Течение между движущимися плоскостями
6/10Пространство между двумя параллельными плоскостями заполнено жидкостью вязкости \(\eta\). Одна из плоскостей движется со скоростью \(v_0\), другая покоится. Найдите распределение скорости жидкости между плоскостями и силу вязкого трения, действующую на единицу площади каждой из плоскостей. Расстояние между плоскостями \(h\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПрофиль скорости линейный: каждый слой «тащит» соседний с одинаковой силой, значит и градиент скорости всюду одинаков. Идея Закон вязкого трения: слои жидкости тянут друг друга с силой на единицу площади \(F=\eta\,\dfrac{\Delta v}{\Delta x}\). При установившемся течении каждый слой покоится или движется равномерно, значит силы сверху и снизу равны — а это и означает, что градиент скорости всюду одинаков.Постоянство градиента. Возьмём слой между уровнями \(x\) и \(x+\Delta x\). Сверху его тянут с силой \(\eta\,(\Delta v/\Delta x)_{\text{верх}}\), снизу тормозят с \(\eta\,(\Delta v/\Delta x)_{\text{низ}}\). Ускорения нет, значит эти силы равны: градиент один и тот же на всех уровнях.
Профиль. Скорость меняется линейно: от 0 у неподвижной плоскости до \(v_0\) у движущейся:
\[ \boxed{v(x) = v_0\,\frac xh,\qquad 0<x<h;\qquad \frac{\Delta v}{\Delta x} = \frac{v_0}{h}} \]Сила на единицу площади (одинаковая для обеих плоскостей, по модулю):
\[ \boxed{F = \eta\,\frac{v_0}{h}} \]Проверка. Размерность: \([\eta]=\) Н·с/м², делим на метры — Н/м² ✓. Чем тоньше слой, тем больше сила ✓ — потому смазку делают тонкой только до предела, а сопротивление в подшипнике растёт при уменьшении зазора. Обе плоскости получают одинаковую по модулю силу ✓ — иначе жидкость в целом ускорялась бы. Мощность, которая уходит в тепло на единицу площади: \(Fv_0=\eta v_0^2/h\) ✓.Ответ \(v = v_0x/h\); \(F = \eta v_0/h\) на единицу площади каждой плоскости.Течение под перепадом давления
6/10Найдите распределение скорости жидкости при установившемся её течении между двумя плоскостями. Расстояние между плоскостями \(h\), вязкость жидкости \(\eta\). Найдите расход жидкости на единицу ширины потока, если перепад давления на единицу длины потока (в направлении движения жидкости) равен \(P\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПрофиль — парабола: у стенок жидкость прилипла, в середине течёт быстрее всего. Идея Выделим слой жидкости и напишем для него равновесие: перепад давления на торцах толкает вперёд, вязкое трение с боков тормозит. Отсюда — линейный закон для градиента скорости, а значит парабола для самой скорости.Равновесие слоя. Возьмём слой от середины \(h/2\) до уровня \(x\), единичной ширины и длины \(L\). Толщина слоя \(|h/2-x|\); сила давления на его торцы \(PL\cdot|h/2-x|\); вязкая сила на нижней грани \(\eta\,\dfrac{\Delta v}{\Delta x}\,L\). Приравнивая:
\[ \eta\,\frac{\Delta v}{\Delta x} = P\left(\frac h2-x\right). \]Профиль. Градиент линеен по \(x\), значит скорость — квадратичная функция, обращающаяся в нуль на обеих стенках:
\[ \boxed{v(x) = \frac{P}{2\eta}\,x\,(h-x),\qquad 0<x<h} \](Проверка: \(\Delta v/\Delta x = \dfrac{P}{2\eta}(h-2x)=\dfrac P\eta\left(\dfrac h2-x\right)\) ✓, и \(v=0\) при \(x=0,h\) ✓.) Максимум посередине: \(v_{\max}=Ph^2/(8\eta)\).
Расход. Площадь под параболой равна \(\tfrac23\) площади описанного прямоугольника:
\[ Q = \frac23\,h\,v_{\max} = \frac23\cdot h\cdot\frac{Ph^2}{8\eta}, \qquad \boxed{Q = \frac{P\,h^3}{12\eta}} \]Проверка. Средняя скорость \(Q/h = Ph^2/(12\eta) = \tfrac23 v_{\max}\) ✓ — как и положено для параболы. Зависимость \(h^3\) ✓: вдвое более широкая щель пропускает в 8 раз больше — вот почему засорение зазора так резко режет расход. Размерность: \([P]\) — Па/м, \(Ph^3/\eta\) — (Н/м³)(м³)/(Н·с/м²) = м²/с ✓ — это расход на единицу ширины. При \(\eta\to\infty\) расход \(\to0\) ✓.Ответ \(v = \dfrac{P}{2\eta}x(h-x)\); \(Q = \dfrac{Ph^3}{12\eta}\).Задача 4.4.3
6/10а. Определите расход жидкости на единицу ширины потока, стекающего по наклонной плоскости под углом \(\alpha\) к горизонту. Вязкость и плотность жидкости равны соответственно \(\eta\) и \(\rho\). Толщина потока \(h\).
б. Оцените наклон ложа канала глубины 2 м, средняя скорость движения воды в котором равна 1 м/с. Вязкость воды \(10^{-3}\) Н·с/м².
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПлёнка стекает по склону: у дна прилипла, у свободной поверхности течёт быстрее всего. Профиль — половина параболы. Идея То же, что и в 4.4.2, только вместо перепада давления работает составляющая тяжести \(\rho g\sin\alpha\), а вместо второй стенки — свободная поверхность, где трения нет.а. Баланс слоя. Возьмём слой от уровня \(x\) (считая от дна) до свободной поверхности \(h\), длины \(L\), единичной ширины. Его тянет вниз по склону \(\rho g\sin\alpha\,(h-x)L\), а держит вязкое трение снизу:
\[ \eta\,\frac{\Delta v}{\Delta x} = \rho g\sin\alpha\,(h-x). \]Градиент максимален у дна и нулевой у поверхности ✓. Скорость — половина параболы, равная нулю у дна:
\[ v(x) = \frac{\rho g\sin\alpha}{\eta}\left(hx-\frac{x^2}{2}\right), \qquad v_{\max}=v(h)=\frac{\rho g h^2\sin\alpha}{2\eta}. \]Расход. Площадь под такой «половинкой параболы» составляет \(\tfrac23\) от \(h\,v_{\max}\):
\[ \boxed{Q = \frac23\,h\,v_{\max} = \frac{\rho g h^3\sin\alpha}{3\eta}} \]б. Оценка для канала. Средняя скорость \(\bar v = Q/h = \rho gh^2\sin\alpha/(3\eta)\), откуда
\[ \sin\alpha = \frac{3\eta\bar v}{\rho g h^2} = \frac{3\cdot10^{-3}\cdot1}{10^3\cdot9{,}8\cdot4} \approx 8\cdot10^{-8}. \] \[ \boxed{\alpha \approx 8\cdot10^{-8}\ \text{рад}} \]Проверка. Формула а — точный аналог 4.4.2 с заменой \(P\to\rho g\sin\alpha\) и «половинной» геометрией: там было \(h^3/12\), здесь \(h^3/3\), то есть вчетверо больше ✓ (свободная поверхность вместо второй стенки — как удвоение толщины при симметрии). Ответ б абсурдно мал: \(8\cdot10^{-8}\) рад — это падение 8 см на 1000 км ✓. Реальные каналы имеют уклоны в тысячи раз больше. Вывод: ламинарная формула к рекам неприменима — течение турбулентно, и сопротивление создают вихри, а не молекулярная вязкость ✓. Число Рейнольдса здесь \(\bar vh\rho/\eta = 2\cdot10^6\), а ламинарность держится примерно до \(10^3\) ✓ — расхождение в тысячи раз ровно этим и объясняется.Ответ а. \(Q = \rho gh^3\sin\alpha/(3\eta)\). б. \(\alpha\approx8\cdot10^{-8}\) рад — нереально мало: настоящий поток турбулентен.Задача 4.4.4
6/10Определите установившуюся скорость движения шайбы массы \(m\) и радиуса \(R\) по наклонной плоскости, образующей угол \(\alpha\) с горизонтом, в случае, когда между шайбой и плоскостью имеется слой смазки толщиной \(\Delta\) и вязкости \(\eta\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеМежду шайбой и плоскостью — слой смазки толщины \(\Delta\); в нём профиль скорости линейный, как в задаче 4.4.1. Идея Слой смазки — это в точности задача 4.4.1: сверху он «прилип» к шайбе и движется со скоростью \(v\), снизу покоится. Сила трения на единицу площади \(\eta v/\Delta\); при установившемся движении она уравновешивает скатывающую составляющую тяжести.\[ mg\sin\alpha = \eta\,\frac{v}{\Delta}\cdot \pi R^2, \] \[ \boxed{v = \frac{mg\,\Delta\,\sin\alpha}{\pi R^2\,\eta}} \]Проверка. Размерность: кг·м/с²·м/(м²·Н·с/м²) = м/с ✓. Толще смазка — быстрее скольжение ✓; больше вязкость или площадь — медленнее ✓. Пример: \(m=0{,}1\) кг, \(R=3\) см, \(\Delta=0{,}1\) мм, \(\eta=1\) Па·с (масло), \(\alpha=5^{\circ}\): \(v = 0{,}1\cdot9{,}8\cdot10^{-4}\cdot0{,}087/ (\pi\cdot9\cdot10^{-4}\cdot1)\approx0{,}03\) м/с ✓ — медленное сползание, как и ожидается.Опечатка в задачнике. В ответах напечатано \(v=2mg\Delta^2/(\pi r^2h\eta)\) — в этой формуле фигурируют величины \(r\) и \(h\), которых в условии нет, и отсутствует зависимость от угла наклона \(\alpha\), хотя при \(\alpha = 0\) установившаяся скорость обязана обращаться в нуль; по-видимому, ответ попал сюда из другой задачи. Правильный ответ выше; он получается прямо из закона вязкого трения.
Ответ \(v = mg\Delta\sin\alpha\big/(\pi R^2\eta)\).Формула Пуазёйля
6/10Жидкость перекачивается из одного сосуда в другой через длинную трубку радиуса \(R\) и длины \(l\). Разность давлений на концах трубки \(P\), вязкость жидкости \(\eta\). Определите зависимость от расстояния до оси трубки: а) градиента скорости жидкости; б\(^*\)) скорости жидкости. Определите объём жидкости, перетекающей через эту трубку в единицу времени.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Выделим внутри трубки соосный цилиндрик радиуса \(x\). Его толкает вперёд разность давлений на торцах, а тормозит вязкое трение по боковой поверхности. Приравняли — получили градиент.а. Баланс цилиндрика. Сила давления \(P\pi x^2\); площадь боковой поверхности \(2\pi x l\); сила трения \(\eta\left|\dfrac{\Delta v}{\Delta x}\right|2\pi xl\):
\[ P\pi x^2 = \eta\left|\frac{\Delta v}{\Delta x}\right|2\pi x l \ \Longrightarrow\ \boxed{\frac{\Delta v}{\Delta x} = -\frac{P\,x}{2\eta l}},\qquad 0<x<R. \]Минус: скорость убывает от оси к стенке.
б. Скорость. Градиент линеен по \(x\), значит \(v\) — квадратичная функция, обращающаяся в нуль на стенке \((x=R)\):
\[ \boxed{v(x) = \frac{P}{4\eta l}\left(R^2-x^2\right)} \]Проверка: \(\Delta v/\Delta x = -Px/(2\eta l)\) ✓. На оси \(v_{\max}=PR^2/(4\eta l)\).
Расход. Средняя по сечению скорость параболоида равна половине максимальной:
\[ Q = \pi R^2\cdot\frac{v_{\max}}{2} = \pi R^2\cdot\frac{PR^2}{8\eta l}, \qquad \boxed{Q = \frac{\pi R^4 P}{8\eta l}} \]Проверка. Знаменитая формула Пуазёйля ✓. Зависимость \(R^4\) — сужение сосуда вдвое режет кровоток в 16 раз ✓, это основа физиологии кровообращения. Размерность: м⁴·Па/(Па·с·м) = м³/с ✓. Средняя скорость \(Q/(\pi R^2)=PR^2/(8\eta l)= v_{\max}/2\) ✓ — характерное свойство параболоида вращения (в плоском случае было \(2/3\), сравните с 4.4.2). В задачнике в ответе напечатано \(Q=\pi R^4P^2/(8\eta l)\) — лишний квадрат у \(P\) (опечатка): расход, конечно, линеен по перепаду давления ✓.Ответ \(\dfrac{\Delta v}{\Delta x}=-\dfrac{Px}{2\eta l}\); \(v=\dfrac{P}{4\eta l}(R^2-x^2)\); \(Q=\dfrac{\pi R^4P}{8\eta l}\).Вертикальная трубка
6/10Из вертикально расположенной тонкой трубки, заполненной вязкой жидкостью, через время \(T\) вытекала половина жидкости. Через какое время вытечет оставшаяся часть жидкости?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Замечательное сокращение: чем короче оставшийся столб, тем меньше и напор, и длина, на которой этот напор «тратится». Оба эффекта пропорциональны длине столба — и расход оказывается постоянным.Расход. Пусть в трубке остался столб длины \(x\). Перепад давления на нём \(P=\rho g x\), а длина участка течения та же \(x\). По Пуазёйлю
\[ Q = \frac{\pi R^4}{8\eta}\cdot\frac{\rho g x}{x} = \frac{\pi R^4\rho g}{8\eta} = \text{const}. \]Длина \(x\) сократилась! Значит уровень опускается равномерно, и
\[ \boxed{\text{вторая половина вытечет за то же время } T} \]Проверка. Полное время \(2T\) ✓ и оно равно \(8\eta l/(\rho g R^2)\), где \(l\) — начальная длина столба (объём \(\pi R^2 l\), делённый на \(Q\)) ✓. Сравните с невязким истечением: там расход падал бы как \(\sqrt x\) и вторая половина вытекала бы дольше ✓ — вязкая трубка ведёт себя иначе, и это хороший экспериментальный признак. Условие «тонкая трубка» существенно ✓: инерцией и торричеллиевым разгоном пренебрегаем, считаем течение всё время пуазёйлевым.Ответ Через то же время \(T\).Задача 4.4.7
6/10Тонкая цилиндрическая трубка длины \(l\) и диаметра \(d\) целиком заполнена жидкостью плотности \(\rho\) и вязкости \(\eta\). Определите время вытекания жидкости из трубки, если её ось наклонена к горизонту под углом \(\alpha\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея То же сокращение, что и в предыдущей задаче: напор \(\rho g x\sin\alpha\) и длина участка \(x\) растут вместе, расход постоянен. Остаётся поделить объём на расход.Расход. Столб длины \(x\) вдоль трубки даёт перепад высот \(x\sin\alpha\):
\[ Q = \frac{\pi R^4}{8\eta}\cdot\frac{\rho g x\sin\alpha}{x} = \frac{\pi R^4\rho g\sin\alpha}{8\eta},\qquad R=\frac d2. \]Время. Полный объём \(\pi R^2l\):
\[ t = \frac{\pi R^2 l}{Q} = \frac{8\eta l}{R^2\rho g\sin\alpha} = \frac{8\eta l}{(d/2)^2\rho g\sin\alpha}, \] \[ \boxed{t = \frac{32\,\eta\,l}{\rho g\,d^2\sin\alpha}} \]Проверка. При \(\alpha=90^{\circ}\) (вертикально) получаем \(t=32\eta l/(\rho gd^2)\) — минимум ✓. При \(\alpha\to0\) время \(\to\infty\) ✓: горизонтальная трубка не опорожняется вовсе, гнать жидкость нечему. Размерность: (Н·с/м²)(м)/((кг/м³)(м/с²)(м²)) = с ✓. Зависимость \(1/d^2\), а не \(1/d^4\) ✓: расход растёт как \(d^4\), но и объём как \(d^2\), остаётся \(d^2\). Пример: глицерин \(\eta=1{,}5\) Па·с, \(l=10\) см, \(d=2\) мм, \(\alpha=90^{\circ}\): \(t=32\cdot1{,}5\cdot0{,}1/(1260\cdot9{,}8\cdot4\cdot10^{-6})\approx97\) с ✓.Ответ \(t = 32\eta l\big/(\rho g d^2\sin\alpha)\).Вал в трубе
6/10Пространство между валом радиуса \(r\), вращающегося вокруг своей оси, и неподвижной соосной с валом трубой радиуса \(R\) заполнено жидкостью вязкости \(\eta\). Момент сил, действующих на единицу длины вала, равен \(M\). Определите зависимость от расстояния до оси вала: а) градиента угловой скорости жидкости; б\(^*\)) угловой скорости жидкости, а также угловую скорость вала.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеМомент, передаваемый через любую цилиндрическую поверхность радиуса \(x\), один и тот же — иначе слой между двумя такими поверхностями раскручивался бы. Идея Через любую цилиндрическую поверхность передаётся один и тот же момент \(M\): иначе слой между двумя такими поверхностями раскручивался бы. Это и даёт закон изменения угловой скорости.а. Момент через цилиндр радиуса \(x\). Скорость сдвига в цилиндрическом слое — это не \(\Delta v/\Delta x\), а \(x\,\dfrac{\Delta\omega}{\Delta x}\) (равномерное вращение сдвига не даёт!). Значит касательное напряжение \(\tau = \eta\,x\,\dfrac{\Delta\omega}{\Delta x}\), а момент на единицу длины
\[ M = -\tau\cdot 2\pi x\cdot x = -2\pi\eta\,x^3\frac{\Delta\omega}{\Delta x} \ \Longrightarrow\ \boxed{\frac{\Delta\omega}{\Delta x} = -\frac{M}{2\pi\eta x^3}},\quad r<x<R. \]б. Угловая скорость. Функция, производная которой равна \(-M/(2\pi\eta x^3)\) и которая обращается в нуль при \(x=R\) (труба неподвижна):
\[ \boxed{\omega_{\text{ж}}(x) = \frac{M}{4\pi\eta}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{R^2}\right)} \]Подставляя \(x=r\), получаем угловую скорость вала:
\[ \boxed{\omega = \frac{M}{4\pi\eta}\left(\frac{1}{r^2}-\frac{1}{R^2}\right)} \]Проверка. При \(x=R\) получаем \(\omega_{\text{ж}}=0\) ✓ — прилипание к неподвижной трубе. Проверим производную: \(\dfrac{\Delta}{\Delta x}\dfrac{M}{4\pi\eta x^2} = -\dfrac{M}{2\pi\eta x^3}\) ✓. Узкий зазор \((R-r=\delta\ll r)\): \(1/r^2-1/R^2\approx2\delta/r^3\), и \(\omega\approx M\delta/(2\pi\eta r^3)\), то есть линейная скорость вала \(v=\omega r = M\delta/(2\pi\eta r^2)\) — ровно результат задачи 4.4.1 с силой \(F=M/r\) на площади \(2\pi r\) ✓. Момент один и тот же на любом радиусе ✓ — это и есть условие стационарности. Размерность: \(M\) на единицу длины — Н, \(M/(\eta x^2)\) — Н/(Н·с/м²·м²) = 1/с ✓.Ответ \(\dfrac{\Delta\omega}{\Delta x}=-\dfrac{M}{2\pi\eta x^3}\); \(\omega_{\text{ж}}=\dfrac{M}{4\pi\eta}\left(\dfrac1{x^2}-\dfrac1{R^2}\right)\); \(\omega=\dfrac{M}{4\pi\eta}\left(\dfrac1{r^2}-\dfrac1{R^2}\right)\).Сила на участок трубы
6/10В трубе переменного сечения поддерживается стационарное течение вязкой жидкости. В сечениях 1 и 2 скорость можно считать постоянной по сечению. Площади сечений 1 и 2 равны соответственно \(S_1\) и \(S_2\), а давление жидкости в них — соответственно \(P_1\) и \(P_2\). Скорость течения жидкости в сечении 1 равна \(v_1\). Найдите силу, с которой жидкость действует на участок трубы между сечениями 1 и 2.
К задаче 4.4.9 (рисунок из условия, перерисован): жидкость втекает в широкую часть трубы и уходит через узкую; сечение 1 — узкое, сечение 2 — широкое. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Вязкость не мешает применять закон изменения импульса: она сидит «внутри» тех самых сил, которые труба прикладывает к жидкости. Записываем импульсный баланс для куска жидкости между сечениями и находим силу трубы, а потом меняем знак.Скорость во втором сечении: \(v_1S_1=v_2S_2\), значит \(v_2=v_1S_1/S_2\).
Импульс. Секундная масса \(\mu=\rho v_1S_1\). Для жидкости между сечениями (ось — по течению):
\[ P_1S_1 - P_2S_2 + F_{\text{тр}\to\text{ж}} = \mu\,(v_2-v_1) = \rho v_1^2S_1\left(\frac{S_1}{S_2}-1\right). \]Отсюда сила, с которой труба действует на жидкость,
\[ F_{\text{тр}\to\text{ж}} = P_2S_2-P_1S_1-\rho v_1^2S_1\left(1-\frac{S_1}{S_2}\right), \]а искомая сила жидкости на трубу равна ей с обратным знаком:
\[ \boxed{F = P_1S_1-P_2S_2+\rho v_1^2 S_1\left(1-\frac{S_1}{S_2}\right)} \]Проверка. Труба постоянного сечения \((S_1=S_2)\): \(F=(P_1-P_2)S\) ✓ — жидкость тянет трубу вперёд силой, равной перепаду давления на сечение, и это в точности полная сила вязкого трения о стенки, как и должно быть. Идеальная жидкость в сужающейся трубе: подставив Бернулли \(P_1-P_2=\rho(v_2^2-v_1^2)/2\), получаем результат задачи 4.3.4 ✓. Размерность: Па·м² = Н ✓. В ответах задачника напечатано \(F = P_2S_2-P_1S_1-\rho v_1^2S_1(1-S_1/S_2)\) — это сила, действующая на жидкость со стороны трубы; сила жидкости на трубу противоположна, что и спрашивается в условии.Ответ \(F = P_1S_1-P_2S_2+\rho v_1^2S_1\left(1-S_1/S_2\right)\) (по течению).Шарик в жидкости
5/10По времени падения шариков разного диаметра на фиксированной высоте в жидкости выяснить, линейный (вязкий) или квадратичный закон сопротивления; с установившейся скоростью баланса сил mg, Архимеда и сопротивления определить плотность неизвестных шариков.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вязкость масла
6/10По зависимости расхода масла через иглу шприца от разности давлений (постоянный перепад на воздушной подушке) найти вязкость по формуле Пуазейля и проверить ламинарность по числу Рейнольдса и длине установления.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Определение вязкости масла
6/10Падение капли воды в масле в трубе: капли одинакового размера из шприца, формула Стокса с поправкой на стенки, серия измерений скорости, оценка погрешностей и пути релаксации.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Песочные часы
6/10Исследуется истечение песка из часов и бутылки с отверстиями: независимость расхода от высоты, масса песка, показатели степеней формулы расхода по размерности и измерение параметра d по зависимости расхода от диаметра.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Капилляр
6/10По подъёму воды в капилляре найти краевой угол, затем поверхностное натяжение неизвестной жидкости, придумать опыт по течению жидкости по формуле Пуазейля для вязкости и оценить длину установления профиля.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Вязкость воздуха
6/10По скорости столбика воды в наклонной трубке, затыкающем иглу шприца, измерить вязкость воздуха: баланс силы тяжести, разности давлений по Пуазейлю и постоянной силы трения F0 даёт линейную v(sinα); из наклона графика находят η, из отрезка — F0.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Течение Пуазейля
4/10Объёмным расходом жидкости \(Q\) при течении по трубе называется объём жидкости, проходящий через поперечное сечение трубы в единицу времени. Формула Пуазейля используется для расчёта объёмного расхода при течении жидкости по трубе постоянного сечения с учётом вязкого трения. В случае небольшой скорости течения она имеет вид \[Q = A \cdot \Delta p^{x} \cdot R^{y} \cdot \nu^{z} \cdot l^{-1},\] где \(\Delta p\) — перепад давления на концах трубы; \(R\) и \(l\) — радиус и длина трубы соответственно; \(\nu\) — коэффициент динамической вязкости жидкости, которая измеряется в кг/(м\(\cdot\)с); \(A\), \(x\), \(y\), \(z\) — некоторые безразмерные постоянные.
Пользуясь соображениями размерности, определите значения постоянных \(x\), \(y\) и \(z\).
Во сколько раз изменится скорость потока жидкости в водопроводной сети, если при том же давлении на входе увеличить диаметр труб вдвое?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВыпишите единицы \(Q\), \(\Delta p\), \(R\), \(\nu\), \(l\) и потребуйте, чтобы справа и слева стояли одинаковые степени кг, м и с. Для пункта б) свяжите расход со скоростью и площадью сечения.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(x = 1\), \(y = 4\), \(z = -1\); 2) скорость течения жидкости увеличится в 4 раза.
Сдувание мыльного пузыря
6/10Вася выдувает через длинную трубку сферический мыльный пузырь. Надув пузырь до некоторого размера, он выпускает трубку изо рта, при этом воздух из пузыря выходит наружу обратно через трубку. Окончательно пузырь исчезает, так и не лопнув, через время \(\tau\) после того, как его перестали надувать. За какое время сдуется надутый таким же образом мыльный пузырь вдвое большего радиуса? Считайте, что воздух движется по трубке достаточно медленно, свойства мыльной плёнки у обоих пузырей одинаковы.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКак добавочное давление в пузыре зависит от его радиуса и чем оно уравновешивается при медленном течении воздуха по трубке? Отсюда найдите скорость убывания объёма.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветПузырь вдвое большего радиуса сдуется за время \(16\tau\).
Вязкий валик
6/10Цилиндр зажат между двумя вертикальными пластинами, движущимися вверх с разными скоростями, с вязким трением, пропорциональным относительной скорости; в установившемся режиме нулевой момент и баланс сил с весом дают угловую скорость, скорость центра и условие подъёма.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Немокрая вода
6/10Пять частей про летучую «сухую воду»: плотность и коэффициент объёмного расширения, вязкость по формуле Пуазейля с проверкой числа Рейнольдса, молярная масса и теплота парообразования по насыщенному пару (Клапейрон–Клаузиус), показатель преломления.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Мыльные пузыри
7/10Пузырь-полусфера сдувается через трубку: по зависимости времени сдувания от объёма в логарифмических координатах определяют характер течения воздуха, а по формуле Пуазёйля и давлению Лапласа — коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора (текст условия в наборе не найден, разметка по решению).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.