Эффект Доплера

Волны, созданные катером, образуют фронт под некоторым углом к курсу катера. Скорость волн относительно воды связана с \(\lambda\) и периодом, с которым фронты проходят мимо точки \(A\), а положение фронта в момент прихода к \(A\) находится из геометрии.

\(v = \dfrac{\lambda}{\sqrt{T^2 - \left(\dfrac{\lambda t}{L}\right)^2}}\).

В системе отсчёта катера волны заполняют только угол («конус Маха»). Свяжите угол полураствора с отношением скорости волн к скорости катера, а период на берегу — с проекцией скорости волн вдоль берега.

\(v = \dfrac{\lambda}{\sqrt{T^2 - (\lambda t/L)^2}} - V\).

Пусть \(v\) — скорость катера относительно стоячей воды, \(u\) — скорость распространения волн относительно поверхности стоячей воды. Запишем формулу для скорости волн, учитывая, что они близки к гармоническим: \[u = \lambda / T_0 ,\] где \(T_0\) — период волн в системе отсчёта, связанной с водой.

Перейдём в систему отсчёта, связанную с катером.

В этой системе отсчёта вода движется относительно катера со скоростью \(-\vec v\), а волны распространяются относительно воды из каждой точки, в которой находился катер, во всех направлениях со скоростью, по модулю равной \(u\) (иначе говоря, гребни волн, испущенных в некоторый момент, в следующие моменты времени находятся на одинаковом расстоянии от точки испускания, которая движется со скоростью \(v\)). Из закона сложения скоростей следует, что относительно катера волны распространяются только внутри угла \(2\alpha\), изображённого на рисунке (это так называемый «конус Маха»; в трёхмерном случае волны распространяются внутри конуса). Относительно берега реки «конус Маха» как единое целое движется со скоростью \(v + V\), и поэтому гребни волн образуют с берегом тот же угол \(\alpha\), что изображён на рисунке. Из условия задачи следует, что \(u < v\) (иначе волны обгоняли бы катер, и первая волна пришла бы в точку \(A\) до того, как катер пересёк линию \(AB\)).

Рассмотрим рисунок, на котором показан гребень волны \(AD\) и набор параллельных ему гребней следующих волн.

В точку \(A\) дошла волна, испущенная из точки \(C\), а катер за это время прошёл отрезок \(CD\). Из рисунков следуют уравнения: \[\sin\alpha = \frac{u}{v}, \tag{1}\] \[L = BD \cdot \operatorname{tg}\alpha = (v + V)\,t \cdot \operatorname{tg}\alpha . \tag{2}\]

Свяжем величины \(T_0\) и \(T\) (то есть фактически учтём эффект Доплера). Если волны распространяются в стоячей воде, то скорость движения вдоль берега точки \(E\) (это точка пересечения линии гребня волны с берегом) равна \(u_1 = \dfrac{u}{\sin\alpha}\). Отрезок \(AE = \dfrac{\lambda}{\sin\alpha}\). Поэтому \(\dfrac{u}{\sin\alpha} = \dfrac{\lambda}{T_0 \sin\alpha}\). Если же волны распространяются в воде, которая течёт со скоростью \(V\), то эту скорость течения нужно добавить к скорости \(u_1\), и учесть, что изменится период волн. При этом получится соотношение \(\dfrac{u}{\sin\alpha} + V = \dfrac{\lambda}{T \sin\alpha}\), где \(T\) — заданный в условии задачи период волн, наблюдаемых в системе отсчёта, связанной с берегом.

Отсюда \[u = \frac{\lambda}{T} - V\sin\alpha . \tag{3}\] Из уравнений (1) и (3) получаем: \[v + V = \frac{\lambda}{T \sin\alpha}. \tag{4}\] Из уравнений (2) и (4): \[v + V = \frac{L}{t \cdot \operatorname{tg}\alpha} = \frac{\lambda}{T \sin\alpha}.\] Отсюда \(\cos\alpha = \dfrac{\lambda t}{LT}\), \(\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(\dfrac{\lambda t}{LT}\right)^2}\). С учётом этого из (4) окончательно находим: \[v = \frac{\lambda}{\sqrt{T^2 - \left(\dfrac{\lambda t}{L}\right)^2}} - V .\] Отметим, что, поскольку \(u < v\), то \(V < \dfrac{\lambda}{\sqrt{T^2 - (\lambda t/L)^2}}\), то есть \(v > 0\).

Скорость источника вдоль луча к детектору равна \(v\cos\theta\), где \(\theta\) — угол между курсом и направлением на детектор. Что происходит с \(\cos\theta\) при очень больших и при нулевом \(t\), и как ведёт себя график вблизи момента прохождения над детектором?

1a) \(f = \dfrac{f_0}{1 \mp \frac{v}{c}}\) (при \(c \gg v\) также \(f \approx f_0\left(1 \pm \frac{v}{c}\right)\)), верхний знак при сближении, нижний при удалении;  1b) \(v = (9{,}0 \pm 0{,}3)\) м/с, \(h = \left|\dfrac{v^2\tau}{c\,\Delta n}\right| = (410 \pm 50)\) м.

За время пробега сигнала катер смещается на \(vt\), а сам сигнал проходит путь \(ct\). Для наклонного дна удобно считать, что сигнал идёт от «мнимого» источника, зеркального образа катера.

a) \(\alpha = 10^{-2}\) рад (столбец 5);  b) столбец 2;  c) столбец 1 (меньше).

Приравнивая время распространения звука и время движения катера, а также используя малость угла \(\alpha\), получим соотношение \[\alpha \approx \sin\alpha = \frac{v}{c} = 10^{-2}\text{ рад}.\] Найденное значение угла \(\alpha\) совпадает со значением, стоящим в столбце номер 5.

В случае, если дно составляет малый угол \(\gamma\) с горизонталью, искомый угол \(\alpha\) также можно считать малым. Легко видеть, что в этом случае прямая, вдоль которой распространяются ультразвуковые импульсы, испускаемые эхолокатором, отклоняется от вертикали в направлении по часовой стрелке (а не против, как в первом случае). Используя малость углов \(\alpha\) и \(\gamma\), находим ответ: \[\alpha \approx \gamma - \frac{v}{c} \approx (8{,}7 - 1{,}0)\cdot 10^{-2} = 7{,}7\cdot 10^{-2}.\] Значение, наиболее близкое к найденному, стоит в столбце номер 2.

Принимаемые на катере импульсы могут рассматриваться как излучаемые движущимся фиктивным источником, который удаляется от катера. Частота волн, принимаемых от удаляющегося излучателя, уменьшается по сравнению со случаем, когда излучатель неподвижен (эффект Доплера), поэтому правильный ответ стоит в столбце номер 1.