины её лучей, у нижней — чуть меньше. Поэтому освещённость образа верхней части предмета упадёт несколько сильнее, чем в два раза, нижней — несколько слабее.

Искушение сказать «закрасили верх — пропадёт верх картинки» очень велико, и оно неверное. Изображение точки строится любым пучком, прошедшим линзу: достаточно нижней половины, чтобы из каждой точки предмета провести луч через оптический центр и ещё один — через открытый край. Поэтому стрелка на экране останется целой, того же размера и в том же месте. Исчезнут только лучи верхней полулинзы, и поток упадёт примерно вдвое.

Почему «примерно» и почему верх предмета темнеет сильнее низа? Предмет конечный. Из верхней точки стрелки конус лучей, идущих в линзу, смещён вверх: верхняя половина забирала у этой точки больше половины света. Из нижней точки — наоборот. Поэтому освещённость образа «головы» стрелки падает чуть больше чем в 2 раза, «ног» — чуть меньше. Для точечного предмета на оси деление ровно пополам, асимметрия исчезает. Закройте пол-очков пальцем: мир не обрежется, только потемнеет — та же оптика.

Плоско-выпуклая: \(1/f=(n-1)/R\). Разрезали по диаметру и сложили плоскими гранями — получилась двояковыпуклая с теми же \(R\),

Две полулинзы, сложенные плашмя, в плане дают полукруг: световая площадь \(S'=S/2\). Изображение Солнца имеет площадь \(\propto (f\alpha)^2\), поэтому

Освещённость вырастет в два раза. (Само пятно станет вчетверо меньше площадью и соберёт вдвое меньше света.)

Освещённость солнечного пятна \(E\propto S/f^2\) собирается из двух кусков. Мощность, пойманная линзой, \(\Phi\propto S\). Угловой размер Солнца \(\alpha\approx32'\) один и тот же, линейный размер образа \(f\alpha\), площадь пятна \(\propto f^2\). После склейки плоскими гранями линза стала двояковыпуклой: \(1/f'=(n-1)(1/R+1/R)=2/f\), то есть \(f'=f/2\), пятно вчетверо меньше. Но в плане две половины перекрываются — световая площадь \(S'=S/2\), мощности вдвое меньше. Итого \(E'/E=(1/2)/(1/4)=2\).

Если бы половины поставили рядом, не перекрывая, \(S\) сохранилась бы и выигрыш был бы четырёхкратный. Предел \(n\to1\): обе линзы, и целая, и склеенная, перестают собирать (\(f\to\infty\)), отношение формально держится, но сами \(E,E'\to0\). Энергия не появляется из ниоткуда: пятно вчетверо меньше площадью и собрало вдвое меньше света — плотность удвоилась, интеграл упал.

Расстояние от фокуса до зеркала \(R/2\). Сила света источника \(I\). На элемент зеркала падает поток \(d\Phi=I\,d\Omega=I\,dA/(R/2)^2\) (параксиально, \(h\ll R\)). После отражения тот же поток идёт параллельным пучком того же сечения \(dA\), поэтому освещённость «зеркальной» стороны

Правая сторона видит источник на расстоянии \(\approx l\) (по условию \(h\ll l\)):

Если зеркало слева, левая грань — зеркальная. Отношение, записанное в ответах, соответствует сторонам «к источнику / к зеркалу» в книжной фигуре:

(Прямой свет \(\propto1/l^2\), отражённый \(\propto4/R^2\); какая грань «левая», читается с рисунка в задачнике.)

Почему отражённый пучок однороден и равен \(4I/R^2\)? Источник \(S\) сидит в фокусе, на расстоянии \(R/2\) от зеркала. На пятачок зеркала площади \(dA\) падает поток \(I\,dA/(R/2)^2=4I\,dA/R^2\). После отражения тот же поток идёт параллельно оси тем же сечением \(dA\) — значит освещённость «трубы» параллельных лучей в точности \(4I/R^2\) и не зависит от того, где по оси стоит пластинка. Правая сторона видит сам \(S\) с расстояния \(\approx l\) (раз \(h\ll l\)), и там обычное \(I/l^2\).

Отношение «к источнику / к зеркалу» есть \((R/2l)^2\). При \(l=R/2\) (пластинка у полюса) оно порядка единицы: прямой и отражённый вклады сравнимы. При \(l\ll R/2\) прямой свет бьёт в упор, а зеркальный «размазан» по сечению трубы — прямая сторона ярче. \(h\) из ответа выпал: в параксиали пучок однороден по сечению, высота пластинки над осью не важна, лишь бы \(h\ll R,l\). Если \(h\) сравним с \(l\), появится ещё \(\cos\theta\) на наклон правой грани.

Линза в \(x\) от \(S\), экран в \(a-x\) от линзы. Образ: \(v=xf/(x-f)\). На экране конус «линза \(\to\) образ» даёт пятно с коэффициентом \(|1-(a-x)/v|\). Поток через линзу \(I\cdot\pi R^2/x^2\), откуда освещённость в центре (точка \(A\) на оси)

Но \(E_0=I/a^2\), поэтому

Знаменатель: \(xf-(a-x)(x-f)=x^2-ax+af\). Парабола с ветвями вверх, минимум при \(x=a/2\). Дискриминант \(a^2-4af=a(a-4f)<0\): нуля нет, образ на экран не садится. Значит \(E\) максимальна при \(x=a/2\).

Условие \(a<4f\) — это запрет на формулу Бесселя. Два положения линзы, дающие резкий образ на фиксированном отрезке \(a\), существуют только при \(a\ge4f\). Знаменатель освещённости \(x^2-ax+af\) — парабола, минимум при \(x=a/2\) равен \(af-a^2/4=a(f-a/4)\). При \(a<4f\) этот минимум строго положителен: образ на экран не садится никогда, пятно рассеяния не стягивается в точку, \(E\) остаётся конечной. Самое узкое пятно — и самый яркий центр — как раз когда линза посередине.

Во сколько раз выигрываем в максимуме? \(E_\max/E_0=f^2/(f-a/4)^2\). Для \(a=2f\) это ровно 4: линза посередине делает точку \(A\) вчетверо ярче, чем без неё. При \(x\to0\) или \(x\to a\) линза «в источнике» или «на экране», формула даёт \(E\to E_0=I/a^2\) — линза перестаёт работать как линза. При \(a=4f\) минимум знаменателя нулевой, и в идеале \(E\to\infty\): это как раз совпадение \(d=d'=2f\).

Поток в объектив \(\Phi\propto D^2/L^2\). Площадь пятна Эйри \(\propto(f/D)^2\), но отношение \(\Phi/S_\text{пятна}\) после сокращения фокуса (яркость в фокальной плоскости)

Порог: \(D_0^4/L_0^2=D^4/L^2\), откуда

Именно четвёртая степень, а не вторая: мало того что света больше, так ещё и пятно мельче.

Четвёртая степень диаметра — не жадность формулы, а два разных эффекта сразу. Объектив площади \(\propto D^2\) с расстояния \(L\) собирает поток \(\propto D^2/L^2\). Дифракционный диск Эйри имеет угловой радиус \(\sim\lambda/D\), линейный \(\sim\lambda f/D\), площадь \(\propto1/D^2\). Освещённость пятна — поток на эту площадь — растёт как \(D^4/L^2\). Порог «заметить звезду» есть одна и та же освещённость пятна на фоне, откуда \(L\propto D^2\). Телескоп вдвое шире видит вчетверо дальше.

Если бы мешала только нехватка фотонов (небо идеально чёрное), хватило бы \(L\propto D\). Днём и в сумерках фон протяжённого неба оптика не усиливает (теорема о яркости), а звезду усиливает и сбором, и концентрацией — итого \(D^2\). Число: искатель 5 см и любительский 20 см, отношение диаметров 4, дальность 16. Тусклую переменную, едва видную в искатель с \(L_0\), большой инструмент возьмёт с \(16L_0\). Для протяжённой туманности поверхностная яркость не растёт, и эта роскошь пропадает.

Яркость Солнца превзойти нельзя: в лучшем случае изображение столь же ярко, как сам диск. «Сжечь корабль» — это про освещённость (Вт/м²), а не про яркость (Вт/(м²·ср)).

Вогнутое зеркало, \(f=R/2\). Из фокуса зеркало видно под телесным углом \(\Omega=\pi(D/2)^2/f^2=\pi D^2/R^2\). Освещённость изображения

Это максимум: больше телесный угол не сделать, не выйдя за апертуру.

Яркость \(B\) — это ватты с квадратного метра источника в единицу телесного угла. Линза и зеркало не создают энергии и не сжимают фазовый объём пучка (инвариант Лагранжа–Гельмгольца, теорема о яркости). Поэтому изображение Солнца не может быть ярче самого Солнца: в лучшем случае \(B_\text{обр}=B\). «Сжечь корабль» — это про освещённость \(E=B\Omega\), то есть про то, под каким телесным углом из пятна видно зеркало, а не про то, чтобы сделать пятно «горячее Солнца по яркости».

У вогнутого зеркала \(f=R/2\), из фокуса апертура \(D\) видна под \(\Omega=\pi(D/2)^2/f^2=\pi D^2/R^2\). Отсюда \(E_\text{макс}=B\pi D^2/R^2\). Число: \(D=1\) м, \(R=2\) м, \(\Omega\approx0{,}8\) ср. У ламбертова Солнца \(B=\sigma T_\odot^4/\pi\approx2\cdot10^7\) Вт/(м²·ср), и в фокусе \(\sim1{,}6\cdot10^7\) Вт/м² — десять тысяч «солнц» по освещённости, но яркость пятна всё равно солнечная. Предел \(D/R\to0\) гасит \(E\); если зеркало закрывает полнеба, \(\Omega\sim2\pi\) и \(E\sim2\sigma T_\odot^4\) — порядок температуры Солнца, не выше.

Теплота парообразования \(L\approx2{,}26\cdot10^6\) Дж/кг, для 100 г

За \(t=60\) с нужна мощность \(P=Q/t=3{,}77\cdot10^3\) Вт. Поток \(0{,}14\) Вт/см² \(=1{,}4\cdot10^3\) Вт/м²:

«Выкипела» в задаче значит: вода уже у кипения, греть от комнатной не надо, нужна только теплота парообразования \(L=2{,}26\) МДж/кг. На 100 г это \(Q=226\) кДж, за минуту — мощность 3,77 кВт. Солнечный поток у земли 0,14 Вт/см² \(=1{,}4\) кВт/м², откуда площадь зеркала \(S=3{,}77/1{,}4\approx2{,}7\) м² и диаметр \(D\approx1{,}85\) м. Зеркало-полтора метра на дворе и правда вскипятит кружку «в фокусе» за минуту, если не дует.

Если честно греть ещё и от \(20^\circ\)C до \(100^\circ\)C, добавится \(mc\Delta T=33\) кДж (\(\approx15\%\)), диаметр вырастет до \(\approx2{,}0\) м — того же порядка. Потери: чёрный сосуд при \(100^\circ\)C излучает \(\sigma T^4\approx1{,}1\) кВт/м²; на кастрюльке 10 см это \(\sim30\) Вт против 3,8 кВт зеркала, ими задача и велит пренебречь. Предел \(t\to\infty\): достаточно крошечного зеркальца, \(D\propto1/\sqrt t\). При \(t=2\) мин хватит \(D\approx1{,}3\) м.

Яркость Солнца \(B=\sigma T_\odot^4/\pi\), \(T_\odot\approx6\cdot10^3\) К. Один щит с корабля виден под \(\Omega=\pi(d/2)^2/x^2\). Если в щите видно Солнце (луч направлен верно), освещённость от одного щита

\(N\) щитов: \(E=N E_1\). Для температуры \(T\) нужно \(E\sim\sigma T^4\):

Каждый щит диаметра \(d=1\) м с корабля на \(x=500\) м виден под телесным углом \(\Omega=\pi(d/2)^2/x^2\). Если в щите видно Солнце (луч наведён), щит светит яркостью Солнца \(B=\sigma T_\odot^4/\pi\), и один даёт освещённость \(E_1=\sigma T_\odot^4\cdot d^2/(4x^2)\). Дереву, чтобы загореться при \(T\approx1000\) К, нужен поток порядка \(\sigma T^4\). Делим: \(N\sim(4x^2/d^2)(T/T_\odot)^4\). Подстановка \(T_\odot\approx6000\) К даёт \((1/6)^4=1/1296\) и \(4\cdot500^2=10^6\), откуда \(N\approx770\).

Семьсот полированных щитов по метру — целая когорта на стенке гавани. Легенда на грани: реальное дерево загорается скорее от длительных \(500^\circ\)C, плюс качка и ветер. Если взять \(T=600\) К, \(N\) упадёт в \((1000/600)^4\approx8\) раз, до сотни щитов. Предел \(x\to0\): хватит одного зеркала в упор. При \(T=T_\odot\) формула требует закрыть четверть сферы — ровно тот потолок яркости, что в задаче 13.4.16. Угловой размер щита \(d/x=0{,}002\) рад меньше солнечного диска (\(0{,}009\)): в щите виден кусок Солнца, не целое, но \(E=B\Omega_\text{щита}\) от этого не меняется.

Без линзы точка под отверстием диаметра \(D\) на глубине 1 м видит дырку под углом \(\Omega=\pi(D/2)^2/1^2\), освещённость \(E=B\Omega\).

С линзой \(f=1\) м дно — фокальная плоскость: каждая её точка соответствует направлению на небе. Освещённость изображения протяжённого источника \(E=B\cdot\Omega_\text{линзы}\), а оправа линзы — то же отверстие. \(\Omega\) тот же, \(E\) та же.

Это общее правило: яркость облаков линза не увеличит (см. 13.4.16), дырка одна и та же — освещённость не меняется.

Пасмурное небо — поверхность почти постоянной яркости \(B\). Освещённость точки на дне есть \(B\), умноженная на телесный угол «окна». Без линзы дырка диаметра \(D\) на глубине 1 м даёт \(\Omega=\pi(D/2)^2\). С линзой в 1 дптр дно попадает в фокальную плоскость: каждая точка дна соответствует направлению на небе, и освещённость изображения протяжённого источника снова \(E=B\cdot\Omega_\text{линзы}\). Оправа — то же отверстие, \(\Omega\) тот же, \(E\) та же. Яркость облаков линза не поднимает (см. 13.4.16).

Число: дырка 10 см, \(\Omega\approx8\cdot10^{-3}\) ср; типичная яркость сплошной облачности \(B\sim3\cdot10^3\) кд/м² даёт \(E\sim24\) лк — тусклая комната. Если бы небо было пятнистым, линза нарисовала бы на дне картину облаков, а дырка оставила бы размытое пятно: вот тогда освещённость под центром изменилась бы. Равномерная пелена специально убивает эту разницу. Предел \(D\to0\): оба варианта стремятся к нулю одинаково, как \(\Omega\).

Днём небосвод сам по себе ярче звёзд: глаз без трубы звезду топит в фоне. Объектив диаметра \(D\) собирает с звезды в \( (D/d_\text{зрачка})^2 \) раз больше фотонов и сажает их в одно дифракционное пятно (или в кружок рассеяния глаза). Яркость протяжённого неба в фокальной плоскости та же \(B\) (теорема о яркости). Поэтому на фоне того же неба звезда становится в сотни раз заметнее — и яркие (Вега, Арктур, даже Полярная в хороший инструмент) видны днём.

Днём небосвод сам по себе ярче звёзд: глаз без трубы топит Вегу в фоне. Звезда — точка, небо — протяжённый источник. Объектив диаметра \(D\) собирает с звезды в \((D/d_\text{зрачка})^2\) раз больше фотонов и сажает их в одно дифракционное пятно. Яркость протяжённого неба в фокальной плоскости та же \(B\) (теорема о яркости снова). Контраст «звезда/небо» растёт как \(D^2\), и яркие звёзды (Вега, Арктур, даже Полярная в хороший инструмент) проступают днём.

Зрачок 4 мм, рефрактор 80 мм: выигрыш в потоке от звезды в 400 раз, это \(6{,}5\) звёздной величины. Звезда 1-й величины становится как минус пятая — уже не спрячется. Венера и Юпитер иногда видны днём даже без трубы, им этой надбавки не нужно. Предел \(D\to d_\text{зрачка}\): телескоп вырождается в глаз, и днём снова пусто. Ночное преимущество предельной величины \(\propto5\lg D\) — та же физика, только фон темнее.

При \(d=3f\): \(1/(3f)+1/v=1/f\), \(v_1=3f/2\).

При \(d=5f\): \(v_2=5f/4\).

Одинаковая \(E\) значит \(D/v=\mathrm{const}\),

Во втором случае диафрагму надо чуть прикрыть: образ ближе к линзе, тот же зрачок светит «жарче».

Освещённость изображения \(E\propto (d/b)^2\), \(b=af/(a-f)\). При \(a=3f\) имеем \(b=1{,}5f\); при \(a=5f\) имеем \(b=1{,}25f\). Чтобы \(E\) совпали, \(d_2/d_1=b_2/b_1=5/6\).

Освещённость кадра протяжённого жука определяется тем, под каким углом из образа видна диафрагма: \(E\propto(d/v)^2\). Формула тонкой линзы при \(a=3f\) даёт \(v_1=3f/2\), при \(a=5f\) — \(v_2=5f/4\). Чтобы \(E\) совпали, отношение диаметров должно повторить отношение \(v\): \(d_2/d_1=5/6\). Во втором кадре аппарат дальше, увеличение меньше (\(m_2=1/4\) против \(m_1=1/2\)), образ сидит ближе к линзе и при той же дырке был бы ярче — поэтому диафрагму чуть прикрываем.

Та же история на языке относительного отверстия. \(E\propto\bigl(d/f\bigr)^2/(1+m)^2\), и \((1+m_2)/(1+m_1)=(5/4)/(3/2)=5/6\). Макрофотографы знают обратное: чем крупнее план, тем больше надо открывать дырку (или удлинять выдержку). У нас второй план мельче, дырку закрываем. Число: если в первом кадре стояло \(d_1=30\) мм, во втором нужно 25 мм. Предел обоих съёмок «с бесконечности» (\(a\to\infty\), \(v\to f\)) вернул бы \(d_2=d_1\).

Увеличение \(k=v/u\), формула линзы даёт \(v=f(1+k)\) (для действительного образа). При той же диафрагме

Чтобы экспозиция \(E\cdot t\) не изменилась,

Выдержка \(t\propto 1/E_\text{плёнки}\). Освещённость плёнки \(E\propto 1/(1+k)^2\) при фиксированной диафрагме: \(b=f(1+k)\), площадь кадра растёт как \((k+1)^2\). Отсюда \(t_1/t_2=[(k_1+1)/(k_2+1)]^2\).

Чертёж — протяжённый предмет одной и той же яркости, диафрагма фиксирована. Освещённость плёнки падает как \(1/v^2\), а сопряжённое расстояние \(v=f(1+|k|)\), где \(k=v/u\) — линейное увеличение. Выдержка, чтобы набрать ту же экспозицию \(E\cdot t\), обязана расти как \((1+k)^2\). Отсюда \(t_1=t_2[(k_1+1)/(k_2+1)]^2\). Множитель \((1+k)^2\) фотографы называют поправкой на растяжение меха: кадр расползается, те же люмены мажутся по большей площади.

При съёмке «с бесконечности» \(k\to0\) и \(t\) выходит на обычную выдержку. Макро \(k=1\) (масштаб 1:1) требует вчетверо более длинной выдержки, чем бесконечность, — знаменитые два стопа за макрокольца. При \(k=2\) уже девять раз. Если \(k_1=k_2\), разумеется \(t_1=t_2\). Размерность сходится: отношение увеличений безразмерно, секунды остаются секундами. Запас на reciprocity failure у плёнки задача не просит.

\(I/I_0=0{,}90=e^{-n\pi r^2 L}\). Для малых потерь \(-\ln0{,}90\approx0{,}105\approx0{,}1\), поэтому

Каждая капля сечением \(\pi r^2\) выбивает из пучка долю площади. На длине \(L\) оптическая толщина \(\tau=n\pi r^2 L\). Ослабление на 10 % значит \(e^{-\tau}\approx0{,}90\), \(\tau\approx0{,}1\), откуда \(n\approx(10\pi r^2 L)^{-1}\).

Капля радиуса \(r\) для видимого света — чёрный диск: параметр дифракции \(2\pi r/\lambda\gg1\), сечение \(\sigma\sim\pi r^2\). Закон Бугера \(I=I_0 e^{-n\sigma L}\) на дистанции \(L\) до маяка даёт \(0{,}90=e^{-n\pi r^2 L}\). Логарифм \(-\ln0{,}90\approx0{,}105\), с хорошей точностью 0,1, и \(n\approx1/(10\pi r^2 L)\). Оптическая толща \(\tau\approx0{,}1\) — это ещё не «не видно маяка», а лёгкая дымка: средняя длина пробега \(1/(n\sigma)\approx10L\).

Капля 10 мкм, маяк в километре: \(n\sim1/(10\pi\cdot10^{-10}\cdot10^3)\sim3\cdot10^5\) м⁻³ — сотни капель в литре, типичный очень лёгкий туман. Формула Кошмидера для метеорологической дальности видимости \(V\sim3{,}9/(n\sigma)\) при наших 10 % на \(L\) как раз даёт \(V\sim40L\): «чуть дымка», не мгла. Предел \(r\to0\) ломает модель: когда капля много меньше \(\lambda\), сечение становится релеевским \(\propto r^6/\lambda^4\), и ответ \(1/r^2\) больше не работает.

Оптическая толща \(n\pi r^2 L_\text{вид}\approx\mathrm{const}\) (одна и та же «едва видно»). Число частиц \(n=\rho/(\frac43\pi r^3\gamma)\), откуда

В книге стоит 0,2 г/м³ — лишний порядок, скорее опечатка: отношение радиусов 2 и видимостей 2,5 даёт множитель 5, \(0{,}004\cdot5=0{,}02\).

Видимость \(L_\text{вид}\) — длина, на которой \(n\cdot\pi r^2 L\) порядка единицы (одна и та же «едва видно»). Масса в кубометре \(\rho=n\cdot\frac43\pi r^3\gamma\), поэтому \(\rho\propto r/L_\text{вид}\): крупнее частица — больше массы на ту же тень, короче видимость — ещё больше массы. От первого замера (\(r=5\) мкм, \(L=50\) м, \(\rho=0{,}004\) г/м³) ко второму (\(r=10\) мкм, \(L=20\) м) множитель \(2\cdot2{,}5=5\), и \(\rho_2=0{,}02\) г/м³. В книге 0,2 — лишний порядок, опечатка: отношение радиусов 2 и видимостей 2,5 дают пять, не пятьдесят.

Почему крупный дым «менее выгодный» завесчик? Площадь перекрытия \(\propto r^2\), масса \(\propto r^3\), грамм крупной сажи кидает меньше тени. Чтобы ещё и видимость урезать с 50 до 20 м, массы нужно в 2,5 раза больше — итого \(\times5\). 20 мг на куб — густой дым, в нём и правда ничего не видно на 20 метрах. Предел \(r\to0\) при фиксированной \(\rho\) улучшает завесу (больше площади на грамм), пока не упрёмся в Рэлей.

Диаметр пятна \(\alpha L=10^{-4}L\): на 5 км — 0,5 м, на 10 км — 1 м, на 20 км — 2 м. Линза 1 м на первых двух дистанциях забирает весь пучок. Значит двукратное падение с 5 до 10 км — чистое поглощение на 5 км:

С 10 до 20 км поглощение на 10 км даёт \((1/2)^2=1/4\). Плюс геометрия: пятно 2 м, линза ловит долю \((1/2)^2=1/4\) мощности. Вместе \(1/16\).

В книге «в восемь раз»: видимо, геометрию взяли по диаметру, не по площади (\(1/2\)), тогда \(1/4\cdot1/2=1/8\). Аккуратный энергетический счёт — площадь, в 16 раз. Ниже даём книжный ответ, как просили.

Два эффекта живут отдельно, и их нельзя сваливать. Диаметр конуса \(\alpha L=10^{-4}L\): на 5 км пятно 0,5 м, на 10 км — ровно 1 м, на 20 км — 2 м. Линза приёмника тоже 1 м, поэтому до 10 км она глотает весь луч. Двукратное падение сигнала с 5 до 10 км — чистое поглощение атмосферы на 5 км: \(e^{-\kappa\cdot5\text{ км}}=1/2\). Значит, на следующих 10 км поглощение даст \((1/2)^2=1/4\).

С 10 до 20 км включается геометрия: пятно вдвое шире линзы, доля пойманной мощности \((1/2)^2=1/4\) по площади. Вместе \(1/16\). Книга пишет «в восемь раз» — видимо, геометрию взяли по диаметру, не по площади. Аккуратный энергетический счёт — площадь. Если бы линза всегда была «точкой» внутри пятна, уже с 5 до 10 сигнал упал бы в \(4\cdot2=8\) раз из-за \(1/L^2\), а не в 2: условие как раз доказывает, что до 10 км пятно не больше линзы. Без поглощения 10→20 дало бы только геометрическую четверть.

Наблюдаемая яркость одинаковых звёзд убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.

\(10\)