Распад и рассеяние частиц

Куда «полетит» центр масс осколков, пока нет внешних сил, кроме тяжести? Где он находится в тот момент, когда осколки оказались на одной вертикали?

\(s = \dfrac{3}{4}\,\dfrac{v_0^2 \sin^2\alpha}{g}\), при заданных числах \(s = 360\) м; горизонтальные составляющие скоростей осколков после разрыва одинаковы: \(v_{1x} = v_{2x} = v_0\cos\alpha = 40\) м/с.

Центр масс двух осколков «полетит» по той же параболической траектории, по которой двигался снаряд при первом выстреле: его ускорение по теореме о движении центра масс определяется суммой всех сил тяжести, приложенных к осколкам, и общей их массой, т. е. тем же уравнением, что и движение целого снаряда. Как только первый осколок ударится о землю, к внешним силам "— силам тяжести "— добавится сила реакции земли, и движение центра масс исказится. Но в нашем случае необходимо найти расстояние \(s\) между двумя осколками к моменту падения первого осколка, когда второй находился строго над ним, а это означает, что осколки и центр масс будут лежать на одной вертикали. К этому моменту центр масс системы находится на расстоянии \(L/2\) от пушки и на высоте \[H = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g} = 240\text{ м}.\] Значит, расстояние между двумя осколками к моменту падения первого осколка равно \[s = \frac{3}{2}H = \frac{3}{2}\cdot\frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g} = 360\text{ м}.\]

Так как второй осколок к моменту падения первого находился строго над ним, следовательно, горизонтальные составляющие скорости осколков после разрыва снаряда равны: \(v_0\cos\alpha = 40\) м/с.

Продлите назад отрезки перемещений: скорости известны с точностью до общего множителя \(1/\tau\), значит, места распадов лежат на пересечении линий движения. При распаде на две равные массы \(C\) и \(D\) импульс сохраняется.

Гипотеза верна; второй распад произошёл позже первого на время \(2\tau\).

Перейдите в систему центра масс: там суммарный импульс равен нулю, а скорость лёгкого ядра после удара фиксирована по модулю, но произвольна по направлению. Как сложить её со скоростью центра масс, чтобы угол был наибольшим?

1) \(v/u_2' \approx 2\) (точно \(7/3\));  2) \(\beta_{\max} = 30^\circ\).

1) Пусть \(v\) — скорость тяжёлого ядра до столкновения, тогда скорость центра масс равна \(V = \dfrac{6v}{7}\). Энергия центра масс равна \(\dfrac{7mV^2}{2} = \dfrac{7mv^2\cdot 36}{2\cdot 49} = \dfrac{18}{7}mv^2\), она не меняется в процессе столкновения. Суммарная энергия ядер в системе центра масс до столкновения равна \(\dfrac{3mv^2}{7}\). После столкновения суммарная энергия ядер становится равна \[T'_\Sigma = \frac{3mv^2}{7} - \frac{9mv^2}{28} = \frac{3mv^2}{28}.\] В системе центра масс суммарный импульс ядер равен нулю, следовательно, модули импульсов равны, поэтому отношение кинетических энергий ядер после столкновения равно обратному отношению их масс: \[\frac{T'_2}{T'_1} = \frac{(p'_2)^2}{2m_2} : \frac{(p'_1)^2}{2m_1} = \frac{m_1}{m_2} = 6.\] Таким образом, кинетическая энергия лёгкого ядра после столкновения в системе центра масс равна \(T'_2 = \dfrac{6}{7}T'_\Sigma = \dfrac{18mv^2}{14^2}\), а искомая скорость лёгкого ядра после столкновения равна \(u'_2 = \sqrt{\dfrac{2T'_2}{m}} = \dfrac{3v}{7}\). Она в \(\dfrac{7}{3}\) раз меньше \(v\). Округляя, получаем ответ: \(\dfrac{v}{u'_2} \approx 2\).

2) Скорость лёгкого ядра после столкновения в лабораторной системе равна векторной сумме \(\vec v'_2 = \vec V + \vec u'_2\). В треугольнике скоростей, соответствующем этому равенству, длины двух сторон \(V\) и \(u'_2\) фиксированы, а значения длины третьей стороны и углов могут быть различными. Максимальному углу вылета соответствует треугольник с прямым углом между сторонами \(v'_2\) и \(u'_2\). В этом случае \(\sin\beta_{\max} = \dfrac{u'_2}{V} = \dfrac{1}{2}\). Иначе говоря, \(\beta_{\max} = \arcsin\dfrac{1}{2} = 30^\circ\).

Запишите законы сохранения импульса и энергии (с учётом \(E_0\)). Во втором пункте удобно изобразить импульсы частиц векторным треугольником.

a) столбец 5;  b) столбец 4.

Запишите законы сохранения импульса и энергии с учётом \(E_0\). Во втором пункте угол между скоростями связан с квадратом скорости налетающей частицы после удара через теорему косинусов для треугольника импульсов.

1) 5;  2) 4.