Метод виртуальных перемещений

На фотографии из «Википедии» вы видите домкрат, используемый для подъема тяжелых грузов. В проушину на конце винта вставляют металлический стержень длиной 30 см, с помощью которого вращают винт. Мы хотим, используя домкрат, приподнять автомобиль массой 1200 кг, так, чтобы два колеса не касались земли. Известно, что подходящая для подъёма автомобиля высота домкрата 20 см равна расстоянию между шарнирами, в которых закрепляется винт. Общая длина винта 50 см, на ней укладывается 100 витков резьбы.

1. С какой минимальной силой необходимо вращать стержень, вставленный в проушину, чтобы приподнять автомобиль? Ответ выразите в Н, округлите до целого числа.

2. Во сколько раз увеличится минимальная сила, если шаг резьбы увеличить вдвое? Ответ округлите до целого числа.

Механизм, при помощи которого производится подъём откидных ворот гаража, изображён на рисунке ниже, при этом ворота \(ABC\) находятся в вертикальном положении (закрыты). Прикладывая силу к ручке, расположенной у нижнего края ворот в т. \(A\), можно перевести ворота в горизонтальное положение (открыть). При подъёме ворот ролик \(C\), закреплённый на их верхнем крае, движется по горизонтальным направляющим. В т. \(B\) (\(AB = BC = L\)) ворота шарнирно соединены с коромыслом, которое может вращаться вокруг неподвижной оси \(O\). На другом конце коромысла находится груз массой \(m = 25\) кг. Ворота можно считать тонкой однородной пластиной массой \(M = 30\) кг. Массой коромысла и ролика, любыми видами трения, а также линейными размерами ролика и диска можно пренебречь. Размеры, указанные на рисунке, равны: \(L = 92\) см, \(h = 65\) см. В верхнем положении ворота фиксируются защёлкой.

A. A1) Какую силу \(F_1\), перпендикулярную воротам, необходимо прикладывать к ручке, чтобы удерживать ворота неподвижно при горизонтальном положении коромысла?

A2) Какую минимальную (!) силу \(F_2\) необходимо прикладывать к ручке, чтобы ворота оставались неподвижными при горизонтальном положении коромысла?

B. Пусть при очень медленном подъёме ворот из начального вертикального положения в конечное горизонтальное к ручке в каждый момент времени прикладывается минимальная необходимая для подъёма сила. Чему равно максимальное значение \(F_{\max}\) этой минимальной силы? Иначе говоря, каких минимальных мускульных усилий потребует от человека подъём ворот?

C. Если в верхнем положении открыть защёлку, то ворота начнут двигаться вниз, а коромысло — поворачиваться. Определите скорость груза в момент, когда ворота коснутся земли.

Из листа бумаги в форме сектора круга свернули конус массы \(m\) с углом раствора \(2\alpha\). Конус помещают на горизонтальную поверхность стола, прогибания бумаги не происходит. Трение между бумагой и столом отсутствует. Чтобы под действием силы тяжести конус не развалился, к краям бумаги, расположенным на линии разреза, прикладывают пару сил величиной \(F\), направленных по касательной к окружности основания конуса (см. рисунок). Распределение массы по листу считайте однородным. Пренебрегая всеми эффектами, связанными с изгибом, найдите значение силы \(F\).

Жёсткие стержни одинаковой длины \(l = 10\) см, соединённые шарнирами, образуют конструкцию \(ABCD\) в виде ромба. Шарнир \(A\) закреплён на стене, к шарниру \(C\) присоединён груз массой 1 кг (см. рисунок). Шарниры \(B\) и \(D\) связаны пружиной жёсткостью 100 Н/м, при этом длина недеформированной пружины в 1,2 раза больше длины стержня. К шарниру \(C\) прикладывают силу \(F = 10\) Н, направленную вдоль диагонали \(AC\). Найдите величину ускорения груза в момент, когда длина диагонали \(BD\) станет в \(\sqrt2\) раз больше длины стержня. Конструкция находится в невесомости. Массами стержней и шарниров, трением в шарнирах, а также их размерами можно пренебречь. Ответ выразите в м/с\(^2\), округлите до целого.

Шарнирная конструкция состоит из очень большого числа \(N\) периодически повторяющихся одинаковых звеньев (см. рис.). Каждое звено включает в себя пружину, концы которой прикреплены к серединам двух пар скрещенных реек, два сферических шарнирных блока и четыре половинки самих реек. Шарнирные блоки дают возможность рейкам свободно вращаться в пространстве. Жёсткость каждой из пружин равна \(k\), масса каждого из шарнирных блоков равна \(m\), все остальные элементы невесомы, трения нигде нет. Когда пружины не деформированы, рейки образуют между собой угол \(\alpha\). Концы этой конструкции соединили между собой, образовав большое кольцо, так, что пружины расположились вокруг цилиндрической поверхности. Получившаяся система колеблется таким образом, что в каждый момент времени все пружины сжаты или растянуты одинаково. Найдите период этих колебаний вокруг положения равновесия, считая их малыми. Система находится в невесомости.