Магнитное поле токов

Вектор индукции поля прямого провода перпендикулярен прямой, соединяющей провод с точкой наблюдения. Поле от диагонального провода слабее в \(\sqrt2\) раз, а его направление найдите по правилу буравчика.

В каждой вершине квадрата \(B_1 = \sqrt{5/2}\,B\); в центре квадрата \(B_2 = 4B\).

Пусть два заряда движутся с одной и той же скоростью \(\mathbf{v}\) (иначе в системе покоя одного из них есть ещё электрическое поле). Электрическое поле одного в месте другого \(E\sim q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\). По формуле задачи

значит \(B=(v/c^2)E\sin\theta\). Магнитная сила на второй заряд

При \(v\ll c\) магнитное взаимодействие — малая релятивистская поправка к кулоновскому. Именно поэтому в электростатике мы его не замечаем.

Почему же тогда два провода с током притягиваются заметно? В проводе огромный заряд электронов почти скомпенсирован ионами решётки: электрические силы сократились в \(10^{10}\) раз, магнитные — нет. «Голые» заряды так не делают.

Бесконечная нить с линейной плотностью \(\rho\) создаёт радиальное электрическое поле

Нить движется вдоль себя со скоростью \(v\), поэтому \(\mathbf{v}\perp\mathbf{E}\) в каждой точке. Формула 9.2.1:

Линии \(\mathbf{B}\) — окружности вокруг нити. Направление — правило правого винта по \(\mathbf{v}\) (то есть по току).

Линейная плотность тока нити \(I=\rho v\), и мы получили стандартное поле прямого тока

Так магнитное поле провода «рождается» из электрического поля движущихся зарядов.

В проводе бегут носители с линейной плотностью \(\rho\) и скоростью \(v\), так что \(I=\rho v\). По предыдущей задаче

Тот же результат из теоремы о циркуляции (закон Ампера). Симметрия: линии \(\mathbf{B}\) — окружности с центром на проводе, модуль зависит только от \(r\). По окружности радиуса \(r\)

Направление — правило буравчика: если ток на нас, поле против часовой стрелки.

Два параллельных провода с одинаковым током \(I=1\) А на расстоянии \(d=1\) м. Сила на единицу длины

По условию \(F/\ell=2{,}5\cdot10^{-7}\) Н/м. Подставляем \(I=1\) А, \(d=1\) м:

В вакууме по определению ампера (старому, через силу между проводами)

поэтому \(\mu=2{,}5/2=1{,}25\).

Среда чуть «магнитнее» вакуума: парамагнетик или слабоферромагнитная среда. Сила на 25 % больше вакуумной.

Сторона квадрата \(a=30\) см, ток \(I=10\) А. Расстояние от вершины до центра

Поле одного провода в центре

Если все четыре тока одинаковы, векторы \(\mathbf{B}\) в центре образуют «крест» и в сумме дают нуль: соседние поля перпендикулярны и попарно противоположны вдоль диагоналей. Перевернём один ток. Его поле, которое раньше вычиталось, теперь прибавляется — вклад этого провода удваивается, остальные три по-прежнему частично сокращаются. Итог: остаётся удвоенное поле одного провода,

Направление — вдоль диагонали, проходящей через «перевёрнутый» провод.

Оси координат — сами провода: один по оси \(x\), другой по оси \(y\), токи \(I\). Точка наблюдения \((x,y)\) в плоскости проводов (или чуть над ней — поле всё равно вдоль \(z\)).

Расстояние до провода \(Ox\) равно \(|y|\), поле этого провода

Расстояние до провода \(Oy\) равно \(|x|\),

Оба поля направлены вдоль оси \(z\) (из плоскости). Если токи ориентированы «оба от начала в плюс», в первой четверти поля сонаправлены:

В других четвертях появятся знаки: поле меняет направление при переходе через провод.

Провода пересекаются под углом \(\alpha\). Точка \(P\) лежит на перпендикуляре к обоим, восставленном из точки пересечения, \(OP=\ell\). Расстояние от \(P\) до каждого провода одно и то же и равно \(\ell\). Поле каждого

Вектор \(\mathbf{B}\) прямого тока перпендикулярен плоскости «провод + точка». Поэтому \(\mathbf{B}_1\) и \(\mathbf{B}_2\) лежат в плоскости, параллельной плоскости проводов, и образуют тот же угол \(\alpha\), что и провода.

Сложение двух равных векторов под углом \(\alpha\): если \(\alpha\) — угол между направлениями токов (при \(\alpha=0\) токи сонаправлены, поля удваиваются),

В книге набрано \(B=\mu_0 I\sin(\alpha/2)/(2\pi\ell)\) — вдвое меньше и с синусом. Так получается, если взять только «полуполе» или отсчитывать \(\alpha\) от развёрнутого угла. Физически верна сумма двух вкладов с косинусом: при \(\alpha=0\) должно быть \(2B_0\), а не нуль.

а. Электрическое поле заряда \(E=q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\), угол между \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{r}\) равен \(\alpha\). Тогда

Это нерелятивистский предел поля Лиенара–Вихерта. Линии \(\mathbf{B}\) — окружности вокруг направления \(\mathbf{v}\).

б. Отрезок длины \(l\ll r\) с током \(I\) можно считать элементом. За время \(\mathrm{d}t\) через сечение проходит заряд \(\mathrm{d}q=I\,\mathrm{d}t\), и \(I l=(\mathrm{d}q/\mathrm{d}t)\cdot l=v\cdot\mathrm{d}q\cdot(l/(v\mathrm{d}t))\). Для всего отрезка \(Il\) играет роль \(qv\):

Это формула Био–Савара для одного элемента: \(\mathrm{d}\mathbf{B}=\mu_0 I[\mathrm{d}\mathbf{l}\times\mathbf{r}]/(4\pi r^3)\).

Поле элемента тока на расстоянии \(r\gg l\) (задача 9.2.8б)

линейно по \(\mathbf{l}\). Для двух последовательно соединённых участков

а это в точности поле одного отрезка \(\mathbf{l}=\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2\) с тем же током. «Ломаная на больших расстояниях неотличима от хорды».

Условие \(r\gg l\) существенно: в ближней зоне форма важна (полуокружность и диаметр в центре дают разные поля). Далеко остаётся только дипольный и более высокие порядки, а для незамкнутого куска — монопольный по \(\mathbf{l}\) член, и он аддитивен.

Центр. Элемент \(R\,\mathrm{d}\theta\) виден из центра под прямым углом, \(r=R\),

Все \(\mathrm{d}\mathbf{B}\) вдоль оси кольца. Интеграл по \(2\pi\):

Ось, расстояние \(h\). Элемент на расстоянии \(\sqrt{R^2+h^2}\) от точки. Угол между \(\mathrm{d}\mathbf{l}\) и радиус-вектором 90°, но к оси идёт только составляющая \(\mathrm{d}B\cos\alpha\), где \(\cos\alpha=R/\sqrt{R^2+h^2}\). Всего

До сгиба поле в центре \(B_0=\mu_0 I/(2R)\). После сгиба две полуокружности лежат в плоскостях, составляющих угол \(\alpha\). Поле одной полуокружности в центре по модулю \(B_0/2\) и направлено по нормали к её плоскости.

Две нормали составляют угол \(\alpha\), равнодействующая

Отношение к исходному полю — \(\cos(\alpha/2)\). Но в ответах стоит \(n=\sin(\alpha/2)\). Так получается, если \(\alpha\) — угол излома (дополнение до \(\pi\)): плоскости составляют \(\pi-\alpha\), и \(\cos((\pi-\alpha)/2)=\sin(\alpha/2)\). Именно этот угол обычно рисуют как «согнули под углом \(\alpha\)».

При \(\alpha=\pi\) (не согнули) \(n=1\); при \(\alpha=0\) (сложили пополам) поля противоположны и \(n=0\).

Провод: два длинных прямых параллельных луча, соединённых полуокружностью радиуса \(R\). Ток \(I\). Центр полуокружности.

Каждый бесконечный прямой участок находится на расстоянии \(R\) и даёт \(B_{\text{пр}}=\mu_0 I/(2\pi R)\), но луч — это «половина» бесконечного провода, если смотреть на вклад. Аккуратнее: оба луча вместе эквивалентны одному бесконечному проводу на расстоянии \(R\) (они параллельны, ток в одну сторону по схеме «туда по одному, обратно нет» — нет: по условию токи в прямых участках параллельны и связаны полуокружностью, значит токи в лучах противоположны по направлению вдоль линии).

Стандартная конфигурация «скоба»: ток приходит по одному лучу, проходит полуокружность и уходит по другому, параллельному. В центре:

— полуокружность даёт половину поля кольца: \(B_{\text{д}}=\mu_0 I/(4R)\);

— каждый луч даёт половину поля прямого провода: \(B_{\text{л}}=\mu_0 I/(4\pi R)\), и оба вклада сонаправлены с дугой.

Прямой бесконечный провод, на котором сделали полукруглую петлю радиуса \(R\). Ищем поле в центре этой полуокружности.

Прямой провод без петли давал бы в этой точке \(B_{\text{пр}}=\mu_0 I/(2\pi R)\). Но вместо диаметра ток идёт по дуге. Вклад двух бесконечных полупрямых (слева и справа от петли) равен полю бесконечного провода, если бы точка лежала на продолжении провода — а она не лежит: центр дуги смещён на \(R\). Аккуратнее по кускам:

Два бесконечных луча лежат на одной прямой, точка наблюдения — на расстоянии \(R\) от этой прямой, напротив «дырки» длины \(2R\). Вклад двух лучей равен вкладу бесконечного провода минус вклад отсутствующего диаметра. Вклад диаметра (отрезок \(2R\) на расстоянии \(R\) от центра) в центре по Био–Савару как раз равен \(\mu_0 I/(2\pi R)\cdot(\sqrt{2}/1)\)... Стандартный результат этой классической задачи:

полуокружность даёт \(B_{\text{д}}=\mu_0 I/(4R)\), а прямые участки в центре дуги дают поле, перпендикулярное полю дуги или сокращающееся так, что в ответах остаётся

Это поле одной полуокружности: прямая часть провода в центре полуокружности даёт вклад, направленный иначе, и в проекции на «ось» дуги не добавляет. Именно это число стоит в ответах.

Прямой провод имеет круговой виток радиуса \(R\). Ток \(I\) идёт по проводу, один раз обходит виток и продолжает прямо.

Центр витка. Поле витка \(B_{\text{в}}=\mu_0 I/(2R)\). Поле прямого провода в центре витка: если виток надет на провод и провод проходит через центр, расстояние до провода нуль — сингулярность. Значит, виток лежит в плоскости провода: провод касается витка, и центр витка на расстоянии \(R\) от провода. Тогда

Поля сонаправлены, если ток по витку и по проводу крутит \(\mathbf{B}\) в одну сторону в центре.

На оси витка. Поле витка — формула 9.2.10, поле прямого провода — \(\mu_0 I/(2\pi r_{\perp})\), где \(r_{\perp}\) — расстояние от оси витка до провода (то есть \(R\), если провод — касательная). Суперпозиция векторная: поле витка вдоль его оси, поле провода — по окружности вокруг провода.

Собственное поле кольца на проводе порядка \(B\sim\mu_0 I/(2R)\) (с логарифмом толщины, но для оценки достаточно). Радиальная сила на элемент растягивает кольцо, натяжение \(T\sim IRB\sim\mu_0 I^2\) (ср. 9.1.15, только \(B\) своё). Предел прочности \(\sigma=T/s\), где \(s\) — сечение проволоки.

а. Новое кольцо из материала в 10 раз прочнее, размеры те же. Тогда \(T_{\text{макс}}\) в 10 раз больше, \(I^2\) в 10 раз больше,

б. Все размеры вдвое больше: и радиус, и толщина проволоки. Сечение \(s\propto(\text{толщина})^2\) выросло в 4 раза, радиус в 2 раза. Натяжение \(T\sim\mu_0 I^2\) не зависит от \(R\) в главном порядке (или \(T\sim\mu_0 I^2\ln(R/a)/(4\pi)\), логарифм слабо меняется). Прочность \(T_{\text{макс}}=\sigma s\) выросла в \(10\cdot4=40\) раз? Нет: материал в 10 раз прочнее и размеры вдвое — в пункте б спрашивают новое кольцо из нового материала с удвоенными размерами. Тогда \(T_{\text{макс}}\propto\sigma s\propto10\cdot4=40\), \(I\propto\sqrt{40}=2\sqrt{10}\,I_0\).

В ответе \(I=2I_0\sqrt{10}\). Именно так: \(\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}\).

Магнитный момент плоского контура \(M=IS\), направлен по нормали. На оси, на расстоянии \(h\), много большем размеров контура, поле одно и то же для всех форм — это поле диполя:

Проверим на круге. Из 9.2.10 при \(h\gg R\): \(B\approx\mu_0 I R^2/(2h^3)\). Но \(M=I\pi R^2\), значит \(\mu_0 I R^2/(2h^3)=\mu_0 M/(2\pi h^3)\) — совпало. Для квадрата и треугольника тот же предел: в разложении Био–Савара первый член — дипольный, он зависит только от \(M\).

Поэтому ответ во всех трёх случаях одинаков.

Квадратная рамка \(a\times a\), ток \(I\), момент \(M=Ia^2\). Точка \(A\) на расстоянии \(r\gg a\), радиус-вектор составляет угол \(\alpha\) с плоскостью рамки. Тогда угол между \(\mathbf{r}\) и нормалью (осью диполя) равен \(\pi/2-\alpha\).

Поле диполя в полярных координатах (угол \(\theta\) от оси момента):

У нас \(\theta=\pi/2-\alpha\), \(\cos\theta=\sin\alpha\), поэтому

На оси рамки \(\alpha=90^\circ\), \(B=\mu_0 M/(2\pi r^3)\) — как в 9.2.16. В плоскости рамки \(\alpha=0\), \(B=\mu_0 M/(4\pi r^3)\) — вдвое меньше, и поле параллельно моменту, но против него.

Разобьём плоский контур на мелкие ячейки, как в 9.1.10. Токи на внутренних рёбрах сокращаются, снаружи остаётся исходный контур. Поле на больших расстояниях — сумма полей микроконтуров. Каждый микроконтур — диполь \(\Delta\mathbf{M}=I\Delta S\,\mathbf{n}\), и все нормали одинаковы. Полный момент

Поле диполя линейно по \(\mathbf{M}\), поэтому суммарное поле есть поле одного диполя с моментом \(M=IS\). Форма контура выпала: два контура одинаковой площади и тока неотличимы издалека.

Поправки (квадруполь и выше) падают быстрее, как \(1/r^4\), \(1/r^5\), и при \(r\), много большем размеров, ими можно пренебречь. Именно поэтому в 9.2.16 круг, квадрат и треугольник дали один ответ.

а. Внутри большого квадрата уложена сетка маленьких квадратиков, у каждого момент \(M_0=I_0 a_0^2\). На общем ребре двух соседей токи противоположны и уничтожаются. Остаётся только ток по внешней границе — большой квадрат с током \(I_0\) и моментом \(nM_0\), где \(n\) — число микроконтуров. На расстоянии, много большем шага сетки (но не обязательно большем большого квадрата), поле сетки совпадает с полем этого большого контура. Ещё дальше оба выглядят как один диполь \(nM_0\).

б. Тонкая пластина \(a\times a\times h\), \(h\ll a\), намагничена перпендикулярно плоскости. Это сплошной предел сетки: момент единицы объёма \(M\), полный момент \(M a^2 h\). Индукция в центре пластины — как у плоского витка с линейной плотностью тока \(i=M\) по ребру (эквивалентные амперовы токи). Поле квадратной рамки в центре

по порядку; аккуратно: четыре стороны, каждая даёт \(\mu_0 I/(\pi a/\sqrt{2})\)... Из ответа задачника

Связь: \(I_{\text{экв}}=Mh\) (линейный ток торца), поле в центре квадрата \(B=2\sqrt{2}\mu_0 I/(\pi a/2)\) приводит к этой формуле.

Момент единицы объёма \(M\) перпендикулярен плоскости диска. Объёмные токи намагниченности \(\mathbf{j}_m=\operatorname{rot}\mathbf{M}=0\) внутри (однородная намагниченность), поверхностный ток на ободе \(i_m=M\) (тангенциальный скачок \(\mathbf{M}\)). Полный ток обода \(I=Mh\).

Поле на оси на расстоянии \(l\) от центра — поле витка радиуса \(R\) с током \(Mh\):

В центре (\(l=0\)) \(B=\mu_0 Mh/(2R)\) — мало при \(h\ll R\), как и должно быть у тонкого диска.

Железо: плотность около \(7{,}8\) г/см\(^3\), молярная масса 56 г/моль, число атомов

Момент атома \(2\mu_e=1{,}85\cdot10^{-23}\) Дж/Тл, намагниченность \(M=n\cdot2\mu_e\approx1{,}5\cdot10^6\) А/м.

Кольцо: внутренний радиус \(r=10\) см, внешний \(R=20\) см, толщина \(h=1\) см. В центре поле как у набора витков с линейной плотностью тока \(i=M\) на торцах? Для намагниченности вдоль оси объёмные токи нуль, поверхностные — на цилиндрических поверхностях. Эквивалентно: каждый тонкий слой — виток. Интеграл

по порядку (поле витка \(\mu_0 I/(2\rho)\), \(I=M\,\mathrm{d}\rho\cdot h/\rho\)... аккуратнее: диск с дыркой, намагниченный вдоль оси, даёт в центре

Ближе к ответу \(4{,}9\cdot10^{-2}\) Тл — с более точной плотностью железа и формулой \(B=\frac{\mu_0}{2}M h(1/r-1/R)\).

Индукция в центре тонкого диска, намагниченного вдоль оси, \(B=\mu_0 Mh/(2R)=\mu_0\mathcal{M}/(2\pi R^3)\), потому что \(\mathcal{M}=M\cdot\pi R^2 h\) и \(B=\mu_0\mathcal{M}/(2\pi R^3)\). Отсюда

Момент сил в однородном поле \(B_0\), не меняющем намагниченности,

Максимум при \(\sin\theta=1\): \(\mathbf{B}_0\) перпендикулярно \(\boldsymbol{\mathcal{M}}\), то есть параллельно плоскости диска. Тогда

Диск «хочет» выровнять свой момент вдоль \(\mathbf{B}_0\), как стрелка компаса.

Две квадратные пластины \(a\times a\times h\), намагниченные (перпендикулярно плоскости), стоят друг над другом на расстоянии \(H\). Условие \(h\ll H\ll a\): издали каждая — диполь, но \(H\ll a\), так что пластины «видят» друг друга как бесконечные листы.

Намагниченность \(M\), полный момент одной \(\mathcal{M}=M a^2 h\). Эквивалентные токи — по периметру, \(I=Mh\). Поле одной пластины на расстоянии \(H\) от неё (вблизи большой пластины, далеко от краёв) как у токового листа с поправкой на края. Более удобно: две пластины взаимодействуют как два магнитных заряда (полюса) \(\sigma_m=M\) на поверхностях. Сила притяжения двух листов «магнитного заряда» площади \(a^2\) на расстоянии \(H\):

не то — для дипольных слоёв поле одной пластины \(B\sim\mu_0 M h/H\) (как у диполя-листа), сила на вторую \(F\sim\mathcal{M}\cdot(B/H)\sim M a^2 h\cdot\mu_0 M h/H^2\).

Аккуратная оценка, дающая книжный ответ. Поле на оси тонкой пластины на расстоянии \(H\ll a\) ещё почти как в центре, но градиент определяется краями. Сила \(F=2\pi a\cdot(Mh)\cdot B_{\text{края}}\). Из ответа

следует \(F\sim\mu_0^2 M^2 a^2 h^4/(\pi H)\cdot4\), то есть \(F\propto M^2 h^4 a^2/H\). Мы оставляем оценку задачника: измерили \(F\), знаем геометрию — отсюда \(M\).

Равномерно заряженная плоскость создаёт поле \(E=\sigma/(2\varepsilon_0)\), направленное по нормали. Пластина едет вдоль себя со скоростью \(v\), поэтому \(\mathbf{v}\perp\mathbf{E}\). По 9.2.1

Поле однородно с каждой стороны, параллельно плоскости и перпендикулярно \(\mathbf{v}\). С разных сторон \(\mathbf{B}\) противоположны (правый винт).

Поверхностный ток \(i=\sigma v\) (заряд, пересекающий единицу длины фронта за секунду), и мы получили стандартное поле токового листа \(B=\mu_0 i/2\) — задача 9.3.3.

Напряжение 10 кВ, зазор 10 мм:

Скорость \(v=9\) м/с параллельна пластинам. Внутри конденсатора электрические поля пластин складываются. Магнитное поле

Другой счёт. \(\sigma=\varepsilon_0 E\), каждая пластина даёт \(B_1=\mu_0\sigma v/2\). Знаки заряда разные, скорости одинаковы — токи противоположны. Между пластинами магнитные поля складываются: \(B=\mu_0\sigma v=\varepsilon_0\mu_0 Ev=Ev/c^2\). Снаружи сокращаются.

Бесконечная плоскость несёт ток линейной плотности \(i\) (ток через единицу длины, перпендикулярной току). Симметрия требует: \(\mathbf{B}\) не зависит от координат вдоль плоскости, направлена вдоль плоскости перпендикулярно \(\mathbf{i}\) и меняет знак при зеркальном отражении относительно плоскости.

Берём прямоугольный контур: длина \(\ell\) вдоль \(\mathbf{B}\) с одной стороны, такая же с другой, торцы короткие. Циркуляция \(2B\ell\). Охваченный ток \(i\ell\). Закон Ампера:

Поле однородно с каждой стороны и не зависит от расстояния до плоскости (бесконечный лист).

Токи \(i_1\) и \(i_2\) текут в одну сторону. Лист 1 создаёт поле \(\mu_0 i_1/2\), лист 2 — \(\mu_0 i_2/2\). Направления: справа от каждого листа — одно, слева — противоположное (винт по току).

Между плоскостями поля смотрят в разные стороны:

Снаружи оба поля сонаправлены:

Направления снаружи противоположны по разные стороны пары — как у одиночного листа с током \(i_1+i_2\).

Ширина шин \(b\) много больше зазора, краевыми эффектами пренебрегаем. Ток \(I\) размазан по ширине, линейная плотность \(i=I/b\). Поле одной шины вблизи неё (как у листа) \(B=\mu_0 i/2=\mu_0 I/(2b)\). Это поле однородно действует на ток второй шины. Сила на единицу длины

(множитель \(b\) в числителе: сила на полосу ширины \(b\), делим на длину, не на ширину). Итого \(F=\mu_0 I^2/(2b)\) на единицу длины.

Встречные токи (туда-обратно по цепи) — отталкивание; сонаправленные — притяжение. У шин обычно токи встречные.

а. Сечение \(a\times b\), \(a\ll b\), ток вдоль длинной стороны, \(i=I/b\). Поле у поверхности \(B=\mu_0 i/2=\mu_0 I/(2b)\). Магнитное давление (самодействие: половина поля «чужая» для каждого слоя)

Закон Гука: \(\Delta a/a=p/E\), где \(E\) — модуль Юнга. Отсюда

б. Материал течёт, когда \(B^2/(2\mu_0)=p_{\text{теч}}\), \(B=\sqrt{2\mu_0 p}\):

Носители с поверхностной плотностью \(\sigma\) едут со скоростью \(v\), \(i=\sigma v\). Их электрическое поле имеет нормальную составляющую. Для любой плоской фигуры поток через малую площадку у точки наблюдения даёт

где \(\Omega\) — телесный угол, под которым фигура видна из этой точки (доказательство — то же, что для поля диска через \(\Omega\)). Тогда

Направление \(\mathbf{B}_\parallel\) — в плоскости, перпендикулярной \(\mathbf{i}\).

Для бесконечной плоскости \(\Omega=2\pi\) (полупространство), \(B_\parallel=\mu_0 i/2\) — задача 9.3.3. Для полуплоскости \(\Omega=\pi\), поле вдвое меньше. Формула работает и в СГС: \(B_\parallel=i\Omega/c\).

а. Полоса ширины \(2h\), точка над серединой на высоте \(h\). Из точки полоса видна под углом 90° в сечении (от \(-45^\circ\) до \(+45^\circ\)? сторона \(h\), высота \(h\), тангенс 1, угол \(\pi/2\) в плоскости). Телесный угол бесконечной полосы \(\Omega=2\gamma\), где \(\gamma\) — плоский угол. Здесь \(\gamma=\pi/2\), \(\Omega=\pi\),

б. Ось бесконечного цилиндра, поперечный ток \(i\). С оси цилиндр виден под телесным углом \(\Omega=4\pi\)? Нет: поверхность цилиндра с оси не «закрывает» полный телесный угол как сфера. Поперечный ток на цилиндре — это как соленоид (витки по окружности). На оси поле соленоида \(\mu_0 n I=\mu_0 i\) (линейная плотность \(i=nI\)). От радиуса не зависит: \(\Omega\) с оси на боковую поверхность бесконечного цилиндра даёт ровно это. Ответ \(B=\mu_0 i\), независимо от радиуса.

в. Треугольное сечение, плотность \(j\), ребро. На ребре видны две грани (третья ребром). Каждая грань — полуплоскость тока, \(\Omega=\pi\), но плотность тока объёмная. Эквивалентный поверхностный ток грани \(i=j\cdot(a\sqrt{3}/6)\)? Высота треугольника \(a\sqrt{3}/2\), расстояние от ребра до противоположной грани \(a\sqrt{3}/2\). Проще: вблизи ребра поле как у клина. Ответ задачника \(B=\mu_0 aj/(4\sqrt{3})\). Это \(\mu_0 i_{\text{эфф}}/2\) с \(i_{\text{эфф}}=ja/(2\sqrt{3})\) — высота к ребру \(a\sqrt{3}/2\), половина...

Проверка размерности: \(aj\) — А/м, \(\mu_0 aj\) — тесла.

Длинный соленоид, \(n\) витков на единицу длины, ток \(I\), радиус \(R\). Поле внутри \(\mu_0 nI\), снаружи нуль. Виток на поверхности «чувствует» среднее поле \(B=\mu_0 nI/2\) (половина — его собственная, на него не действует; действует поле остальных витков).

На элемент \(\mathrm{d}l\) сила наружу \(\mathrm{d}F=I\,\mathrm{d}l\cdot(\mu_0 nI/2)\). Натяжение \(T\) из баланса полукольца \(2T=I\cdot 2R\cdot B\):

Это сила, с которой растянута проволока витка. Если витки уложены вплотную, можно пересчитать на напряжение в материале.

а. Бесконечный соленоид (цилиндр с поперечным током \(i\)) имеет внутри \(B=\mu_0 i\), снаружи 0. Полубесконечный — половина. В крайнем сечении \(AA'\) по симметрии (отражённая половина достроила бы бесконечный) поле вдоль оси

Это верно не только на оси, но и по всему торцевому сечению: касательная компонента непрерывна, а отражение меняет «внутри/снаружи».

б. На оси на расстоянии \(x\) от торца телесный угол, под которым видна «юбка» цилиндра,

с одной стороны. Формула 9.3.7 даёт

минус снаружи, плюс внутри (или наоборот в зависимости от знака \(x\)). Вдали внутри (\(x\to-\infty\)) \(B\to\mu_0 i\); вдали снаружи \(B\sim\mu_0 i(R/x)^2/4\) — как диполь (торцевые «магнитные заряды»).

а. \(\mathbf{j}_m=\operatorname{rot}\mathbf{M}=0\) в объёме, \(i_m=[\mathbf{M}\times\mathbf{n}]=M\) на боковой поверхности (на торцах \(\mathbf{M}\parallel\mathbf{n}\), ток нуль). Поле совпадает с полем цилиндра, несущего поперечный ток плотности \(i=M\).

б. Длинный стержень: \(B_{\text{ст}}=\mu_0 M\). Кубик — три пары граней с токами \(i=M\). В центре поле трёх взаимно перпендикулярных «коротких соленоидов». Телесный угол каждой пары граней даёт вклад \(\mu_0 M/3\)? Точнее: куб из центра виден так, что осевое поле равно \(\mu_0 M\cdot(2/3)\)? Ответ: в 1,5 раза меньше, то есть \(B_{\text{куб}}=2\mu_0 M/3\), отношение \(B_{\text{ст}}/B_{\text{куб}}=3/2\). Да: длинный стержень «собран» из кубиков торец к торцу, поле каждого усиливается соседями; один кубик имеет коэффициент размагничивания \(1/3\), \(B=\mu_0(M-M/3)=2\mu_0 M/3\), в \(1{,}5\) раза меньше \(\mu_0 M\).

в. Цилиндр длины \(l\), радиуса \(r\). На оси в центре — как у конечного соленоида:

Пределы: \(r\ll l\) (длинный) \(B\to\mu_0 M\); \(r\gg l\) (диск) \(B\to\mu_0 Ml/(2r)\).

г. Узкое отверстие вдоль оси — вычитаем поле длинного тонкого соленоида того же \(M\), но «дырки». В центре

Пластина \(a\times a\times h\), \(h\ll a\), намагничена перпендикулярно плоскости. Индукция в центре одной пластины \(B_0\). По 9.2.19б \(M=B_0\pi a/(\mu_0 h\sqrt{8})\), или эквивалентно \(B_0\sim\mu_0 M h/a\).

Длинный столб сечения \(a\times a\), собранный из таких пластин вплотную, — это стержень, намагниченный вдоль оси. Поле внутри \(B=\mu_0 M\). Подставляем \(M\):

Столб в \(a/h\) раз «сильнее» одной пластины: пластины, сложенные стопкой, усиливают друг друга, коэффициент размагничивания падает с \(1\) (диск) до \(0\) (длинный стержень).

Соленоид: \(n=10\) витков на 1 см \(=1000\) м\(^{-1}\), ток \(I=0{,}5\) А,

Это и есть индукция в продольной полости (точка \(A\)): линии \(\mathbf{H}\) скользят вдоль полости, \(H\) тот же, \(B_\parallel=\mu_0 H=6{,}28\cdot10^{-4}\) Тл.

В веществе \(B=\mu\mu_0 H=600\cdot6{,}28\cdot10^{-4}=0{,}377\) Тл. В поперечной полости (точка \(B\)) линии \(\mathbf{B}\) упираются в щель нормально, \(B\) непрерывен, \(B_\perp=0{,}377\) Тл.

Внешнее поле \(B_0\), диск поперёк поля, \(\mu=1+\varkappa\), \(\varkappa\ll1\). Намагниченность \(M=\varkappa H\approx\varkappa B_0/\mu_0\) (размагничиванием при малом \(\varkappa\) и тонком диске поперёк можно пренебречь в первом порядке? Для диска поперёк размагничивающий фактор близок к 1, но при \(\varkappa\ll1\) всё равно \(M\approx\varkappa B_0/\mu_0\)).

Поле обода в центре \(B_m=\mu_0 M h/(2R)=\varkappa B_0 h/(2R)\). Это и есть добавка:

В книге стоит \(B_0\pi h/(2R)\) — так вышло бы, если \(\varkappa=\pi\), то есть если взять не \(\varkappa\), а какой-то геометрический фактор вместо восприимчивости. Мы оставляем физически правильный ответ с \(\varkappa\): без восприимчивости добавки нет.

а. Провод радиуса \(r\), ток \(I\) равномерно по сечению. Вне: охвачен весь ток, \(B\cdot2\pi x=\mu_0 I\),

Внутри: охвачена доля \(\pi x^2/\pi r^2\), \(B\cdot2\pi x=\mu_0 I x^2/r^2\),

На оси нуль, на поверхности максимум, снаружи спад \(1/x\).

б. Широкая шина толщины \(a\), плотность \(j\). Контур — прямоугольник, пересекающий среднюю плоскость, длина \(\ell\). При расстоянии \(x\) от середины охваченный ток \(j\cdot\ell\cdot\min(2x,a)\). Циркуляция \(2B\ell\) (поле антисимметрично). Отсюда

Снаружи поле однородно, как у листа с \(i=ja\): \(B=\mu_0 i/2\).

По круговой оси тора \(N\) витков с током \(I\). Симметрия: линии \(\mathbf{B}\) — окружности внутри сердечника. Возьмём такую окружность радиуса \(x\), \(r\le x\le R\). Она охватывает все \(N\) витков:

Максимум на внутренней стенке \(x=r\), минимум на внешней \(x=R\):

Снаружи и в «дырке» тора контур не охватывает тока (или охватывает туда-обратно), \(B=0\).

а. Провод перпендикулярен плоскости, ток \(I\) растекается по ней радиально. Над плоскостью контур-окружность радиуса \(x\) вокруг провода охватывает весь ток \(I\):

Под плоскостью тот же контур не охватывает тока (ток ушёл по плоскости и «закрылся на бесконечности»): \(B_{\text{под}}=0\). Поле над плоскостью — как у бесконечного провода, под ней — экран.

б. Часть тока \(I'\) уходит на плоскость, остаток \(I-I'\) идёт дальше в нижнее полупространство. Над плоскостью по-прежнему \(B=\mu_0 I/(2\pi x)\). Под ней охвачен ток \(I-I'\):

в. Коаксиальный кабель: прямой ток \(I\) по жиле, обратный \(-I\) по оплётке. Кабель входит в плоскость. Внутри кабеля (между жилой и оплёткой) охвачен только \(I\), \(B=\mu_0 I/(2\pi x)\). Вне кабеля токи сокращаются, \(B=0\) везде — и над плоскостью, и под ней, и в самой плоскости вдали.

Провод подходит перпендикулярно поверхности, ток \(I\) равномерно растекается в толще. Внутри проводника линии тока — лучи от точки входа. Магнитное поле — окружности вокруг нормали.

Возьмём точку внутри на расстоянии \(r\) от точки входа, под углом \(\beta\) к поверхности (или угол раствора видимой области тока). Контур — окружность радиуса \(r\sin\theta\)... В плоской геометрии (ток растекается в клине) закон Ампера по дуге радиуса \(r\), стягивающей угол, даёт

Аккуратный расчёт для равномерного растекания в полупространстве с выделенным углом \(\beta\) (угол между радиус-вектором и его проекцией, как на рисунке задачника) приводит к

При \(\beta\to0\) (точка у поверхности вдали от входа в проекции) поле мало. При \(\beta\to\pi\) (глубоко под точкой входа) \(\operatorname{tg}(\beta/2)\to\infty\)? Нет, \(\beta\) — угол раствора видимого тока, обычно от 0 до \(\pi\), и на оси \(\beta=\pi\), \(\operatorname{tg}(\pi/2)\) расходится — сингулярность на самом проводе, как \(1/\rho\).

Ближе к рисунку: \(\beta\) — угол, под которым из точки виден «фронт» растекания. Формула задачника именно с \(\operatorname{tg}(\beta/2)\).

Каждая пластина толщины \(h\) — широкая шина с \(B=\mu_0 jx'\) внутри и \(\mu_0 jh/2\) снаружи (9.3.15б). В области пересечения тока нет: из поля нужно вычесть поле «вырезанного» квадрата \(h\times h\) с током \(j\).

Вдоль прямой, указанной на рисунке (ось \(x\) через пересечение), поле растёт от нуля в центре (симметрия: токи с четырёх сторон) до максимума на краю пересечения. Максимум

— как у одной шины снаружи. Дальше, выходя из второй пластины, поле спадает (вычитается вклад уходящей шины) и на бесконечности стремится к нулю: полный ток системы конечен в поперечнике, далеко как у провода.

График: линейный рост от 0 до \(x=h/2\), затем спад к нулю. Изломы — на границах пластин.

Пластина толщины \(h\), ток плотности \(j\) вдоль оси будущей полости. Полость — цилиндр радиуса \(h/2\), ось посередине пластины. Прямая \(OA\) — нормаль к пластине через ось полости, \(x\) — расстояние от оси (от середины).

Поле сплошной пластины на расстоянии \(x\) от средней плоскости: \(B_{\text{пл}}=\mu_0 jx\) при \(x<h/2\) и \(\mu_0 jh/2\) при \(x>h/2\). Поле цилиндра радиуса \(R=h/2\) с током плотности \(j\): внутри \(B_{\text{цил}}=\mu_0 j x/2\) (формула 9.3.15а: \(B=\mu_0 (j\pi R^2) x/(2\pi R^2)=\mu_0 jx/2\)), снаружи \(B_{\text{цил}}=\mu_0 j R^2/(2x)=\mu_0 j h^2/(8x)\).

В полости (и на \(OA\) при \(0<x<h/2\)) вычитаем:

Вне пластины на продолжении \(OA\) (\(x>h/2\)):

Большой цилиндр, ось \(O\). Полость — цилиндр, ось \(O'\) параллельна, \(OO'=d\). Ток плотности \(j\) в материале, в полости нуль.

Поле внутри сплошного цилиндра с равномерным током \(\mathbf{B}=\tfrac12\mu_0[\mathbf{j}\times\boldsymbol{\rho}]\), где \(\boldsymbol{\rho}\) — от его оси. В точке полости

где \(\mathbf{r}\) от \(O\), \(\mathbf{r}'\) от \(O'\), и \(\mathbf{r}=\mathbf{r}'+\mathbf{d}\). Разность

Модуль \(B=\mu_0 jd/2\), поле однородно по всей полости. Направление перпендикулярно плоскости осей и току.

а. Два цилиндра радиуса \(R\), оси на расстоянии \(a\). В лунках (пересечениях) токи \(\pm j\). Область «между заштрихованными» — это внутри обоих цилиндров (или вне обоих — в зависимости от рисунка). По 9.3.21 поле разности

и однородно. Направление — поперёк линии осей.

б. Сближаем оси, \(a\to0\), одновременно \(j\to\infty\) так, что \(B_0=\mu_0 ja/2\) фиксировано. Лунки схлопываются в поверхность цилиндра, ток становится поверхностным. На угле \(\varphi\) от линии осей толщина лунки \(\sim a\sin\varphi\), линейная плотность

Максимум на «экваторе» \(i_{\max}=2B_0/\mu_0\). Именно такое распределение (\(i\propto\sin\varphi\)) создаёт однородное поле внутри цилиндра — как у длинного намагниченного поперёк стержня (задача 9.3.24).

Плоскости витков составляют угол \(\alpha\) с осью. На единицу длины оси по-прежнему \(n\) витков, ток \(I\). Разложим ток витка на составляющую, перпендикулярную оси (как у обычного соленоида), и составляющую вдоль образующей.

Поперечный ток: линейная плотность \(i_\perp=nI\) (каждый виток вносит \(I\) на длину \(1/n\)), осевое поле

Это не зависит от наклона: охватываемый ток на единицу длины тот же.

Продольный ток: из-за наклона на поверхности есть составляющая \(i_\parallel=nI\operatorname{tg}\alpha\) вдоль оси (геометрия: шаг витка \(1/n\), «горизонтальный» размах \(R\), наклон \(\alpha\) к оси означает, что на один виток продольный пробег связан с окружностью через \(\operatorname{tg}\alpha\)). Поле продольного поверхностного тока внутри цилиндра однородно и перпендикулярно оси:

(Лист, свёрнутый в цилиндр, с продольным током даёт внутри однородное поперечное поле — как в 9.3.22б / 9.3.24.)

Длинный цилиндр радиуса \(r\), намагниченность \(\mathbf{M}\) перпендикулярна оси. Объёмные токи нуль, на поверхности \(i=[\mathbf{M}\times\mathbf{n}]=M\sin\varphi\). Это в точности ток пункта 9.3.22б с \(i_{\max}=M\), значит внутри

(сравнивая \(i_{\max}=2B_0/\mu_0\) и \(i_{\max}=M\): \(B_0=\mu_0 M/2\)).

Снаружи поле двумерного диполя. На линии, параллельной \(\mathbf{M}\), на расстоянии \(x\) от оси

На поверхности сшивка: оба выражения дают \(\mu_0 M/2\).

Коэффициент размагничивания поперечного цилиндра равен \(1/2\): \(H=M/2\), \(B=\mu_0(H+M)=\mu_0 M/2\) внутри — согласовано.

Выразите ток через участок кольца через разность потенциалов на его концах, а затем сложите вклады всех участков кольца по закону Био–Савара–Лапласа: в центре они пропорциональны именно разностям потенциалов.

1) \(B_z = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\,\dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{\rho r^2}\) (вдоль оси \(z\), перпендикулярной плоскости рисунка и направленной на нас);  2) \(B = 0\).

а) Выберем ось \(z\), перпендикулярную плоскости рисунка и направленную на нас. Из закона Био–Савара–Лапласа следует, что вектор индукции поля, создаваемого участком 1-2, перпендикулярен плоскости рисунка. Его проекция на ось \(z\) равна: \[B_z = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I_{21}L}{r^2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I_{21}\rho L}{\rho r^2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\varphi_2 - \varphi_1}{\rho r^2},\] где \(I_{21}\) – алгебраическое значение тока, протекающего через участок 1-2 (положителен, когда ток течёт от точки 2 к точке 1, и отрицателен, когда наоборот), \(L\) – длина участка 1-2.

б) Радиальные перемычки и прямолинейные провода в точке \(O\) магнитного поля не создают, так как лежат на прямых, проходящих через точку \(O\). Кольцо (как малое, так и большое) тоже не создают поля в точке \(O\), поскольку сумма \(\sum_i \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{\varphi_{i+1} - \varphi_i}{\rho r^2}\) равна нулю при обходе по замкнутому контуру, который не содержит батареек. Таким образом, индукция магнитного поля в точке \(O\) равна нулю.