Раскрученный обруч
6/10Вращающийся с угловой скоростью 4 рад/с обруч радиусом 25 см поставили на горизонтальную шероховатую поверхность. Определите величину скорости центра обруча после того, как прекратилось проскальзывание. В начальный момент эта скорость была равна нулю. Выразите ответ в м/с и округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила трения действует и на поступательное, и на вращательное движение обруча. Какая величина сохраняется относительно точки касания с поверхностью?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(0{,}5\) м/с.
Труба с верёвкой на наклонной плоскости
7/10С наклонной плоскости без проскальзывания скатывается тонкостенная труба, наматывая на себя сверху лёгкую и тонкую верёвку, которую можно считать нерастяжимой. Свободный конец верёвки прикреплён к бруску, лежащему на плоскости выше трубы. Масса трубы \(M\), масса бруска \(M/2\). Ось трубы горизонтальна, свободный участок верёвки параллелен наклонной плоскости и перпендикулярен оси трубы. Плоскость составляет с горизонтом угол \(\alpha = 30^\circ\). Ускорение, с которым поступательно движется брусок вслед за трубой, равно \(0{,}3g\). Чему равен коэффициент трения \(\mu\) между бруском и плоскостью?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВерёвка наматывается сверху на катящуюся трубу: как связаны скорости и ускорения бруска и оси трубы? Удобно записать закон изменения механической энергии, помня про энергию катящейся тонкостенной трубы.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(\mu = \dfrac{4\sqrt 3}{15} \approx 0{,}46\).
Полый шар скатывается с клина
6/10Момент инерции шара с центральной полостью по плотности и радиусам; по ускорению центра масс найти силу трения и реакцию на клин, затем силу, действующую на упор в стенке.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Обруч катится по внутренней поверхности цилиндра
6/10При качении обруча внутри цилиндра энергия поступательного и вращательного движения равна mv²; центростремительное ускорение центра максимально внизу и минимально вверху, из их отношения находится максимум.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Четырёхколёсная тележка на клине
6/10Тележка с массивными ободами катится по клину без проскальзывания: ускорение с учётом момента инерции колёс, сила трения о плоскость на клин и условие его покоя (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Труба на наклонной плоскости и нить
6/10Труба на плоскости удерживается горизонтальной нитью, затем скатывается без проскальзывания; сила трения на клин зависит от угла и максимальна при определённом угле (варианты 5–6).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Цилиндр на наклонной плоскости
7/10Вращающаяся труба отпущена на гладком участке наклонной плоскости и попадает на шероховатый: проскальзывание, затем качение, подъём обратно; подбирается угол наклона для минимального времени возврата и условие на начальную угловую скорость.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два цилиндра
7/10Лёгкий цилиндр с грузиком катится без проскальзывания внутри большего; найти ускорение и скорость тела в разных положениях, минимальный коэффициент трения для качения и скорость в момент начала проскальзывания (динамика качения, энергия).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Обруч: проскальзывание и качение
7/10Из первого опыта находят начальную скорость и μ, во втором обруч стоит вертикально и скользит; сумма V+ωR сохраняется, по моменту перехода в качение находят число оборотов. (варианты с разными числами)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шайба и бочка с водой на наклонной плоскости
7/10Из графика скорости шайбы со столкновением находят угол наклона; затем тонкостенная бочка, полностью заполненная идеальной жидкостью, скатывается без проскальзывания — скорость, ускорение и условие на μ (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шайба и обруч на наклонной плоскости
7/10Из графика движения шайбы находят ускорение, затем обруч скатывается и упруго ударяется о стенку, дальше скользит с известным угловым ускорением; найти скорость, перемещение и время (варианты 5–6).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Хула-хуп с проскальзыванием
7/10«Игра с хула-хупом». «Хула-хуп» — это обруч, который девушки крутят на талии, а спортсменки проделывают с ним и другие «фокусы». Например, закручивают его в вертикальной плоскости и толкают от себя по горизонтали, после чего вращающийся обруч, проскальзывая по полу, отъезжает от них на некоторое расстояние и возвращается обратно.
Сформулируем задачу так: обруч радиусом \(R\) в момент толчка (см. рисунок) закручен вокруг горизонтальной оси до угловой скорости \(\omega_0\), и ему придали скорость \(\vec V_0\), направленную вдоль пола перпендикулярно оси вращения. Коэффициент трения обруча об пол равен \(\mu\).
На какое максимальное расстояние в направлении скорости \(\vec V_0\) обруч удалится от начальной точки?
Какова будет его угловая скорость в момент остановки?
С какой скоростью он будет катиться после окончания проскальзывания по полу?
Как связаны \(V_0\) и \(\omega_0\), если проскальзывание прекращается в момент возврата в исходную точку?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПока есть проскальзывание, сила трения постоянна и направлена против скорости точки касания. Запишите уравнения для движения центра и для вращения; проскальзывание кончается, когда \(V = \omega R\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(S_{\max} = \dfrac{V_0^2}{2\mu g}\); 2) \(\omega_1 = \omega_0 - V_0/R\), при этом должно быть \(V_0 < \omega_0 R\); 3) \(V_{\text{к}} = \dfrac{\omega_0 R - V_0}{2} > 0\), так как \(V_0 < \omega_0 R\); 4) \(V_0 = \dfrac{\omega_0 R}{3}\).
Колебания шариков на стержне и цилиндре
7/10Два маленьких шарика массами \(m_1\) и \(m_2\) закреплены на концах тонкого жесткого очень легкого стержня длиной \(L\). Этот стержень покоится на поверхности шероховатого горизонтального неподвижно закрепленного цилиндра радиусом \(R\). В положении равновесия стержень горизонтален и перпендикулярен оси цилиндра (на рисунке показан вид со стороны торца цилиндра). Стержень поворачивают на малый угол таким образом, что он движется относительно цилиндра без проскальзывания, и отпускают. После этого начинаются колебания, в процессе которых стержень катается по поверхности цилиндра также без проскальзывания, а шарики движутся в плоскости рисунка. Чему равен период этих колебаний? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите положение центра масс шариков и то, как меняется его высота при отклонении на малый угол; для малых колебаний кинетическая энергия не зависит от угла, а потенциальная квадратична по нему.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(T = \dfrac{2\pi}{\Omega} = \dfrac{2\pi L}{m_1 + m_2}\sqrt{\dfrac{m_1 m_2}{g R}}\).
Малые колебания груза и обруча
7/10Найти собственную частоту малых колебаний груза \(m\) в системе, изображённой на рисунке. Обруч \(M\) катается без проскальзывания, массой спиц по сравнению с массой обруча пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСвяжите смещение груза со смещением верхней точки обруча, к которой прикреплена пружина, и запишите полную энергию системы через скорость груза.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(\omega_0 = \sqrt{\dfrac{4k}{m + 2M}}\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПусть груз массой \(m\) отклонился от положения равновесия на \(x\) вниз. Тогда деформация пружины равна \(2x\), так как обруч движется без проскальзывания. Полная энергия системы равна: \[E = -mgx + \frac{m\dot x^2}{2} + M\dot x^2 + 4\,\frac{kx^2}{2} = \text{const}.\] Продифференцировав это выражение по времени, получаем: \[-mg\dot x + m\dot x\ddot x + 2M\dot x\ddot x + 4kx\dot x = 0 \;\Longrightarrow\; \ddot x + \frac{4k}{m + 2M}\left(x - \frac{mg}{4k}\right) = 0.\] Окончательно получаем: \[\omega_0^2 = \frac{4k}{m + 2M}.\]
Цилиндр с нитью на наклонной плоскости
6/10Цилиндр катится без проскальзывания; он поедет вверх, если момент силы натяжения нити (T = mg) относительно линии касания превосходит момент силы тяжести цилиндра: условие на угол наклона.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Цилиндр с нитью на наклонной плоскости
6/10Цилиндр массой 4m на наклонной плоскости; он поднимается, если момент силы натяжения нити с грузом m относительно линии контакта превосходит момент силы тяжести цилиндра, откуда критический угол.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Бильярдные шары у центральных луз
6/10Два шара у луз: упругое столкновение одинаковых шаров обменивает скоростями, а вращение (накат или оттяжка) определяет, идёт ли ударный шар после столкновения вперёд или назад; объяснить удар.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Малые колебания обруча с грузом
6/10Обруч с точечным грузом на внутренней стороне катается без проскальзывания; малые колебания около равновесия: энергия через мгновенную ось качения и момент инерции обруча даёт эффективный момент инерции и период.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Колебания кольца
6/10Кольцо с грузом на ободе катится без проскальзывания; период малых колебаний через энергию с моментом инерции относительно точки касания зависит от M/m, измерить период для набора грузов, линеаризовать и найти массу кольца.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Брусок и цилиндр на клине
6/10Брусок скользит, а цилиндр скатывается без проскальзывания по двум граням неподвижного клина; из ускорений находят силы трения, а трение клина о стол — из закона движения центра масс системы (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.