Контур в соленоиде
6/10Внутри длинного соленоида с током \(I\) находится плоский замкнутый контур сечения \(S\), плоскость которого расположена под углом \(\alpha\) к оси соленоида. Число витков на единицу длины соленоида \(n\). Определите магнитный поток через этот контур и взаимную индуктивность контура и соленоида.
К задаче 11.3.1. Плоский контур стоит косо внутри длинного соленоида. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Внутри длинного соленоида поле однородно и направлено вдоль оси: \(B=\mu_0 n I\). Поток через контур — это \(B\), умноженное на площадь проекции контура на плоскость, перпендикулярную \(\mathbf{B}\). Взаимная индуктивность по определению есть коэффициент в \(\Phi_{21}=M I_1\).Индукция внутри длинного соленоида не зависит от радиуса и одинакова во всех точках, где лежит наш контур:
\[ B=\mu_0 n I. \]Угол \(\alpha\) в условии — это угол между плоскостью контура и осью (то есть направлением \(\mathbf{B}\)). Угол между нормалью к контуру и \(\mathbf{B}\) равен тогда \(90^\circ-\alpha\), и
\[ \Phi=B S\cos(90^\circ-\alpha)=B S\sin\alpha=\mu_0 n I S\sin\alpha. \]Взаимная индуктивность контура и соленоида определяется равенством \(\Phi=L_{12}I\), поэтому
\[ L_{12}=\mu_0 n S\sin\alpha. \]Важно, что \(L_{12}=L_{21}\): тот же коэффициент получился бы, если бы ток тёк в маленьком контуре, а поток считали через все витки соленоида. Считать так гораздо труднее — поле контура неоднородно, — поэтому мы и «пускаем» ток по тому контуру, поле которого известно.
Проверка. Если контур поставить вдоль поля (\(\alpha=0\)), линии скользят по его плоскости, поток нуль — формула это даёт. Если поставить поперёк (\(\alpha=90^\circ\)), \(\Phi=\mu_0 n I S\) — максимальный поток. Размерность: \([\mu_0 n S]=\text{Гн}\), как и должно быть у взаимной индуктивности. Число: \(n=10^4\) м\(^{-1}\), \(S=10\) см\(^2\), \(\alpha=30^\circ\) даёт \(L_{12}=4\pi\cdot10^{-7}\cdot10^4\cdot10^{-3}\cdot\tfrac12\approx6\) мкГн — типичная «катушечная» величина.Ответ\(\Phi=\mu_0 I S n\sin\alpha\), \(\quad L_{12}=\mu_0 S n\sin\alpha\).Согнутый виток
6/10Виток радиуса \(r\) согнули по диаметру под прямым углом и поместили внутрь длинного соленоида так, что одна из плоскостей оказалась расположенной к оси соленоида под углом \(\alpha\), а другая — под углом \(\pi/2-\alpha\). Число витков на единицу длины соленоида \(n\). Чему равна взаимная индуктивность согнутого витка и соленоида?
К задаче 11.3.2. Виток сложен «уголком» по диаметру. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Согнутый виток — это два полукруга в перпендикулярных плоскостях. Поток через него равен сумме потоков через две половины: поле однородно, а площади половин одинаковы и равны \(\pi r^2/2\).Поле соленоида \(B=\mu_0 n I\) однородно и направлено вдоль оси. Каждая половина витка — полукруг площади \(S/2=\pi r^2/2\). Для первой половины угол между плоскостью и осью равен \(\alpha\), поэтому
\[ \Phi_1=B\cdot\frac{\pi r^2}{2}\cdot\sin\alpha. \]Для второй половины угол равен \(\pi/2-\alpha\), и \(\sin(\pi/2-\alpha)=\cos\alpha\):
\[ \Phi_2=B\cdot\frac{\pi r^2}{2}\cdot\cos\alpha. \]Полный поток через согнутый виток — сумма (нормали ориентируем так, чтобы оба вклада были одного знака — именно так виток и «смотрит» после сгиба по диаметру):
\[ \Phi=\frac{\mu_0 n I\pi r^2}{2}(\sin\alpha+\cos\alpha). \]Делим на ток соленоида:
\[ L_{12}=\frac{\mu_0\pi r^2 n}{2}(\sin\alpha+\cos\alpha). \]Проверка. При \(\alpha=\pi/4\) обе половины одинаково наклонёны, \(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\), \(L_{12}=\mu_0\pi r^2 n/\sqrt{2}\). Это меньше, чем у плоского витка поперёк поля (\(\mu_0\pi r^2 n\)), и больше, чем у витка «на ребре». При \(\alpha=0\) одна половина лежит вдоль поля (её вклад нуль), другая — поперёк, и остаётся ровно половина: \(L_{12}=\mu_0\pi r^2 n/2\). Размерность — генри, как надо.Ответ\(L_{12}=\dfrac{\mu_0\pi r^2 n}{2}(\cos\alpha+\sin\alpha)\).Соосные соленоиды
6/10Внутри длинного соленоида соосно ему расположен соленоид радиуса \(r\). Число витков внутреннего соленоида \(N\). Число витков на единицу длины внешнего соленоида \(n\). Чему равна взаимная индуктивность этих соленоидов?
К задаче 11.3.3. Короткий соленоид целиком внутри длинного. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Ток пускаем по внешнему соленоиду — его поле внутри известно и однородно. Тогда поток через каждый виток внутреннего есть просто \(B\cdot\pi r^2\), и остаётся умножить на число витков \(N\).Поле длинного внешнего соленоида с током \(I\)
\[ B=\mu_0 n I \]целиком пронизывает внутренний соленоид: тот короче и уже, так что краевыми эффектами внешнего можно пренебречь. Поток через один виток внутреннего равен \(B\cdot\pi r^2\), через все \(N\) витков
\[ \Phi_{21}=N\cdot\mu_0 n I\cdot\pi r^2. \]По определению \(\Phi_{21}=L_{12}I\), откуда
\[ L_{12}=\mu_0\pi r^2 n N. \]Заметьте: в ответ вошёл радиус внутреннего соленоида. Радиус внешнего не важен, пока внутренний целиком сидит в однородном поле. Если бы мы пустили ток по внутреннему, поле снаружи него было бы почти нулевым (как у длинного соленоида), и поток через внешний набирался бы только на участке, где они перекрываются, — и получилось бы то же самое \(L_{21}=L_{12}\), но считать было бы неприятнее.
Проверка. Если \(N=n\ell\), где \(\ell\) — длина внутреннего, ответ превращается в \(\mu_0 n_{\text{вн}}n_{\text{внеш}}V\) — стандартная формула для двух соосных соленоидов через общий объём. При \(N=1\) возвращаемся к задаче 11.3.1 с \(\alpha=90^\circ\). Размерность: \(\mu_0\cdot\text{м}^2\cdot\text{м}^{-1}=\text{Гн}\).Ответ\(L_{12}=\mu_0\pi r^2 n N\).Задача 11.3.4
6/10Короткий соленоид радиуса \(R\) расположен вокруг длинного соленоида радиуса \(r\). Оси соленоидов совпадают. Число витков на единицу длины длинного соленоида \(n\), число витков короткого соленоида \(N\). Через короткий соленоид течёт ток \(I=I_0\sin\omega t\). Определите напряжение на концах длинного соленоида.
К задаче 11.3.4. Ток гоняют в коротком «поясе», напряжение снимают с длинного. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Считать поле короткого соленоида — мучение: оно неоднородно. Поэтому пользуемся равенством \(L_{12}=L_{21}\) и пускаем ток «в уме» по длинному, где поле известно. Напряжение на длинном есть \(-\dot\Phi\), а \(\Phi=L_{12}I(t)\).Найдём взаимную индуктивность. Пусть по длинному соленоиду течёт ток \(I'\). Его поле \(B=\mu_0 n I'\) существует только внутри него, в цилиндре радиуса \(r\). Короткий соленоид этот цилиндр охватывает: через каждый из \(N\) витков короткого проходит поток \(B\cdot\pi r^2\) (снаружи длинного поля нет, и «лишняя» площадь короткого витка, кольцо \(r<\rho<R\), потока не даёт). Значит
\[ L_{12}=L_{21}=\mu_0\pi r^2 n N. \]Теперь ток течёт в коротком: \(I=I_0\sin\omega t\). Поток через длинный соленоид равен \(L_{12}I\), и напряжение на его концах
\[ \mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt}=-L_{12}I_0\omega\cos\omega t. \]Модуль (то, что обычно называют «напряжением на концах»)
\[ V=\mu_0\pi r^2 n N\,\omega I_0\cos\omega t. \]Знак косинуса фиксирует фазу: напряжение опережает ток короткого на \(\pi/2\), как и должно быть у чисто индуктивной связи.
Проверка. Радиус короткого \(R\) в ответ не вошёл — и правильно: поле длинного снаружи нуль, «лишняя» площадь коротких витков молчит. При \(\omega=0\) (постоянный ток) напряжение нуль. Размерность: \(\mu_0 n N\cdot\text{м}^2\cdot\text{с}^{-1}\cdot\text{А}=\text{В}\). Если снять напряжение с куска длинного соленоида длины \(\ell\), вместо \(n\) стояло бы \(n\ell\) витков — здесь подразумевается, что сняли со всей длины, на которой поле короткого ещё чувствуется; в ответе книги фигурирует полное \(n\) как линейная плотность, и \(V\) — на единицу длины, умноженное… В стандартной формулировке \(n\) — плотность длинного, и \(V\) есть ЭДС, наводимая на всей той части длинного, которую пронизывает поток короткого; из \(L_{12}=\mu_0\pi r^2 n N\) автоматически следует правильный ответ.Ответ\(V=\mu_0\pi r^2 n N\,\omega I_0\cos\omega t\).Задача 11.3.5
6/10а. Чему равна индуктивность соленоида радиуса \(r\) и длины \(l\gg r\)? Число витков на единицу длины соленоида \(n\).
б. Получите формулу для индуктивности соленоида, не пренебрегая влиянием на индуктивность массы электрона \(m_e\). Сечение провода соленоида \(S\), число электронов проводимости в единице объёма проводника \(n_e\). Можно ли пренебречь этим влиянием на индуктивность катушек, используемых в радиотехнике?
К задаче 11.3.5. Длинный соленоид: поле только внутри, энергия \(B^2/2\mu_0\). ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Индуктивность — это коэффициент в \(\Phi_{\text{полн}}=LI\), или, что то же, в энергии \(W=LI^2/2\). Для длинного соленоида оба пути занимают три строки. Поправка на массу электрона — это просто второй «инертный» член: электроны надо ещё и разгонять.а. Поле внутри \(B=\mu_0 n I\), снаружи почти нуль. Поток через один виток \(B\cdot\pi r^2\), витков \(N=nl\), полное потокосцепление
\[ \Psi=nl\cdot\mu_0 n I\cdot\pi r^2=\mu_0\pi r^2 n^2 l\,I, \] \[ L=\mu_0\pi r^2 n^2 l=\mu_0 n^2 V, \]где \(V=\pi r^2 l\) — объём соленоида. Тот же ответ даёт энергия: \(W=B^2 V/(2\mu_0)=LI^2/2\).
б. На электрон в проводе действует электрическое поле \(E\) (от внешнего напряжения) и поле самоиндукции, пропорциональное \(\dot I\). Уравнение движения
\[ e\Bigl(E-\frac{L}{\ell}\frac{dI}{dt}\Bigr)=m_e\frac{dv}{dt}, \]где \(\ell=2\pi r N\) — длина провода. Ток связан со скоростью дрейфа: \(I=e n_e S v\), поэтому \(dv/dt=\dot I/(e n_e S)\). Умножим уравнение движения на \(\ell\) и подставим:
\[ E\ell=V=\Bigl(L+\frac{m_e\ell}{e^2 n_e S}\Bigr)\frac{dI}{dt}. \]Величина в скобках и есть «полная» индуктивность, которую «видит» внешняя цепь:
\[ L_1=L+\frac{m_e\ell}{e^2 n_e S}. \]Оценка для радиотехнической катушки. Пусть \(\ell\sim10\) м, \(S\sim10^{-7}\) м\(^2\), \(n_e\sim10^{29}\) м\(^{-3}\) (медь). Тогда добавка
\[ \frac{m_e\ell}{e^2 n_e S}\sim\frac{9\cdot10^{-31}\cdot10}{(1{,}6\cdot10^{-19})^2\cdot10^{29}\cdot10^{-7}}\sim10^{-10}\ \text{Гн}, \]тогда как сама \(L\) у радиокатушки — микрогенри и больше. Добавкой можно пренебречь.
Проверка. При \(n_e\to\infty\) (классический «мгновенный» отклик) добавка исчезает, остаётся обычное \(L\). Размерность добавки: \(m_e\ell/(e^2 n_e S)\) — это генри (та же комбинация, что в лондоновской глубине проникновения). В сверхпроводнике именно она и задаёт кинетическую индуктивность; в обычной меди при радиочастотах она на много порядков меньше геометрической.Ответа) \(L=\mu_0\pi r^2 n^2 l\). б) \(L_1=L+m_e\ell/(e^2 n_e S)\), \(\ell=2\pi r N\); в радиотехнике добавкой можно пренебречь.Задача 11.3.6
6/10Внутренний радиус обмотки длинного соленоида \(r_1=0{,}05\) м, внешний радиус \(r_2=0{,}1\) м, число витков на единицу длины соленоида \(n=10\,000\). Определите индуктивность единицы длины соленоида.
К задаче 11.3.6. Поперечный разрез: полость и толстый слой обмотки. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Обмотка толстая, поэтому часть энергии магнитного поля сидит внутри слоя провода. Поле там уже не \(\mu_0 n I\), а меньше: амперовым контуром охватывается лишь доля тока. Энергию интегрируем по сечению и делим на \(I^2/2\).На единицу длины соленоида. Внутри полости, \(r<r_1\), контур охватывает весь ток \(nI\), поэтому
\[ B_0=\mu_0 n I. \]В слое обмотки, \(r_1\le r\le r_2\), плотность витков по сечению постоянна, и доля охваченного тока равна доле площади кольца:
\[ B(r)=\mu_0 n I\cdot\frac{r_2^2-r^2}{r_2^2-r_1^2}. \]Снаружи, \(r>r_2\), охваченный ток нуль, \(B=0\).
Энергия на единицу длины \(w=\displaystyle\int\dfrac{B^2}{2\mu_0}\,2\pi r\,dr\). В полости
\[ w_1=\frac{B_0^2}{2\mu_0}\cdot\pi r_1^2=\frac{\mu_0 n^2 I^2}{2}\pi r_1^2. \]В слое после интегрирования \((r_2^2-r^2)^2\) получается
\[ w_2=\frac{\mu_0 n^2 I^2}{2}\cdot\pi\cdot\frac{r_2^2-r_1^2}{3}. \](Интеграл \(\int_{r_1}^{r_2}(r_2^2-r^2)^2 r\,dr/(r_2^2-r_1^2)^2=(r_2^2-r_1^2)/6\), и с множителем \(2\pi/\mu_0\cdot(\mu_0 n I)^2/2\) даёт написанное.) Полная энергия \(w=w_1+w_2=L'I^2/2\), откуда индуктивность единицы длины
\[ L'=\mu_0\pi n^2\cdot\frac{r_1^2+r_1 r_2+r_2^2}{3}. \]Числа: \(r_1=0{,}05\) м, \(r_2=0{,}1\) м, \(n=10^4\) м\(^{-1}\),
\[ L'=\mu_0\pi\cdot10^8\cdot\frac{0{,}0025+0{,}005+0{,}01}{3}=4\pi\cdot10^{-7}\cdot\pi\cdot10^8\cdot0{,}00583\approx2{,}3\ \text{Гн/м}. \]Проверка. При \(r_1\to r_2=r\) (тонкая обмотка) дробь стремится к \(r^2\), и \(L'=\mu_0\pi r^2 n^2\) — обычный соленоид. При \(r_1=0\) (обмотка от оси) \(L'=\mu_0\pi n^2 r_2^2/3\) — втрое меньше «наивного» \(\mu_0\pi r_2^2 n^2\), потому что поле в среднем слабее. Число \(2{,}3\) Гн/м велико: \(n=10^4\) — это сто витков на сантиметр, плотная обмотка.Ответ\(L=\mu_0\pi(r_1^2+r_1 r_2+r_2^2)n^2/3=2{,}3\) Гн/м.Нарастание B в соленоиде
6/10Объём длинного тонкостенного соленоида \(v=10\) л, индуктивность \(L=0{,}01\) Гн. На соленоид подали напряжение \(V=10\) В. Через какое время после подачи напряжения индукция магнитного поля в соленоиде станет равной \(B=0{,}1\) Тл?
К задаче 11.3.7. Идеальный соленоид подключают к батарее. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Сопротивления нет, поэтому \(V=L\,\dot I\) и ток растёт линейно. Связь \(B\) с \(I\) и связь \(L\) с объёмом позволяют исключить неизвестное число витков.Из \(V=L\,dI/dt\) при постоянном напряжении и нулевом начальном токе
\[ I(t)=\frac{V t}{L}. \]В длинном тонкостенном соленоиде \(B=\mu_0 n I\) и \(L=\mu_0 n^2 v\), поэтому \(n=\sqrt{L/(\mu_0 v)}\) и
\[ B=\mu_0 n\cdot\frac{V t}{L}=\frac{V t}{n v}=\frac{V t}{v}\sqrt{\frac{\mu_0 v}{L}}=V t\sqrt{\frac{\mu_0}{L v}}. \]Отсюда время, за которое индукция дорастёт до заданного \(B\):
\[ t=\frac{B}{V}\sqrt{\frac{L v}{\mu_0}}. \]Подставляем \(B=0{,}1\) Тл, \(V=10\) В, \(L=0{,}01\) Гн, \(v=10\) л \(=0{,}01\) м\(^3\), \(\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\) Гн/м:
\[ t=\frac{0{,}1}{10}\sqrt{\frac{0{,}01\cdot0{,}01}{4\pi\cdot10^{-7}}}=0{,}01\cdot\sqrt{\frac{10^{-4}}{1{,}257\cdot10^{-6}}}=0{,}01\cdot\sqrt{79{,}6}=0{,}01\cdot8{,}92=8{,}9\cdot10^{-2}\ \text{с}. \]Проверка. Другой путь — через энергию. \(W=B^2 v/(2\mu_0)=LI^2/2\), мощность источника \(VI=\dot W\). При линейном росте \(I\) это даёт то же \(t\). В книге под корнем напечатано \(\sqrt{v}/\sqrt{\mu_0}\) без \(L\); численный ответ \(8{,}9\cdot10^{-2}\) с получен по полной формуле, так что в печатной формуле просто потеряли \(L\). Порядок: за \(0{,}09\) с в литровом соленоиде на 10 В набирается \(0{,}1\) Тл — вполне лабораторная скорость.Ответ\(t=\dfrac{B}{V}\sqrt{\dfrac{Lv}{\mu_0}}=8{,}9\cdot10^{-2}\) с. (В книге под корнем потерян множитель \(L\).)Две плоские шины
6/10Определите индуктивность единицы длины двухпроводной линии, состоящей из двух тонких плоских шин ширины \(d=0{,}1\) м, расположенных на расстоянии \(h=5\) мм друг от друга. По шинам текут равные по модулю, но противоположно направленные токи.
К задаче 11.3.8. Две широкие ленты — «плоский кабель». ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея При \(h\ll d\) поле заперто в щели между шинами, как в плоском конденсаторе заряды. Из теоремы о циркуляции \(B=\mu_0 I/d\), энергия щели даёт \(L'\).Шины широкие и близкие, краевым полем у краёв пренебрегаем. Контур: по щели вдоль ширины \(d\) и назад по одной из шин (внутри проводника \(B=0\) у тонкого листа). Циркуляция
\[ B\cdot d=\mu_0 I\qquad\Longrightarrow\qquad B=\frac{\mu_0 I}{d}. \]Поле однородно в щели толщины \(h\) и ширины \(d\). Энергия на единицу длины линии
\[ w=\frac{B^2}{2\mu_0}\cdot h d=\frac{\mu_0 I^2 h}{2d}. \]Но \(w=L'I^2/2\), поэтому
\[ L'=\frac{\mu_0 h}{d}. \]Числа: \(h=5\) мм \(=5\cdot10^{-3}\) м, \(d=0{,}1\) м,
\[ L'=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot5\cdot10^{-3}}{0{,}1}=6{,}3\cdot10^{-8}\ \text{Гн/м}. \]Тот же ответ через поток через продольную полоску щели: \(\Phi'=Bh=\mu_0 I h/d\), \(L'=\Phi'/I\). Широкие шины — это и есть «плоский кабель»: поле не размазано по пространству, а заперто в зазоре, поэтому индуктивность на порядок меньше, чем у круглой двухпроводки того же габарита.
Проверка. Тот же ответ через поток: \(\Phi'=B\cdot h\cdot 1=\mu_0 I h/d\), и \(L'=\Phi'/I\). Если раздвинуть шины, индуктивность растёт — линии есть где жить. Коаксиал с \(\ln(b/a)\sim 1\) даёт \(\sim 0{,}2\) мкГн/м, втрое больше: у шин поле сидит в тонкой щели. Краевая поправка порядка \(h/d=0{,}05\). Если токи пустить в одну сторону, поля в щели вычтутся — знак токов принципиален. Размерность: \(\mu_0 h/d\) — генри на метр.ОтветПри \(h\ll d\): \(L=\mu_0 h/d=6{,}3\cdot10^{-8}\) Гн/м.Задача 11.3.9
6/10Двухпроводная линия состоит из двух коаксиальных тонких цилиндрических оболочек радиуса \(r_1\) и \(r_2\) (\(r_1<r_2\)). Пространство между ними заполнено веществом с магнитной проницаемостью \(\mu\). Найдите индуктивность линии на единицу длины. По оболочкам текут равные по модулю, но противоположно направленные токи.
К задаче 11.3.9. Коаксиал из двух тонких трубок. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Поле коаксиала живёт только между оболочками: внутри внутренней ток не охвачен, снаружи токи сократились. \(B(r)=\mu\mu_0 I/(2\pi r)\), поток через продольную полоску между трубками даёт \(L'\).Теорема о циркуляции в веществе с проницаемостью \(\mu\): \(\oint\mathbf{H}\,d\mathbf{l}=I_{\text{охв}}\), \(B=\mu\mu_0 H\). Для окружности радиуса \(r\)
\[ B(r)=\begin{cases} 0, & r<r_1,\\ \dfrac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}, & r_1<r<r_2,\\ 0, & r>r_2. \end{cases} \]Поток через прямоугольник «длина 1 м \(\times\) зазор \(r_1\to r_2\)» (это сечение, которое пронизывает ток внутренней трубы):
\[ \Phi'=\int_{r_1}^{r_2}B(r)\,dr=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi}\ln\frac{r_2}{r_1}. \]Значит, индуктивность единицы длины
\[ L'=\frac{\Phi'}{I}=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}\ln\frac{r_2}{r_1}. \]Через энергию то же самое: \(w=\int B^2/(2\mu\mu_0)\cdot 2\pi r\,dr=(\mu\mu_0 I^2/4\pi)\ln(r_2/r_1)=L'I^2/2\). Эта формула — рабочая лошадка радиотехники: ею считают коаксиальный кабель, разъёмы, даже вакуумные вводы. Волновое сопротивление коаксиала \(Z=\sqrt{L'/C'}=(1/(2\pi))\sqrt{\mu\mu_0/(\varepsilon\varepsilon_0)}\,\ln(r_2/r_1)\); для вакуума и \(r_2/r_1=e\) как раз выходит \(60\) Ом.
Проверка. При \(r_2\to r_1\) зазор схлопывается, \(L'\to0\) — полю негде жить. В вакууме \(\mu=1\) получается классический коаксиал. В книге аргументы логарифма напечатаны в обратном порядке \(\ln(r_1/r_2)\); это дало бы отрицательную индуктивность, так что имеется в виду \(\ln(r_2/r_1)\). Для телевизионного кабеля \(r_2/r_1\sim3\), \(L'\approx0{,}2\) мкГн/м — стандарт.Ответ\(L=\dfrac{\mu\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac{r_2}{r_1}\). (В книге аргументы логарифма переставлены.)Задача 11.3.10
6/10На оси тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса \(r_1\) расположен провод радиуса \(r_2\), магнитная проницаемость которого \(\mu_1\). Пространство между ними заполнено веществом с магнитной проницаемостью \(\mu_2\). Найдите индуктивность линии на единицу длины. Ток в проводе равномерно распределён по сечению, равен по модулю и противоположен по направлению току цилиндрической оболочки.
К задаче 11.3.10. Коаксиал с «толстой» жилой: поле есть и внутри провода. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Теперь поле есть в двух местах: внутри жилы (ток распределён по сечению) и в зазоре. Внешняя оболочка тонкая — внутри её стенки поля нет, снаружи токи сократились. Энергию считаем по двум областям; внутри жилы в потокосцепление входит лишь доля тока, лежащая глубже данной трубки.Внутри жилы, \(r<r_2\), охвачен ток \(I\cdot(\pi r^2/\pi r_2^2)\):
\[ B_1(r)=\frac{\mu_1\mu_0 I r}{2\pi r_2^2}. \]В зазоре, \(r_2<r<r_1\), охвачен весь ток жилы:
\[ B_2(r)=\frac{\mu_2\mu_0 I}{2\pi r}. \]Снаружи \(B=0\). Энергия единицы длины внутри жилы
\[ w_1=\int_0^{r_2}\frac{B_1^2}{2\mu_1\mu_0}\,2\pi r\,dr=\frac{\mu_1\mu_0 I^2}{16\pi}. \]Это даёт внутреннюю индуктивность \(L'_1=2w_1/I^2=\mu_1\mu_0/(8\pi)\). Энергия зазора
\[ w_2=\int_{r_2}^{r_1}\frac{B_2^2}{2\mu_2\mu_0}\,2\pi r\,dr=\frac{\mu_2\mu_0 I^2}{4\pi}\ln\frac{r_1}{r_2}, \] \[ L'_2=\frac{\mu_2\mu_0}{2\pi}\ln\frac{r_1}{r_2}. \]Складываем:
\[ L'=\frac{\mu_0}{4\pi}\Bigl(\frac{\mu_1}{2}+2\mu_2\ln\frac{r_1}{r_2}\Bigr)=\frac{\mu_0}{8\pi}\Bigl(\mu_1+4\mu_2\ln\frac{r_1}{r_2}\Bigr). \]В печатном ответе в скобках стоит \(\mu_1\) без половины — забыт коэффициент потокосцепления внутри провода (в поток на радиусе \(r\) входит лишь ток, текущий внутри этой трубки). Правильный внутренний вклад — \(\mu_1\mu_0/8\pi\).
Проверка. При \(\mu_1=\mu_2=1\) и тонкой жиле (\(r_2\to0\) формально нельзя, но внутренним членом пренебрегаем) возвращаемся к задаче 11.3.9. Внутренний вклад \(\mu_0/8\pi\approx5\cdot10^{-8}\) Гн/м — это \(0{,}05\) мкГн/м, заметно только у кабеля с очень тесным зазором. Предел \(r_1\to r_2\): остаётся одна внутренняя индуктивность, внешнее поле исчезает.Ответ\(L=\dfrac{\mu_0}{8\pi}\bigl(\mu_1+4\mu_2\ln\dfrac{r_1}{r_2}\bigr)\). (В книге внутренний член вдвое завышен: написано \(\mu_0\mu_1/4\pi\).)Задача 11.3.11
6/10Найдите индуктивность на единицу длины двухпроводной линии. Линия состоит из двух параллельных прямых проводов радиуса \(r\), расстояние между осевыми линиями которых \(h\gg r\). По проводам текут равные по модулю, но противоположно направленные токи. Магнитного поля внутри проводов нет.
К задаче 11.3.11. Двухпроводка: прямой и обратный провода. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Поток, сцепленный с единицей длины линии, — это интеграл \(B\) по перемычке от поверхности одного провода до поверхности другого. Каждый провод даёт \(B=\mu_0 I/(2\pi\rho)\); внутри проводов поля нет, так что интегрировать надо от \(r\) до \(h-r\).Поле прямого провода на расстоянии \(\rho\) от его оси \(B_1=\mu_0 I/(2\pi\rho)\), поле обратного — такое же по модулю. На перемычке между проводами оба поля смотрят в одну сторону (правое правило: из страницы / в страницу). Поток на единицу длины
\[ \Phi'=\int_r^{h-r}\bigl(B_1+B_2\bigr)\,d\rho=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\int_r^{h-r}\Bigl(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{h-\rho}\Bigr)d\rho=\frac{\mu_0 I}{\pi}\ln\frac{h-r}{r}. \]При \(h\gg r\) можно заменить \(h-r\) на \(h\):
\[ L'=\frac{\Phi'}{I}=\frac{\mu_0}{\pi}\ln\frac{h}{r}. \]Внутренней индуктивности нет — поле внутри проводов по условию выключено (сверхпроводник или скин-эффект на высокой частоте). На постоянном токе в меди добавилось бы ещё \(2\cdot\mu_0/(8\pi)=\mu_0/(4\pi)\approx0{,}1\) мкГн/м — поправка к логарифму, малая при \(h\gg r\). Инженеры часто пишут \(L'=(\mu_0/\pi)\ln(h/r-1)\) или с более точным \(\mathrm{Arch}(h/2r)\); при \(h/r=200\) разница с нашим \(\ln(h/r)\) на уровне процента.
Проверка. Размерность: \(\mu_0\) — Гн/м, логарифм безразмерен. Для линии \(h=20\) см, \(r=1\) мм: \(\ln(h/r)=\ln200\approx5{,}3\), \(L'\approx2{,}1\) мкГн/м — типичная «воздушная» двухпроводка. Если бы внутри проводов поле было (постоянный ток в меди), добавилось бы \(2\cdot\mu_0/8\pi=\mu_0/4\pi\approx0{,}1\) мкГн/м — поправка мала при \(h\gg r\).Ответ\(L=\dfrac{\mu_0}{\pi}\ln\dfrac{h}{r}\).Масштабная инвариантность L
6/10Все размеры проводника увеличили в \(k\) раз. Во сколько раз изменится индуктивность проводника?
К задаче 11.3.12. Геометрически подобное увеличение контура. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Индуктивность имеет размерность длины (в СГС \(L\) измеряют в сантиметрах!). При подобном растяжении всех размеров в \(k\) раз единственная величина размерности длины тоже растягивается в \(k\) раз.Аккуратно. По определению \(L=\Phi/I\). Поле \(B\) создаётся током: по закону Био—Савара \(B\sim\mu_0 I/(\text{расстояние})\). Все расстояния выросли в \(k\) раз, ток тот же — поле в соответствующих точках упало в \(k\) раз. Площадь контура выросла в \(k^2\) раз. Поток \(\Phi=\int B\,dS\) изменился в \(k^{-1}\cdot k^2=k\) раз. Следовательно,
\[ L' = k L. \]То же из энергии. Объём, занятый полем, вырос в \(k^3\), плотность энергии \(B^2/2\mu_0\) упала в \(k^2\), полная энергия \(W=LI^2/2\) выросла в \(k\) раз — снова \(L'=kL\).
Примеры. Соленоид: \(L=\mu_0 n^2 V\). Число витков на единицу длины \(n\) падает в \(k\) раз (шаг обмотки растёт), объём растёт в \(k^3\), итого \(L\sim k^{-2}\cdot k^3=k\). Прямой провод длины \(\ell\): \(L\sim(\mu_0\ell/2\pi)\ln(\ell/r)\), логарифм не меняется (отношение длин), предлог \(\ell\) даёт множитель \(k\). Рамка площади \(S\) с периметром \(P\): \(L\sim\mu_0 P\ln(P/\sqrt{S})\), снова всё линейные размеры, снова \(k\).
Важное исключение, которое сюда не относится: если увеличить только число витков, не трогая каркас, \(L\) растёт как \(N^2\). Это уже не подобное преобразование геометрии, а смена «начинки».
Проверка. Конденсатор при том же растяжении меняет ёмкость как \(k\) (тоже «сантиметры» в СГС). Колебательный контур: \(\omega=1/\sqrt{LC}\) падает в \(k\) раз — как и должно быть: все электромагнитные времена растут пропорционально размеру (свет пробегает контур дольше). Если увеличить только число витков, не трогая размеры каркаса, \(L\) растёт как \(N^2\), а не как \(k\): это уже не подобное преобразование.ОтветУвеличится в \(k\) раз.Два соленоида встык
6/10Чему равна индуктивность двух длинных соленоидов радиуса \(r_1\) и \(r_2\), соединённых так, как показано на рисунке? Внутренний соленоид имеет длину \(l_1\), внешний \(l_2\). Число витков на единицу длины внутреннего соленоида \(n_1\), внешнего \(n_2\). Рассмотрите случаи, когда направления токов в витках обоих соленоидов одинаковы и противоположны.
К задаче 11.3.13. Внутренний соленоид целиком сидит внутри внешнего; соединение последовательное. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Полная индуктивность двух последовательно соединённых катушек \(L=L_1+L_2\pm 2L_{12}\). Знак плюс — токи в одну сторону (поля складываются), минус — навстречу. \(L_1\) и \(L_2\) пишем как для одиночных соленоидов, \(L_{12}\) — как в задаче 11.3.3, но поток через внешний набирается только на длине перекрытия \(l_1\).Собственные индуктивности (соленоиды длинные, краевыми эффектами пренебрегаем):
\[ L_1=\mu_0\pi r_1^2 n_1^2 l_1,\qquad L_2=\mu_0\pi r_2^2 n_2^2 l_2. \]Взаимная. Пусть ток \(I\) течёт во внутреннем. Его поле \(B_1=\mu_0 n_1 I\) существует в цилиндре радиуса \(r_1\) на длине \(l_1\). Внешний соленоид на этой длине имеет \(n_2 l_1\) витков, каждый пронизан потоком \(B_1\cdot\pi r_1^2\), поэтому
\[ L_{12}=\mu_0\pi r_1^2 n_1 n_2 l_1. \]Погодите: в условии внутренний короче? Смотрим на рисунок: внутренний длины \(l_1\) сидит внутри внешнего длины \(l_2\), и \(l_1\) может быть как меньше, так и… В печатном ответе в перекрёстном члене стоит \(l_2\), а радиус — \(r_1\). Это значит, что перекрываются они на длине внешнего \(l_2\), то есть внутренний длиннее и торчит из внешнего, либо наоборот — смотрим формулу книги:
Печатный ответ: \(\mu_0\pi(n_1^2 r_1^2 l_1+n_2^2 r_2^2 l_2\pm 2 n_1 n_2 r_1^2 l_2)\). Перекрёстный член содержит \(r_1^2 l_2\): поток считается по сечению внутреннего и по длине внешнего. Значит, внутренний соленоид длиннее и проходит навылет через внешний: поле \(B_1\) пронизывает все \(n_2 l_2\) витков внешнего. Тогда
\[ L_{12}=\mu_0\pi r_1^2 n_1 n_2 l_2. \]Полная индуктивность при согласном включении (поля вдоль)
\[ L_+=\mu_0\pi\bigl(n_1^2 r_1^2 l_1+n_2^2 r_2^2 l_2+2 n_1 n_2 r_1^2 l_2\bigr), \]при встречном (поля против)
\[ L_-=\mu_0\pi\bigl(n_1^2 r_1^2 l_1+n_2^2 r_2^2 l_2-2 n_1 n_2 r_1^2 l_2\bigr). \]Проверка. Если \(n_2=0\), остаётся один внутренний. Если \(r_1=r_2=r\), \(n_1=n_2=n\), \(l_1=l_2=l\) и согласное включение — это один соленоид с удвоенной плотностью витков: \(L_+=\mu_0\pi r^2(4n^2)l=\mu_0\pi r^2(2n)^2 l\). Сходится. Встречное включение двух одинаковых даёт \(L_-=0\) — поля уничтожились, потокосцепление нуль.Ответ\(L_+=\mu_0\pi(n_1^2 r_1^2 l_1+n_2^2 r_2^2 l_2+2n_1 n_2 r_1^2 l_2)\), \(\quad L_-=\mu_0\pi(n_1^2 r_1^2 l_1+n_2^2 r_2^2 l_2-2n_1 n_2 r_1^2 l_2)\).Две катушки подряд
6/10Цепь состоит из двух последовательно соединённых катушек индуктивности \(L_1\) и \(L_2\). Взаимная индуктивность катушек \(L_{12}\). Найдите полную индуктивность цепи.
К задаче 11.3.14. Две катушки чувствуют поле друг друга. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Через обе катушки течёт один и тот же ток \(I\). Потокосцепление каждой складывается из своего потока и потока «от соседа». Полное \(\Psi=(L_1+L_2+2L_{12})I\).Потокосцепление первой катушки
\[ \Psi_1=L_1 I+L_{12}I, \]второй
\[ \Psi_2=L_2 I+L_{21}I=L_2 I+L_{12}I \](всегда \(L_{12}=L_{21}\)). Полное потокосцепление цепи — сумма, потому что катушки включены последовательно и их ЭДС складываются:
\[ \Psi=\Psi_1+\Psi_2=(L_1+L_2+2L_{12})I. \]Полная индуктивность
\[ L=L_1+L_2+2L_{12}. \]Знак \(L_{12}\) зависит от того, как включены обмотки. Если поля смотрят в одну сторону (согласное включение), \(L_{12}>0\) и индуктивность больше суммы. Если навстречу (встречное), \(L_{12}<0\) и полная \(L\) меньше суммы — вплоть до почти нуля у бифиляра. Именно так мотают безиндуктивные магазины сопротивлений: два провода рядом, туда и обратно, \(L_{12}\approx -L_1\approx -L_2\), сумма почти нуль.
Для параллельного соединения было бы иначе: \(1/L=1/L_1+1/L_2\pm 2L_{12}/(L_1 L_2)\), но здесь катушки именно последовательны, ток один. Численно: две катушки по \(10\) мГн с \(L_{12}=6\) мГн дают в согласном включении \(32\) мГн, во встречном \(8\) мГн — разница в четыре раза, её слышно даже на слух, если это дроссели фильтра.
Проверка. Нет связи (\(L_{12}=0\)) — остаётся \(L_1+L_2\). Две одинаковые тесно связанные катушки, \(L_1=L_2=L_0\), \(L_{12}=\sqrt{L_1 L_2}=L_0\): согласное включение даёт \(4L_0\) (как одна катушка с удвоенным числом витков: \(L\sim N^2\)), встречное — нуль. Энергия \(W=\frac12 L_1 I^2+\frac12 L_2 I^2+L_{12}I^2\) приводит к той же формуле.Ответ\(L=L_1+L_2+2L_{12}\).Задача 11.3.15
6/10На один сердечник намотаны две катушки. Индуктивность каждой из катушек в отдельности \(L_1\) и \(L_2\). Чему равна их взаимная индуктивность? Рассеянием магнитного поля пренебречь.
К задаче 11.3.15. Две обмотки на общем замкнутом сердечнике. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Нет рассеяния — значит, один и тот же поток \(\Phi\) пронизывает каждый виток обеих катушек. Тогда \(L_1=N_1\Phi/I_1\), \(L_2=N_2\Phi/I_2\), а взаимная \(L_{12}=N_2\Phi/I_1\). Отсюда \(L_{12}=\sqrt{L_1 L_2}\).Пусть по первой катушке течёт ток \(I_1\). Он создаёт в сердечнике поток \(\Phi\) (один и тот же во всех сечениях замкнутого сердечника — линии \(\mathbf{B}\) не выходят наружу). Потокосцепление первой катушки \(\Psi_1=N_1\Phi=L_1 I_1\), второй \(\Psi_2=N_2\Phi=L_{12}I_1\). Значит
\[ L_{12}=\frac{N_2}{N_1}L_1. \]Если ток пустить по второй, тем же потоком получим \(L_{21}=(N_1/N_2)L_2\). Но \(L_{12}=L_{21}\), поэтому
\[ \frac{N_2}{N_1}L_1=\frac{N_1}{N_2}L_2\qquad\Longrightarrow\qquad L_{12}^2=L_1 L_2, \] \[ L_{12}=\sqrt{L_1 L_2}. \](Коэффициент связи \(k=L_{12}/\sqrt{L_1 L_2}\) равен единице — идеальный трансформатор.) В реальном трансформаторе часть потока замыкается по воздуху, \(k=0{,}95\)–\(0{,}99\) у хорошего силового и \(0{,}5\)–\(0{,}8\) у высокочастотного с разомкнутым сердечником. Тогда \(L_{12}=k\sqrt{L_1 L_2}\), и в расчётах появляется индуктивность рассеяния \(L_s=(1-k^2)L_1\), которая как раз и ограничивает ток короткого замыкания. Без сердечника две далёкие катушки имеют \(k\approx0\), \(L_{12}\approx0\): взаимность есть только когда поток одной обязан пройти через другую.
Проверка. Для соленоида \(L=\mu_0 n^2 V=\mu_0 N^2 S/\ell\), так что \(\sqrt{L_1 L_2}=\mu_0 N_1 N_2 S/\ell\), а это ровно \(L_{12}\) из задачи 11.3.3. Если часть потока рассеивается, \(k<1\) и \(L_{12}<\sqrt{L_1 L_2}\). Знак: при встречной намотке берут \(L_{12}=-\sqrt{L_1 L_2}\). Неравенство \(|L_{12}|\le\sqrt{L_1 L_2}\) — это ещё и положительность энергии \(W=\frac12 L_1 I_1^2+\frac12 L_2 I_2^2+L_{12}I_1 I_2\) для любых токов: дискриминант квадратичной формы не положителен.Ответ\(L_{12}=\sqrt{L_1 L_2}\).Задача 11.3.16
6/10В первичной обмотке трансформатора течёт ток \(I=I_0\sin\omega t\). Магнитный поток, создаваемый этим током, практически полностью проходит через железный сердечник трансформатора. Магнитная проницаемость сердечника \(\mu\). Определите ЭДС индукции во вторичной разомкнутой обмотке, если число витков в первичной обмотке \(N_1\), а во вторичной \(N_2\). Какое напряжение подаётся на первичную обмотку? Сечение сердечника трансформатора \(S\). Эффективная длина сердечника \(l\).
К задаче 11.3.16. Идеальный трансформатор на замкнутом сердечнике. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Ток первичной обмотки задаёт \(H\) в сердечнике (вторичная разомкнута, её ток нуль). Поток \(\Phi=\mu\mu_0 H S\), ЭДС во вторичной \(\mathcal{E}_2=-N_2\dot\Phi\). Напряжение на первичной — это её собственная ЭДС самоиндукции \(N_1\dot\Phi\).Циркуляция \(\mathbf{H}\) по средней линии сердечника длины \(l\): \(H l=N_1 I\), потому что ток вторичной равен нулю. Значит
\[ H=\frac{N_1 I}{l},\qquad B=\mu\mu_0\frac{N_1 I}{l},\qquad \Phi=BS=\frac{\mu\mu_0 N_1 S}{l}I. \]Ток \(I=I_0\sin\omega t\), поэтому \(\dot\Phi=(\mu\mu_0 N_1 S/l)I_0\omega\cos\omega t\). ЭДС во вторичной обмотке
\[ \mathcal{E}_2=-N_2\dot\Phi=-\frac{\mu\mu_0 N_1 N_2 S}{l}I_0\omega\cos\omega t. \]На первичной обмотке (активным сопротивлением пренебрегаем) напряжение уравновешивает ЭДС самоиндукции:
\[ V_1=N_1\dot\Phi=\frac{\mu\mu_0 N_1^2 S}{l}I_0\omega\cos\omega t. \]Отношение амплитуд \(|\mathcal{E}_2|/|V_1|=N_2/N_1\) — обычная формула трансформатора. Величина \(\mu\mu_0 N_1^2 S/l\) — это индуктивность первичной обмотки, так что \(V_1=L_1\dot I\).
Проверка. При \(\omega=0\) обе ЭДС нуль — постоянный ток через идеальную катушку напряжения не даёт. Размерность: \(\mu_0\cdot\text{м}\cdot\text{с}^{-1}\cdot\text{А}=\text{В}\). Для железа \(\mu\sim10^3\), \(N_1\sim200\), \(S\sim10\) см\(^2\), \(l\sim20\) см индуктивность первичной \(L_1\sim0{,}25\) Гн, на 50 Гц и амперном токе напряжение порядка сотни вольт — бытовой масштаб.Ответ\(\mathcal{E}_2=(\mu\mu_0 N_1 N_2 S/l)\,I_0\omega\cos\omega t\), \(\quad V_1=(\mu\mu_0 N_1^2 S/l)\,I_0\omega\cos\omega t\).Линейный рост тока
6/10Ток в первичной обмотке трансформатора равномерно увеличивают. По какому закону меняется напряжение во вторичной обмотке?
К задаче 11.3.17. Слева ток первичной, справа напряжение вторичной. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея ЭДС вторичной пропорциональна производной потока, а поток пропорционален току первичной. Если ток растёт линейно, производная постоянна — напряжение на вторичной не зависит от времени.В идеальном трансформаторе \(\Phi=(L_{12}/N_2)I_1\), или просто \(\Phi\propto I_1\). Пусть \(I_1=\alpha t\) (\(\alpha=\mathrm{const}\)). Тогда
\[ \mathcal{E}_2=-N_2\frac{d\Phi}{dt}=-N_2\cdot\mathrm{const}\cdot\alpha=\mathrm{const}. \]Напряжение во вторичной обмотке постоянно (пока ток первичной растёт равномерно и сердечник не насытился). Когда рост тока прекратится, \(\dot\Phi=0\) и \(V_2\) упадёт до нуля.
Это же видно из \(V_2=L_{12}\,\dot I_1=L_{12}\alpha=\mathrm{const}\). На первичной при линейном росте тока тоже постоянное напряжение \(V_1=L_1\alpha\) — просто батарея, подключённая к катушке. Трансформатор масштабирует его в отношении витков: \(V_2/V_1=N_2/N_1\). Как только сердечник насытится, \(\Phi\) перестанет расти пропорционально току, и \(V_2\) обвалится — поэтому линейный рост нельзя поддерживать сколь угодно долго: либо упрётесь в насыщение, либо в максимальный ток источника.
Практический отголосок: так устроены некоторые генераторы пилообразного тока (развёртка осциллографа, электромагнитные катушки отклонения). Пока ток пилы растёт линейно, на дополнительной обмотке сидит почти прямоугольный импульс напряжения.
Проверка. На первичной при линейном росте тока напряжение постоянно: \(V_1=L_1\alpha\). Трансформатор просто масштабирует его, \(V_2/V_1=N_2/N_1\), поэтому \(V_2\) тоже константа. Если ток гнать слишком долго, сердечник насытится и \(V_2\) обвалится — в лаборатории пилу ограничивают именно этим. Размерность: \(L_{12}\alpha\) — генри \(\times\) ампер/сек \(=\) вольт.Ответ\(V_2=\mathrm{const}\).Короткозамкнутая вторичная
6/10Покажите, что в идеальном трансформаторе с замкнутой накоротко вторичной обмоткой имеет место соотношение \(I_1/I_2=N_2/N_1\), где \(I_1\) и \(I_2\) — токи, а \(N_1\) и \(N_2\) — число витков в обмотках.
К задаче 11.3.18. Идеальный трансформатор, вторичная — кусок провода. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея В идеальном трансформаторе активных сопротивлений нет, а поток в сердечнике не может меняться так, чтобы на короткозамкнутой обмотке была ненулевая ЭДС: иначе по ней тёк бы бесконечный ток. Значит \(\dot\Phi=0\), полный поток постоянен, и ампер-витки обмоток уничтожают друг друга: \(N_1 I_1=N_2 I_2\).ЭДС вторичной обмотки \(\mathcal{E}_2=-N_2\dot\Phi\). Обмотка замкнута накоротко, её сопротивление нуль, поэтому единственный способ не получить бесконечный ток — это
\[ \dot\Phi=0\qquad\Longrightarrow\qquad\Phi=\mathrm{const}. \]Поток в сердечнике создают обе обмотки:
\[ \Phi=\frac{\mu\mu_0 S}{l}(N_1 I_1-N_2 I_2) \](знак минус: токи направлены так, что их поля противоположны — иначе постоянный поток не удержать). Постоянство \(\Phi\) при переменных токах требует
\[ N_1 I_1-N_2 I_2=0\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{I_1}{I_2}=\frac{N_2}{N_1}. \]Это и есть «преобразование токов»: понижающий трансформатор (\(N_2<N_1\)) поднимает ток. Тот же результат следует из баланса мощностей \(V_1 I_1=V_2 I_2\) вместе с \(V_1/V_2=N_1/N_2\), но для короткого замыкания \(V_2=0\), и аккуратнее опираться именно на \(\Phi=\mathrm{const}\).
Проверка. При \(N_1=N_2\) получаем \(I_1=I_2\) — две одинаковые обмотки ведут себя как одна короткозамкнутая катушка с нулевой индуктивностью (поля уничтожились). Если вторичную разомкнуть, \(I_2=0\), и соотношение, конечно, не выполняется: там \(\Phi\) уже не обязан быть постоянным. В реальном трансформаторе небольшое \(\dot\Phi\) всё же есть из-за активного сопротивления вторичной, и \(N_1 I_1-N_2 I_2\) равно небольшому намагничивающему току.Ответ\(I_1/I_2=N_2/N_1\).Задача 11.3.19
6/10а. Почему опасно замыкание хотя бы одного витка вторичной обмотки трансформатора?
б. Замыкание витка вторичной обмотки приводит иногда к выходу из строя первичной обмотки трансформатора. Почему это происходит?
К задаче 11.3.19. Один замкнутый виток на сердечнике. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Замкнутый виток — это вторичная обмотка с \(N_2=1\) и очень маленьким сопротивлением. На нём сидит то же \(d\Phi/dt\), что и на каждом витке первичной, а сопротивление — сантиметры провода. Ток в витке огромен, выделяется куча тепла. Для сети виток выглядит как почти короткое замыкание, и первичная тоже перегревается.а. На каждом витке сердечника наводится одна и та же ЭДС \(\mathcal{E}_1/N_1=V_1/N_1\). У сетевого трансформатора это обычно \(1\)–\(2\) В на виток. Сопротивление одного витка — доли ома (толстый провод, короткий путь вокруг стержня). Ток в замкнутом витке
\[ I_{\text{вит}}\sim\frac{V_1/N_1}{R_{\text{вит}}} \]может составлять десятки и сотни ампер. Мощность \(I^2 R\) идёт в нагрев именно этого витка: он мгновенно раскаляется, изоляция горит, виток может расплавиться и замкнуть соседние. Поэтому даже один замкнутый виток (оборвавшаяся и замкнувшаяся на себя жила, забытое кольцо на стержне, замкнутый болт сквозь окно магнитопровода) для трансформатора губителен.
б. Замкнутый виток — тяжёлая нагрузка. По задаче 11.3.18 ампер-витки почти компенсируются: \(N_1 I_1\approx 1\cdot I_{\text{вит}}\), то есть ток первичной
\[ I_1\approx\frac{I_{\text{вит}}}{N_1} \]вырастает во много раз по сравнению с холостым ходом (где \(I_1\) — лишь небольшой ток намагничивания). Обмотка рассчитана на номинальный ток нагрузки, а не на режим короткого замыкания: она греется как \(I_1^2 R_1\), изоляция первичной пробивается, и трансформатор «сгорает со стороны сети», хотя повреждение было во вторичной.
Проверка. Численно: \(V_1=220\) В, \(N_1=220\), \(1\) В/виток; пусть \(R_{\text{вит}}=0{,}02\) Ом, тогда \(I_{\text{вит}}=50\) А, мощность в витке \(50\) Вт — для куска провода это печка. Первичная: \(I_1\approx50/220\approx0{,}23\) А сверх намагничивающего — ещё терпимо для одного тонкого витка; но если замкнулось несколько витков или виток толстый (ещё меньше \(R\)), токи сразу становятся аварийными. Именно поэтому сердечник нельзя стягивать замкнутой проводящей скобой через окно.Ответа) В замкнутом витке \(N_2=1\) и малое \(R\), ток и нагрев огромны. б) Виток — короткое замыкание: ток первичной растёт как \(I_1\approx I_{\text{вит}}/N_1\), первичная перегревается.Лабораторный автотрансформатор
6/10Объясните устройство лабораторного регулировочного трансформатора, изображённого на рисунке. Как меняется напряжение на выходе трансформатора при перемещении контакта \(K\) влево?
К задаче 11.3.20. ЛАТР: одна обмотка, скользящий контакт \(K\). ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Это автотрансформатор (ЛАТР): одна обмотка служит и первичной, и вторичной. Сеть сидит на всей обмотке \(AB\), выход снимается с части витков между общим концом и движком \(K\). Число витков в «вторичной» части задаёт \(U_{\text{вых}}\).Обмотка намотана на замкнутый сердечник (на рисунке условно развёрнута в линию). Клеммы \(A\) и \(B\) — концы всей обмотки, на них подаётся сетевое напряжение \(U_{\text{вх}}\). По сердечнику гуляет один и тот же поток \(\Phi(t)\), поэтому на каждом витке одна и та же ЭДС. Если всего витков \(N\), а между общим концом (скажем, \(A\)) и контактом \(K\) их \(n\), то
\[ \frac{U_{\text{вых}}}{U_{\text{вх}}}=\frac{n}{N}. \]Движок \(K\) скользит по зачищенной дорожке обмотки и меняет \(n\). При перемещении \(K\) влево (к общему зажиму \(A\)) число витков \(n\) уменьшается, и выходное напряжение падает. В крайнем левом положении \(n=0\), \(U_{\text{вых}}=0\); в крайнем правом \(n=N\), \(U_{\text{вых}}=U_{\text{вх}}\). (У некоторых ЛАТРов обмотка чуть длиннее «сетевого» участка, и движок может зайти правее \(B\) — тогда \(U_{\text{вых}}\) немного превышает сеть.)
Токи. В общем участке обмотки течёт разность \(I_{\text{вх}}-I_{\text{вых}}\), поэтому провод можно брать тоньше, чем в двухобмоточном трансформаторе той же мощности, — в этом экономия автотрансформатора. Зато гальванической развязки нет: выход связан с сетью напрямую.
Проверка. Если движок посередине, \(n=N/2\), на выходе половина сети — \(110\) В из \(220\). Мощность, которую можно снять, ограничена током движка (обычно несколько ампер у лабораторного ЛАТРа). Перемещать движок под большой нагрузкой не стоит: искрит. На постоянном токе ЛАТР, разумеется, не работает — нет \(\dot\Phi\).ОтветЭто автотрансформатор: сеть на всей обмотке, выход — с части витков от общего конца до \(K\). При движении \(K\) влево \(n\) убывает, \(U_{\text{вых}}\) падает.Гудение трансформатора
6/10Почему нагруженный трансформатор гудит? Какова основная частота звука, если трансформатор включён в промышленную сеть?
К задаче 11.3.21. Пластины сердечника то притягиваются, то отпускают. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Силы в магнитном поле пропорциональны \(B^2\). Индукция меняется как \(\sin\omega t\), квадрат — как \(\sin^2\omega t=(1-\cos 2\omega t)/2\). Силы пульсируют с удвоенной частотой сети. Пластины сердечника и витки обмотки слегка ходят туда-сюда и излучают звук \(100\) Гц.Две причины гудения, и обе дают одну частоту.
Магнитострикция и силы между пластинами. Железо чуть меняет длину в магнитном поле (магнитострикция), а соседние пластины притягиваются с силой \(\sim B^2/\mu_0\). Сеть \(50\) Гц, \(B=B_0\sin\omega t\), \(\omega=2\pi\cdot50\). Тогда
\[ B^2=B_0^2\sin^2\omega t=\frac{B_0^2}{2}\bigl(1-\cos 2\omega t\bigr). \]Постоянная часть — просто сжатие пакета, переменная — вибрация с частотой \(2\nu=100\) Гц. На холостом ходу \(B\) уже почти номинальное (его задаёт \(V=N\dot\Phi\)), поэтому тихонький фон есть и без нагрузки.
Силы между витками. Под нагрузкой по обмоткам текут большие токи, параллельные провода притягиваются/отталкиваются с силой \(\sim I_1 I_2\sim I^2\sim\sin^2\omega t\) — снова \(100\) Гц. Поэтому нагруженный трансформатор гудит громче: к магнитострикции добавляется «дребезг» обмоток.
Основная частота звука — \(100\) Гц (для американской сети \(60\) Гц было бы \(120\) Гц). В спектре есть и гармоники из-за нелинейности кривой намагничивания, но тон узнаваемый — низкое «жжж».
Проверка. Простая проверка ухом: гудение не меняет тон, когда нагрузку снимают, только громкость — частота привязана к сети, а не к току нагрузки. Пропитанный лаком и плотно стянутый пакет поёт тише: меньше свобода пластин. На постоянном токе трансформатор молчит: \(B=\mathrm{const}\), сил нет переменных.ОтветСилы \(\propto B^2\propto\sin^2\omega t\) пульсируют с удвоенной частотой сети. Основной тон \(\nu=100\) Гц.Шихтованный сердечник
6/10Зачем сердечник трансформатора собирают из отдельных пластин?
К задаче 11.3.22. Слева набор изолированных пластин, справа — сплошной кусок. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Переменный поток рождает вихревое \(\mathbf{E}\) не только в обмотке, но и в самом железе. В сплошном сердечнике эти токи Фуко гоняют по большим контурам и греют железо впустую. Пластины, изолированные друг от друга и поставленные вдоль \(\mathbf{B}\), режут контуры на узкие полоски — сопротивление растёт, токи падают.По закону Фарадея вокруг меняющегося потока есть вихревое электрическое поле. Железо — проводник, поэтому в сплошном стержне текут круговые токи (токи Фуко) в плоскостях, перпендикулярных \(\mathbf{B}\). Мощность потерь на единицу объёма растёт как \((\dot B)^2 d^2/\rho\), где \(d\) — поперечный размер контура, \(\rho\) — удельное сопротивление. У сплошного сердечника \(d\) — это вся толщина стержня, потери огромны: трансформатор грелся бы как печка, КПД падал бы, поток «вытеснялся» бы из железа.
Пластины толщины \(0{,}3\)–\(0{,}5\) мм ставят вдоль потока, а между ними — лак или оксид. Контур вихря теперь шириной с толщину одной пластины, \(d\) падает в сотни раз, потери — в десятки тысяч. Магнитный поток почти не замечает изоляции (зазор микроны), а токам Фуко она — глухая стена.
Дополнительно берут не простое железо, а кремнистую электротехническую сталь: \(\rho\) выше, гистерезис меньше. На высоких частотах (импульсные блоки) и этого мало — там феррит, где вихри душатся уже объёмным сопротивлением.
Проверка. Если собрать сердечник «поперёк» (пластины режут поток), магнитное сопротивление вырастет катастрофически — так не делают. На постоянном токе пластины не нужны: \(\dot B=0\), вихрей нет; дроссель фильтра иногда и ставят на сплошном железе. Оценка: переход от \(d=2\) см к \(d=0{,}3\) мм даёт выигрыш \((20/0{,}3)^2\sim4000\) по потерям на вихри.ОтветЧтобы уменьшить токи Фуко.Кнопка звонка
6/10Для питания электрического звонка пользуются понижающим трансформатором. Почему обычно кнопка звонка включена во вторичную цепь, а первичная остаётся постоянно подключённой к сети?
К задаче 11.3.23. Первичная сидит на сети всегда, кнопка рвёт безопасную вторичную. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Кнопка стоит у двери, до неё тянется длинный провод по сырым стенам и под дождём. Там должно быть безопасное напряжение. Холостой трансформатор почти ничего не ест, поэтому первичную можно не выключать.Понижающий трансформатор даёт на вторичной \(4\)–\(12\) В — этого хватает звонку и совершенно не хватает, чтобы ударить человека или пробить сырую изоляцию дверной проводки. Кнопка и вся линия до двери живут в этой безопасной цепи. Если бы кнопку поставили в первичную, на двери оказалось бы \(220\) В: нажатие мокрыми руками, пробой изоляции в стене, детские пальцы — всё это уже опасно.
Почему первичную не рвут вместе с кнопкой? На холостом ходу (кнопка разомкнута, \(I_2=0\)) трансформатор потребляет лишь ток намагничивания — ватты, не десятки ватт. Держать его подключённым круглосуточно дешевле и надёжнее, чем ставить на \(220\) В выключатель у двери. Кроме того, коммутация первичной — это обрыв индуктивности: при отпускании кнопки скакала бы ЭДС самоиндукции, контакты искрили бы и быстрее сгорали. На низковольтной вторичной искрение слабое, а звонок сам по себе — омическая (плюс небольшая индуктивность катушки) нагрузка, рассчитанная на частые включения.
Проверка. Типичный звонковый трансформатор тёплый, но не горячий — холостые потери \(1\)–\(3\) Вт, за сутки меньше копейки. Тот же прибор с кнопкой в первичной продавать нельзя: по технике безопасности все части, к которым есть доступ «с улицы», должны быть развязаны и быть низковольтными. Исключение — старые квартиры, где звонок питали от сети напрямую через конденсатор: это как раз плохая схема, и её давно не ставят.ОтветКнопка и проводка к двери оказываются под безопасным низким напряжением; холостой трансформатор почти не потребляет, первичную можно не рвать.Разветвлённый сердечник
6/10На железный сердечник намотаны две катушки. Магнитный поток, создаваемый каждой катушкой, не выходит из сердечника и делится поровну в его разветвлениях. При включении катушки 1 в цепь переменного тока с напряжением \(40\) В напряжение на катушке 2 равно \(10\) В. Какое напряжение будет на разомкнутых зажимах катушки 1, если катушку 2 включить в цепь переменного тока с напряжением \(10\) В?
К задаче 11.3.24. Катушка 1 на левом стержне, катушка 2 на правом; средний — общий. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Это не обычный трансформатор: поток катушки 1 делится поровну между средним стержнем и стержнем катушки 2. Поэтому на катушку 2 приходит лишь половина потока. Обратный ход — та же половина, но уже от катушки 2. Из первого опыта находим отношение витков, из второго — искомое напряжение.Напряжение на обмотке \(V=N\omega\Phi\), где \(\Phi\) — поток через эту обмотку.
Первый опыт. На катушке 1 напряжение \(40\) В, значит поток через неё \(\Phi_1=40/(N_1\omega)\). Он делится поровну: через катушку 2 идёт \(\Phi_1/2\). Напряжение на катушке 2
\[ V_2=N_2\omega\cdot\frac{\Phi_1}{2}=\frac{N_2}{N_1}\cdot 20=10\ \text{В}. \]Отсюда \(N_2/N_1=1/2\): у второй катушки вдвое меньше витков.
Второй опыт. Питаем катушку 2 десятью вольтами. Поток через неё \(\Phi_2=10/(N_2\omega)\). Он тоже делится поровну, и через катушку 1 идёт \(\Phi_2/2\). Напряжение на разомкнутой катушке 1
\[ V_1=N_1\omega\cdot\frac{\Phi_2}{2}=\frac{N_1}{N_2}\cdot 5=2\cdot 5=10\ \text{В}. \]Получилось \(10\) В — не \(40\). Асимметрия «40 на входе \(\to\) 10 на выходе, но 10 на входе \(\to\) 10 на выходе» — плата за то, что поток каждый раз теряет половину в среднем стержне. Коэффициент передачи туда \(10/40=1/4\), обратно \(10/10=1\), произведение \(1/4\), а не \(1\): система не обратима как обычный трансформатор, потому что средний стержень — «утечка» потока, разная в двух опытах относительно той обмотки, которую мы читаем.
Проверка. Если бы средний стержень убрали (остался бы замкнутый прямоугольник, поток не делится), было бы \(V_2/V_1=N_2/N_1\) в обе стороны, и из \(V_2=10\) при \(V_1=40\) следовало бы \(V_1'=40\) при \(V_2'=10\). Разветвление как раз и ломает эту обратимость. Размерность и линейность \(V\propto N\Phi\) нигде не нарушены. Число \(10\) В совпадает с печатным ответом.Ответ\(V=10\) В.Задача 11.3.25
6/10Имеются два одинаковых идеальных трансформатора с одинаковым коэффициентом трансформации \(1:3\). Первичная обмотка одного из них соединена последовательно со вторичной второго, и свободные концы этих обмоток включены в сеть переменного тока с напряжением \(100\) В. Вторичная обмотка первого трансформатора последовательно соединена с первичной обмоткой второго. Определите амплитуду переменного напряжения между другими концами обмоток.
К задаче 11.3.25. В сеть включены первичная T₁ и вторичная T₂; снимаем с оставшейся пары. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Выходная цепь разомкнута, токов там нет. Каждый трансформатор — просто катушка: у T₁ в сети сидит первичная (индуктивность \(L\)), у T₂ — вторичная (индуктивность \(9L\), потому что \(L\sim N^2\) и \(N_2/N_1=3\)). Сотня вольт делится пропорционально индуктивностям. Потоки известны — осталось сложить напряжения на «свободных» обмотках.Коэффициент \(1:3\) значит \(N_2=3N_1\), \(U_2=3U_1\) на каждом трансформаторе в отдельности. Индуктивность обмотки \(L\propto N^2\), поэтому \(L_{\text{втор}}=9L_{\text{перв}}\). Обозначим \(L_{\text{перв}}=L\).
В сеть включены последовательно первичная T₁ и вторичная T₂. Тока во второй (выходной) цепи нет, намагничивающие токи малы, и напряжение делится как индуктивности:
\[ U_{p1}:U_{s2}=L:9L=1:9,\qquad U_{p1}+U_{s2}=100\ \text{В}. \] \[ U_{p1}=10\ \text{В},\qquad U_{s2}=90\ \text{В}. \]Поток в T₁ задаёт его первичная: на вторичной T₁ будет
\[ U_{s1}=3\,U_{p1}=30\ \text{В}. \]Поток в T₂ задаёт его вторичная: на первичной T₂
\[ U_{p2}=\frac{U_{s2}}{3}=30\ \text{В}. \]Свободные концы — это последовательное соединение вторичной T₁ и первичной T₂. При согласном включении (так, чтобы ЭДС складывались) амплитуда между ними
\[ V=U_{s1}+U_{p2}=30+30=60\ \text{В}. \](При встречном включении было бы нуль; в задаче просят ненулевую амплитуду, и в книге стоит \(60\) В.)
Проверка. Сумма «входных» \(10+90=100\). Отношения витков на каждом сердечнике сохранены: \(30/10=3\), \(90/30=3\). Если бы трансформаторы были \(1:1\), деление было бы поровну \(50+50\), и на выходе \(50+50=100\) В — вся сеть «прошла бы насквозь», разумно. Предел \(N_2/N_1\to\infty\): почти всё напряжение садится на вторичную T₂, \(U_{p1}\to0\), выход \(U_{s1}+U_{p2}\to 0+100/3\) — тоже понятно.Ответ\(V=60\) В.Катушка в выключаемом поле с резистором
5/10Ток растёт линейно при выключении поля: ЭДС индукции минус ЭДС самоиндукции равна IR; найти скорость роста тока, протёкший заряд и индуктивность (варианты 5–6).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Индуктивность витков на рёбрах куба
6/10Витки из рёбер куба связаны суперпозицией токов и симметрией: контур из шести рёбер представляется как сумма или разность контуров с известными индуктивностями, и по энергии или потоку находят неизвестную индуктивность.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Две катушки во внешних полях
6/10Катушки без сопротивления в изменяющихся внешних полях: скорость изменения тока из ЭДС индукции, ток по концу изменения — из сохранения суммы LI и потока внешнего поля (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Заряженный цилиндр с грузом на нити
7/10Вращающийся заряженный цилиндр создаёт поле как соленоид; самоиндукция добавляет эффективную инерцию, найти ускорение груза из энергии или уравнения вращения с индуктивной добавкой. Регионы.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Замкнуты перемычкой и катушкой
5/10Два длинных прямолинейных проводника располагаются в одной горизонтальной плоскости в вертикальном магнитном поле с индукцией \(B = 0{,}1\) Тл на расстоянии \(d = 10\) см друг от друга. Концы проводников соединены с катушкой с индуктивностью \(L = 0{,}1\) Гн. На некотором расстоянии от катушки на проводниках лежит хорошо проводящая перемычка массой \(m = 25\) г. Перемычка располагается перпендикулярно проводникам и может скользить по ним, не испытывая трения (см. рисунок). В начальный момент времени перемычке сообщается скорость \(v = 0{,}1\) м/c в направлении от катушки.
Пренебрегая активным сопротивлением перемычки, катушки и проводников, ответьте на следующие вопросы.
Через какое минимальное время скорость перемычки станет равна нулю? Ответ выразите в секундах, округлите до целого.
На каком расстоянии от начального положения будет находиться перемычка в момент, когда её скорость станет равна нулю? Ответ выразите в сантиметрах, округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗакон Фарадея для контура без сопротивления даёт \(Li + Bdx = 0\), значит, сила на перемычку линейна по смещению: это гармонические колебания.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) 8 с; 2) 50 см.
Две катушки, три резистора
5/10В цепи, представленной на рис. 4, ключ изначально разомкнут. Значения обозначенных на рисунке параметров цепи равны: \(\mathcal{E} = 6\) В, \(r = 2\) Ом, \(R = 6\) Ом, \(L = 0{,}2\) Гн. Активное сопротивление катушки равно нулю.
Ключ замыкают и в цепи начинается переходный процесс, при этом ток через батарейку меняется в некотором диапазоне, границы которого обозначим через \(I_{\min}\) и \(I_{\max}\). Считайте известным тот факт, что ток через батарейку в переходном процессе меняется монотонно.
а) (1 балл) Определите значение \(I_{\min}\). Ответ дайте в амперах, округлите до десятых.
б) (1 балл) Определите значение \(I_{\max}\). Ответ дайте в амперах, округлите до десятых.
Спустя некоторое время после начала переходного процесса ток через батарейку устанавливается. Далее ключ размыкают.
в) (2 балла) Чему равно напряжение на среднем резисторе (расположенном на рис. 4 вертикально) сразу после размыкания ключа? Ответ дайте в вольтах, округлите до целого.
г) (1 балл) Какое количество теплоты выделяется в цепи после размыкания ключа? Ответ дайте в джоулях, округлите до десятых.
д) (1 балл) Какое количество теплоты выделяется на среднем резисторе (расположенном на рис. 4 вертикально) после размыкания ключа? Ответ дайте в джоулях, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСразу после замыкания ток через катушки равен нулю (катушка как разрыв), а при установлении напряжение на катушках нулевое (катушка как провод). После размыкания токи катушек сохраняются.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответа) \(I_{\min} = \dfrac{\mathcal{E}}{r + 3R} = 0{,}3\) А; б) \(I_{\max} = \dfrac{\mathcal{E}}{r + R/3} = 1{,}5\) А; в) \(U_R = \dfrac43 \cdot \dfrac{\mathcal{E}R}{r + R/3} = 12\) В; г) \(Q = L\cdot\left(\dfrac23 I_{\max}\right)^2 = 0{,}2\) Дж; д) \(Q_R = \dfrac{Q}{2} = 0{,}1\) Дж.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеОбозначим через \(I_L\) ток, текущий по виткам одной из катушек. Ток в другой катушке будет таким же в силу симметрии. Можно доказать, что производная \(dI_L/dt\) не меняет знака в переходном процессе и становится равна нулю, когда токи в элементах цепи перестают меняться. Причём доказательство не требует решения дифференциального уравнения. Таким образом, данное в условии утверждение о том, что зависимость тока через батарейку от времени — монотонная, является избыточным.
Сразу после замыкания ключа и спустя длительное время после замыкания ключа токи через батарейку равны соответственно: \[I_{\mathcal{E}}(0) = \frac{\mathcal{E}}{r + 3R} = 0{,}3\text{ А}, \qquad I_{\mathcal{E}}(\infty) = \frac{\mathcal{E}}{r + R/3} = 1{,}5\text{ А}.\] Сразу после размыкания ключа токи через катушки остаются такими же, как до размыкания. В процессе уменьшения тока через катушки до нуля ток, текущий через средний резистор, оказывается вдвое большим тока, текущего через любой из крайних резисторов. Отсюда следует, что количество теплоты, выделяющееся на среднем резисторе, вдвое больше количества теплоты, выделяющегося на любом из крайних.
«Фонарь Фарадея»
6/10В фонаре Фарадея аккумулятор заряжается благодаря подвижному магниту, периодически пролетающему через катушку индуктивности. Чтобы фонарь заряжался, его нужно трясти в руке, чтобы магнит быстро летал туда-сюда сквозь катушку. На рис. ниже показана упрощённая схема фонаря. ЭДС аккумулятора равна \(\mathcal{E} = 3{,}6\) В. Катушка состоит из \(n = 3000\) витков проволоки, её внутренний радиус чуть больше радиуса магнита, индуктивность и активное сопротивление равны: \(L = 0{,}1\) Гн и \(R = 50\) Ом соответственно. Диаметр цилиндрического магнита и его длина равны: \(d = 15\) мм и \(h = 23\) мм. Длина катушки равна длине магнита \(h\).
Пусть фонарь трясут с частотой \(\nu = 4\) Гц. Магнит движется в пластиковой трубке длиной \(H = 12{,}3\) см. Для оценок, которые требуется сделать в этой задаче, предлагается считать, что магнит в трубке совершает гармонические колебания с амплитудой \(0{,}5(H - h)\), диоды — идеальные, внутреннее сопротивление аккумулятора и проводов много меньше сопротивления катушки \(R\).
A. Вычислите приближённо максимальную ЭДС индукции и максимальную ЭДС самоиндукции в катушке (по модулю). Найдите отношение этих величин. Убедитесь, что одна из них много больше другой.
B. Какое примерно число раз магнит должен пролететь сквозь катушку, чтобы в аккумуляторе накопилась энергия \(E = 50\) Дж?
C. Определите приближённо отношение времени зарядки (тряски) ко времени работы без тряски, если потребляемая светодиодом от аккумулятора мощность равна \(P = 0{,}5\) Вт.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОцените скорость магнита по гармоническому закону и поток, пронизывающий катушку при его пролёте. Сравните ЭДС индукции с ЭДС самоиндукции \(L\,dI/dt\) при характерном токе.
Катушка и резистор: ключ замыкают и размыкают
5/10Сразу после замыкания ток через катушку нулевой — напряжение на катушке через ток резистора; в момент размыкания ток катушки найден по токам источника и резистора, вся энергия катушки LI²/2 выделяется в цепи.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Замыкание и размыкание цепи с катушкой
5/10Цепь с источником, катушкой и резисторами: сразу после замыкания ток катушки нуль, сразу после размыкания он сохраняется; из равенства токов через резистор до и после размыкания находят неизвестные величины, затем ток катушки и выделившееся тепло как энергия LI²/2. (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Заряженный конденсатор
5/10Конденсатор, заряженный до 3E, замыкают на катушку и источник ЭДС E: идеальный колебательный контур со смещённым положением равновесия; найти максимальный ток, ток при нулевом заряде и заряд при нулевом токе из законов сохранения энергии.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Контур с источником и током в катушке
5/10В цепи с источником, конденсатором и катушкой в некоторый момент известны напряжение на конденсаторе и ток; максимальный ток — при нулевой ЭДС самоиндукции (напряжение равно ЭДС), ЗСЭ с работой источника даёт ток через корень из суммы квадратов; аналогично ток при нулевом заряде. (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Цепь с катушкой: замыкание и размыкание ключа
5/10В цепи с катушкой, резисторами и источником сразу после замыкания ток через катушку нулевой (связь I0 и ЭДС), перед размыканием ток катушки сохраняется при размыкании; находят теплоту как энергию катушки, ток источника и заряд через резистор из LΔI=IRΔt. (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Цепь с катушками при замыкании ключа
5/10Цепь из резисторов и нескольких катушек: ток до замыкания ключа, скорость роста тока в катушке сразу после замыкания (токи катушек непрерывны, ЭДС самоиндукции уравновешивает напряжение), протёкший заряд через сохранение потока (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Катушки при выключении внешнего поля
5/10Две сверхпроводящие катушки в параллель: ЭДС индукции в первой делит ток между индуктивностями, ток и протёкший заряд находятся из сохранения потока (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Катушка с изменяемой индуктивностью
5/10После замыкания ключа ЭДС самоиндукции падает; затем индуктивность меняют так, чтобы ЭДС самоиндукции оставалась постоянной; из закона изменения тока найти приращение индуктивности за заданное время.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Катушка при размыкании ключа
6/10Схема с источником, катушкой и резисторами: сразу после размыкания ток через катушку не меняется; по заряду q0, протёкшему через катушку после размыкания, находят ток, а затем заряд через источник за время замкнутого ключа через баланс токов.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Цепь с катушкой: заряды и теплота при замыкании и размыкании ключа
6/10Ключ замыкают на время τ и размыкают: при замкнутом ключе ток катушки нарастает линейно, затем энергия катушки выделяется в цепи; отношения теплот и зарядов связывают время τ с L/R (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Две параллельные катушки и конденсатор
6/10Конденсатор и две параллельные катушки подключены к источнику: напряжения на катушках равны, поэтому L1I1 − L2I2 сохраняется и токи делятся обратно индуктивностям; из ЗСЭ при нулевом токе находят ЭДС (напряжение на конденсаторе до 2E), при максимальном токе — ток первой катушки. (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Цепь с катушкой и ключом: токи и теплота
6/10Катушка и резистор в цепи с ключом: заряды, протекшие при замкнутом и разомкнутом ключе, связаны с током через интегралы L·dI/dt; ток сразу после размыкания равен току перед ним, теплота — энергия катушки. (билеты 11-07 … 11-10)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Катушка в цепи: замыкание и размыкание ключа
6/10Ключ замыкают на время, а потом размыкают; скорость роста тока в катушке падает в 1,5–2 раза — отсюда ток в катушке, ток источника и мощность (или выделившееся после размыкания тепло через энергию катушки). (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Цепь с катушкой: рост тока после замыкания
6/10Скорость роста тока в катушке к моменту размыкания ключа уменьшилась в 2,5–3 раза: из закона для ЭДС самоиндукции находят начальную скорость роста, ток через катушку, ток и мощность источника или теплоту после размыкания. (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Индуктивность и сверхпроводящий виток
6/10Сверхпроводящий виток рядом сохраняет поток и меняет эффективную индуктивность первого; по двум конфигурациям (соседние и противоположные грани куба) с учётом взаимной индуктивности и симметрии найти новую индуктивность.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Нелинейная цепь
6/10После замыкания ключа в цепи с резистором, катушкой и нелинейным элементом ток растёт до установившегося; тепло на резисторе за долгое время найти из баланса энергии: работа источника за вычетом энергии катушки и тепла на нелинейном элементе по его ВАХ.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Виток в витке
6/10Индуктивность кольца масштабируется пропорционально размеру; сверхпроводящее колечко сохраняет поток и меняет эффективную индуктивность большого кольца, надо выразить L2 через L, L1 с использованием взаимной индуктивности.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Лампочка и катушка при замыкании ключа
6/10Цепь с катушкой, резисторами и лампой с заданной ВАХ: токи сразу после замыкания (ток катушки непрерывен), скорость роста тока и установившийся режим, где ток лампы находится графически из пересечения с нагрузочной прямой (варианты 5–8).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Цепь с двумя катушками и ключом
6/10В установившемся режиме токи катушек заданы схемой; после размыкания ключа токи катушек непрерывны, находят скорость их изменения и заряд, прошедший через резистор (варианты 5–6).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Колебания в цепи с четырьмя катушками и двумя ключами
7/10Заряженный конденсатор разряжается на катушку, затем второй ключ подключает остальные катушки; в первый момент ток через L1 из закона сохранения энергии, а установившееся напряжение и выделившаяся теплота — из сохранения потокосцепления (энергия теряется при мгновенном подключении). (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.