Плотность кислорода
5/10В сосуде содержится кислород при давлении \(90\) кПа. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы кислорода в сосуде равна \(6\cdot 10^{-21}\) Дж. Считая кислород идеальным газом, определите его плотность. Молярная масса кислорода равна \(32\) г/моль, число Авогадро \(6\cdot 10^{23}\) моль\(^{-1}\). Универсальную газовую постоянную считайте равной \(8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К). Ответ представьте в кг/м\(^3\) и округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСредняя энергия поступательного движения молекулы даёт температуру газа; затем используйте уравнение Менделеева — Клапейрона.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(1{,}2\) кг/м\(^3\)
Удары о стену
6/10Оцените число молекул воздуха, попадающих на 1 см² стены вашей комнаты за 1 с, и импульс, переданный ими стене.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеВ этом параграфе всюду считается, что газ сильно разрежен: длина свободного пробега молекул много больше размеров системы. Молекулы, уходящие с поверхности твёрдого тела, имеют среднеквадратичную скорость, соответствующую температуре этого тела.Идея Поток на стенку \(\nu = \tfrac14 n\bar v\) — стандартная формула. А переданный за секунду импульс — это просто сила, то есть давление на площадь.Число ударов. \(n = 2{,}5\cdot10^{25}\) м⁻³, \(\bar v = 460\) м/с:
\[ \nu = \frac14\,n\bar v = 0{,}25\cdot2{,}5\cdot10^{25}\cdot460 \approx 2{,}9\cdot10^{27}\ \frac{1}{\text{м}^2\text{с}}, \] \[ \boxed{\nu \approx 3\cdot10^{23}\ \text{с}^{-1}\text{см}^{-2}\sim10^{24}} \]Импульс за секунду — это сила:
\[ \frac{\Delta p}{\Delta t} = P\,A = 10^5\cdot10^{-4} = \boxed{10\ \text{Н}} \]Проверка. На квадратный сантиметр — килограмм силы ✓, знакомое «атмосферное давление». Импульс одного удара \(\sim 2m\bar v = 2\cdot4{,}8\cdot10^{-26}\cdot460 = 4{,}4\cdot10^{-23}\) Н·с; умножив на \(3\cdot10^{23}\), получаем \(\approx13\) Н ✓ — сходится с точностью до множителя порядка единицы. Никакого «дребезга» стена не чувствует ✓ — удары настолько часты, что их флуктуации ничтожны.Ответ \(\nu\sim10^{24}\) с⁻¹см⁻², импульс за секунду \(\approx10\) Н.Поглощающая стенка
6/10Во сколько раз изменится давление газа, если \(k\)-я часть молекул, ударяющихся о стенку, вдруг начнёт поглощаться ею?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Отражённая молекула передаёт стенке импульс \(2mv_z\) (пришла и ушла), поглощённая — только \(mv_z\). Значит поглощение вдвое «слабее».\[ \frac{P'}{P} = \frac{(1-k)\cdot2 + k\cdot1}{2} = 1-\frac k2. \] \[ \boxed{P' = P\left(1-\frac k2\right)} \]Проверка. При \(k=0\) ничего не меняется ✓; при \(k=1\) (все молекулы поглощаются) давление падает вдвое ✓ — ровно как реактивная сила при истечении в вакуум (задача 5.4.6). Давление уменьшается ✓ — логично, стенка перестаёт «отталкивать». Речь идёт о мгновенном изменении ✓: дальше газ начнёт убывать, и давление будет падать уже по другой причине.Ответ Уменьшится в \(1/(1-k/2)\) раз, то есть \(P'=P(1-k/2)\).Сопротивление быстрого шара
6/10В разреженном газе с постоянной скоростью \(v\) движется шар радиуса \(r\). Число молекул в единице объёма \(n\), масса молекулы \(m\), тепловые скорости молекул значительно меньше скорости шара. Оцените силу сопротивления.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Молекулы можно считать неподвижными. Шар «выметает» цилиндр сечением \(\pi r^2\) и сообщает каждой встреченной молекуле скорость порядка \(v\).\[ \text{за } \Delta t:\quad \Delta N = n\,\pi r^2\,v\,\Delta t, \qquad \Delta p = \Delta N\cdot m v, \] \[ \boxed{F \approx \pi r^2\,n\,m\,v^2 = \pi r^2\rho v^2} \]Проверка. Знакомая «квадратичная» формула сопротивления ✓ с коэффициентом порядка единицы; при зеркальном отражении молекул сила была бы вдвое больше. Размерность: м²·(кг/м³)·(м²/с²) = Н ✓. В плотном газе формула та же по виду ✓, но там она работает по совсем другой причине (обтекание), и коэффициент другой. Проверка предельного случая: при \(v\to0\) сила \(\to0\) квадратично ✓ — но тогда условие \(v\gg\bar v\) нарушается и надо пользоваться задачей 5.4.5.Ответ \(F\approx\pi r^2nmv^2\).Почему метеориты раскаляются
6/10Почему метеориты раскаляются в атмосфере Земли?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Молекула, отскочившая от летящего навстречу тела, уносит энергию, соответствующую скорости \(\sim v\) метеорита. Эта энергия берётся из кинетической энергии метеорита — и часть её достаётся самому телу.Энергия одного удара. В системе метеорита молекулы налетают со скоростью \(v\approx10\ldots70\) км/с. Их кинетическая энергия
\[ \frac{mv^2}{2} \approx \frac{4{,}8\cdot10^{-26}\cdot(2\cdot10^{4})^2}{2} \approx 10^{-17}\ \text{Дж} \approx 60\ \text{эВ}, \]что в тысячи раз больше тепловой энергии \(kT\approx0{,}03\) эВ. Такой удар выбивает атомы с поверхности, ионизует их и разогревает поверхностный слой.
Мощность. На единицу площади лобовой поверхности приходится
\[ w \sim n\,v\cdot\frac{mv^2}{2} = \frac{\rho v^3}{2}. \]Уже при \(\rho = 10^{-5}\) кг/м³ (высота 80 км) и \(v=20\) км/с это \(4\cdot10^{7}\) Вт/м² — в тридцать тысяч раз больше солнечной постоянной. Поверхность мгновенно раскаляется и испаряется.
Проверка. Зависимость \(w\propto v^3\) ✓ — вот почему быстрые метеоры вспыхивают ярче и выше. Тормозится метеорит именно этой силой \(F\approx\rho v^2 S\) (задача 5.4.3) ✓, а выделяемая мощность \(Fv\) ✓ согласуется с оценкой. Обычно говорят «от трения о воздух» — точнее сказать, что энергия выделяется при ударном сжатии и торможении набегающего газа ✓: сам метеорит нагревается лишь поверхностно, внутри найденные метеориты остаются холодными ✓ — известный факт.Ответ Молекулы воздуха налетают на метеорит со скоростью в десятки км/с; на единицу площади выделяется мощность \(\sim\rho v^3/2\), на порядки превышающая любые привычные тепловые потоки, — поверхность раскаляется и испаряется.Медленный диск
6/10В разреженном газе с молярной массой \(\mu\) движется диск радиуса \(r\) с постоянной скоростью \(v\), направленной вдоль оси диска. Оцените силу сопротивления. Скорость диска много меньше тепловой скорости молекул. Давление газа \(P\), температура \(T\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Теперь молекулы быстрые, а диск медленный. Спереди он «догоняет» молекулы, сзади «убегает» от них: поток спереди чуть больше, сзади чуть меньше. Разность и даёт сопротивление.Асимметрия потоков. Спереди на единицу площади в секунду приходит \(\tfrac14 n(\bar v+2v)\) молекул… точнее, добавка к потоку \(\sim nv/2\), и каждая молекула передаёт импульс \(\sim m\bar v\). В итоге избыточное давление спереди и недостаток сзади дают
\[ \Delta P \sim 2\,\rho\,\bar v\,v, \qquad \rho = nm = \frac{P\mu}{RT}, \qquad \bar v = \sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}. \] \[ \Delta P \sim 2\,\frac{P\mu}{RT}\sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}\,v = 2\sqrt{\frac{8}{\pi}}\;P\,v\sqrt{\frac{\mu}{RT}} \approx 3{,}2\,P v\sqrt{\frac{\mu}{RT}}. \] \[ \boxed{F = \Delta P\cdot\pi r^2 \approx 4\pi r^2 P\,v\sqrt{\frac{\mu}{RT}}} \]Проверка. Сила линейна по \(v\) ✓ — в отличие от «быстрого» случая (задача 5.4.3), где она квадратична; переход между режимами происходит при \(v\sim\bar v\) ✓, и там обе формулы дают \(F\sim\rho\bar v^2\pi r^2\) — сшивка есть. Размерность: Па·(м/с)·\(\sqrt{(\text{кг/моль})/(\text{Дж/моль})}\) = Па·(м/с)·(с/м) = Па ✓, умножаем на м² — ньютоны ✓. Сила растёт с давлением ✓ и убывает с температурой как \(1/\sqrt T\) ✓. Числом: \(r=5\) см, \(P=1\) Па, \(T=300\) К, воздух, \(v=1\) м/с: \(F\approx4\pi\cdot2{,}5\cdot10^{-3}\cdot1\cdot3{,}4\cdot10^{-3} \approx10^{-4}\) Н ✓ — крошечная, но измеримая крутильными весами.Ответ \(F\approx4\pi r^2Pv\sqrt{\mu/(RT)}\).Реактивная сила при истечении
6/10В сосуде находится газ под давлением \(P\). В стенке сосуда имеется отверстие площади \(s\), размеры которого малы по сравнению с длиной свободного пробега. Определите реактивную силу, испытываемую сосудом при истечении газа в вакуум.
К задаче 5.4.6 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Если бы отверстия не было, стенка получала бы от молекул импульс \(Ps\) в секунду. Теперь молекулы улетают, не отражаясь, — значит уносят вдвое меньше импульса, чем передавали бы стенке.Аккуратно. Унос импульса в секунду через отверстие:
\[ \frac{\Delta p}{\Delta t} = s\!\int_{v_z>0}\! n f(v_z)\,v_z\cdot m v_z\,dv_z = s\,n\,m\,\frac{\langle v_z^2\rangle}{2} = s\,\frac{n kT}{2} = \frac{Ps}{2}. \] \[ \boxed{F = \frac{P s}{2}} \]Проверка. Ровно половина «недостающего» давления \(Ps\) ✓ — согласуется с задачей 5.4.2 при \(k=1\): убрать стенку — то же, что сделать её полностью поглощающей. Размерность ✓. Обратите внимание: у обычного реактивного двигателя тяга больше — там газ разгоняется в сопле и уносит направленный импульс ✓; при эффузии же вылетают «тепловые» молекулы во все стороны, и половина импульса теряется. Числом: \(P=1\) атм, \(s=1\) мм²: \(F=0{,}05\) Н ✓.Ответ \(F = Ps/2\).Пластина скользит
6/10В разреженном газе с молярной массой \(\mu\) движется пластина вдоль своей плоскости. Оцените, какую силу необходимо прикладывать к пластине, чтобы она двигалась с постоянной скоростью \(v\). Площадь пластины \(S\), давление газа \(P\), температура \(T\). Скорость пластины мала по сравнению с тепловой скоростью молекул.
К задаче 5.4.7 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Молекула прилетает «ниоткуда» (без продольной скорости), а улетает с пластины уже унося её продольный импульс \(mv\). Каждый удар отбирает у пластины импульс \(mv\).Поток на одну сторону: \(\tfrac14 n\bar v\). Сторон две:
\[ F = 2\cdot\frac14\,n\bar v\,S\cdot m v = \frac12\,\rho\,\bar v\,v\,S = \frac12\cdot\frac{P\mu}{RT}\sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}\,vS, \] \[ \boxed{F \approx P\,S\,v\sqrt{\frac{\mu}{RT}}} \]Проверка. Численный множитель \(\tfrac12\sqrt{8/\pi}=0{,}8\) — единица с точностью до оценки ✓. Сравним с задачей 5.4.5: там сила была примерно вчетверо больше при той же площади ✓ — лобовое сопротивление и правда сильнее «трения вдоль». Сила не зависит от расстояния до стенок ✓ — характерный признак разреженного газа: понятия «градиента скорости» тут нет. Размерность ✓. Именно так работают вязкостные вакуумметры ✓: измеряя торможение вращающегося шарика, определяют давление.Ответ \(F\approx PSv\sqrt{\mu/(RT)}\).Вязкостный вакуумметр
6/10В сосуде с газом, давление которого можно менять, находятся два параллельных диска. Один диск висит на упругой нити, другой вращается с постоянной угловой скоростью. Угол закручивания первого диска при давлении \(P_1\) равен \(\varphi_1\). При увеличении давления газа угол закручивания нити сначала увеличивается, а затем, достигнув величины \(\varphi_2\), перестаёт зависеть от давления газа. Объясните этот эффект. Как зависит угол закручивания нити от давления газа при \(\varphi\ll\varphi_2\)?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Всё решает соотношение между длиной свободного пробега \(\lambda\) и зазором \(d\) между дисками. Пока \(\lambda\gg d\), молекулы летают от диска к диску напрямую и момент пропорционален их числу; когда \(\lambda\ll d\), включается обычная вязкость, которая от давления не зависит.Разреженный режим \((\lambda\gg d)\). Молекула, отскочив от вращающегося диска, уносит его скорость и без помех долетает до подвешенного. Момент сил
\[ M \propto n\bar v\,m\,\omega \propto P, \]значит угол закручивания растёт линейно с давлением:
\[ \boxed{\varphi = \frac{\varphi_1}{P_1}\,P \qquad (\varphi\ll\varphi_2)} \]Плотный режим \((\lambda\ll d)\). Работает обычная вязкость \(\eta\sim\tfrac13\rho\bar v\lambda\); поскольку \(\lambda\propto1/P\), а \(\rho\propto P\), вязкость от давления не зависит (результат Максвелла). Момент \(M = \eta\,\omega\,\ldots/d\) выходит на постоянную величину, и угол замирает на \(\varphi_2\) ✓.
Граница режимов — при \(\lambda\approx d\); зная \(\varphi_1,P_1\) и \(\varphi_2\), можно оценить и \(d\), и размер молекул.
Проверка. Именно на линейном участке работают вязкостные вакуумметры ✓ — они годятся только в высоком вакууме, что и следует из нашего анализа. Отношение \(\varphi_2/\varphi_1 = P_{\text{гр}}/P_1\) ✓, где \(P_{\text{гр}}\) — давление перехода. Независимость вязкости от давления — тот же факт, что в задаче 5.3.11 про теплопроводность ✓. При очень больших давлениях начнётся турбулентность и линейность вновь нарушится ✓ — но это уже за рамками задачи.Ответ При \(\varphi\ll\varphi_2\) угол пропорционален давлению: \(\varphi=(\varphi_1/P_1)P\); насыщение наступает, когда длина пробега становится меньше зазора и включается обычная вязкость, не зависящая от давления.Коаксиальные цилиндры
6/10Между двумя длинными коаксиальными цилиндрами радиуса \(r_1\) и \(r_2\) находится разреженный газ. Внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega\). Оцените угловую скорость внешнего цилиндра.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея В разреженном газе молекула летит от одного цилиндра до другого по прямой, а вдоль прямой сохраняется момент импульса относительно оси. Внешний цилиндр свободен, значит суммарный момент, который он получает, равен нулю.Момент импульса молекулы. Уходя с внутреннего цилиндра, молекула имеет касательную скорость \(\omega r_1\) и момент импульса
\[ L_1 = m\,\omega r_1\cdot r_1 = m\,\omega r_1^2, \]и он сохраняется до самого удара о внешний цилиндр. Уходя с внешнего цилиндра (вращающегося с \(\omega'\)), молекула уносит
\[ L_2 = m\,\omega' r_2^2. \]Нулевой суммарный момент на внешний цилиндр даёт \(L_1 = L_2\):
\[ \boxed{\omega' = \omega\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{2}} \]Проверка. При \(r_2\to r_1\) получаем \(\omega'\to\omega\) ✓ — узкий зазор, цилиндры «сцеплены». При \(r_2\gg r_1\) внешний почти неподвижен ✓. Ответ не зависит ни от плотности газа, ни от массы молекул, ни от температуры ✓ — красивое следствие сохранения момента импульса. Обратите внимание: наивный ответ «\(\omega'=\omega r_1/r_2\)» (равенство линейных скоростей) неверен ✓ — молекула летит по прямой, а не по дуге, и её момент импульса, а не скорость, остаётся прежним.Ответ \(\omega' = \omega(r_1/r_2)^2\).Задача 5.4.10
6/10Лёгкие слюдяные пластины с зеркальной поверхностью зачернили с одной стороны и закрепили на оси вращения так, как показано на рисунке. Затем эту систему поместили в стеклянный сосуд, из которого частично откачали воздух. Если теперь этот сосуд поставить в ярко освещённое помещение, то пластины начнут вращаться по часовой стрелке, причём тем быстрее, чем больше света в помещении. Снабдив это устройство измерительной шкалой, можно использовать его в качестве радиометра — прибора для измерения интенсивности светового излучения. Объясните принцип действия этого прибора.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеРадиометр Крукса: пластинки зачернены с одной стороны. В разреженном газе молекулы отлетают от горячей чёрной поверхности быстрее и давят на неё сильнее. Идея Свет поглощается чернью и отражается зеркалом, поэтому чёрная сторона горячее. А в разреженном газе молекулы улетают с горячей поверхности быстрее, чем прилетают, — и давление на неё больше.Давление на поверхность температуры \(T_s\) в газе температуры \(T\): прилетающие молекулы приносят импульс, соответствующий \(T\), а улетающие уносят импульс, соответствующий \(T_s\):
\[ P_s = \frac{P}{2}\left(1+\sqrt{\frac{T_s}{T}}\right). \]Разность давлений на чёрную \((T_ч)\) и зеркальную \((T_з)\) стороны:
\[ \Delta P = \frac P2\left(\sqrt{\frac{T_ч}{T}}-\sqrt{\frac{T_з}{T}}\right) \approx \frac{P}{4}\,\frac{T_ч-T_з}{T}. \]Она направлена от чёрной стороны, значит вертушка поворачивается зеркальной стороной вперёд — «по часовой стрелке» на рисунке ✓. Чем ярче свет, тем больше \(T_ч-T_з\) и тем быстрее вращение.
Проверка. Направление противоположно «наивному» ожиданию от светового давления ✓: свет давил бы сильнее на зеркало (импульс отражённых фотонов вдвое больше), и вертушка крутилась бы в другую сторону. Радиометрический эффект в тысячи раз сильнее светового давления, поэтому побеждает он. Нужен именно частичный вакуум ✓: в плотном газе разность температур выравнивается конвекцией, в идеальном вакууме нет молекул — эффект максимален при \(\lambda\sim\) размер пластинки. Оценка: \(P=1\) Па, \(T_ч-T_з = 10\) К, \(T=300\) К даёт \(\Delta P\approx8\cdot10^{-3}\) Па ✓ — на пластинке 1 см² это \(10^{-6}\) Н, достаточно для лёгкой вертушки на игле.Ответ Чёрная сторона нагревается сильнее; в разреженном газе молекулы отскакивают от неё с большей скоростью, поэтому давление на чёрную сторону больше, и вертушка вращается зеркальной стороной вперёд.Задача 5.4.11
6/10Оцените подъёмную силу пластины площадью 1 м², нижняя поверхность которой находится при температуре 100 °C, а верхняя — при 0 °C. Температура воздуха 20 °C, давление 0,1 Па.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Прямое применение формулы предыдущей задачи: давление на поверхность зависит от её собственной температуры как \(\sqrt{T_s}\).\[ \Delta P = \frac{P}{2}\left(\sqrt{\frac{T_{\text{низ}}}{T}} -\sqrt{\frac{T_{\text{верх}}}{T}}\right) = \frac{0{,}1}{2}\left(\sqrt{\frac{373}{293}}-\sqrt{\frac{273}{293}}\right). \] \[ \Delta P = 0{,}05\,(1{,}128-0{,}965) = 8{,}1\cdot10^{-3}\ \text{Па}, \] \[ \boxed{F = \Delta P\cdot S \approx 10^{-2}\ \text{Н}} \]Проверка. Один сантиньютон на квадратный метр ✓ — этого хватило бы поднять фольгу массой около грамма. Сила пропорциональна давлению ✓: при \(P\to0\) она исчезает (нет молекул), при большом \(P\) формула перестаёт работать (нарушается условие разреженности) — оптимум где-то посередине, как и у радиометра. Размерность ✓. Проверим линеаризацию: \(\Delta P\approx (P/4)(\Delta T/T) = 0{,}025\cdot100/293 = 8{,}5\cdot10^{-3}\) Па ✓ — совпадает. Идея «радиометрической тяги» всерьёз обсуждается для полётов в мезосфере ✓.Ответ \(F\approx10^{-2}\) Н.Диск разгоняется
6/10Оцените скорость, с которой будет двигаться в сильно разреженном воздухе плоский диск, одна из сторон которого нагрета до 310 K, а другая — до 300 K. Температура воздуха 300 K.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Диск разгоняется радиометрической силой, пока её не уравновесит сопротивление (задача 5.4.5). Приравниваем и находим скорость.Разгоняющее давление (задача 5.4.11):
\[ \Delta P_+ = \frac P2\left(\sqrt{\frac{310}{300}}-1\right) \approx \frac P2\cdot0{,}0165 = 8{,}3\cdot10^{-3}P. \]Тормозящее давление при скорости \(v\):
\[ \Delta P_- \approx 3{,}2\,P\,v\sqrt{\frac{\mu}{RT}}, \qquad \sqrt{\frac{\mu}{RT}} = \sqrt{\frac{0{,}029}{8{,}31\cdot300}} = 3{,}4\cdot10^{-3}\ \frac{\text{с}}{\text{м}}. \]Равновесие \(\Delta P_+=\Delta P_-\):
\[ v = \frac{8{,}3\cdot10^{-3}}{3{,}2\cdot3{,}4\cdot10^{-3}} \approx 0{,}8\ \text{м/с}. \] \[ \boxed{v \approx 1\ \text{м/с}} \]Проверка. Давление \(P\) сократилось ✓ — скорость не зависит от степени разрежения (пока газ разрежен), что довольно неожиданно и красиво. Оценим иначе: \(v/\bar v\approx\Delta T/(4T)\cdot\ldots\) — порядок \(\bar v\cdot10^{-3}=0{,}5\) м/с ✓, сходится. Метр в секунду для «самодвижущегося» диска ✓ — вполне заметно; на этом принципе строят радиометрические микродвигатели. Размерность ✓.Ответ \(v\approx1\) м/с.Задача 5.4.13
6/10Две одинаковые параллельные пластины площади \(S\) каждая расположены в сосуде близко друг к другу; их температура \(T_1\) и \(T_2\), температура стенок сосуда \(T_1\). Пластины отталкиваются друг от друга с силой \(F\). Оцените давление разреженного газа в сосуде.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Между пластинами молекулы «челночат»: прилетев от холодной пластины (\(T_1\)), они уходят с горячей (\(T_2\)) быстрее. Разность давлений на внутренние и наружные поверхности и есть отталкивание.Давление снаружи (там и газ, и стенки при \(T_1\)) равно обычному \(P\). Внутри, на горячую пластину, молекулы прилетают с \(T_1\), а улетают с \(T_2\):
\[ P_{\text{вн}} = \frac P2\left(1+\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}\right). \] \[ \Delta P = P_{\text{вн}} - P = \frac P2\left(\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}-1\right) \approx \frac{P}{4}\cdot\frac{T_2-T_1}{T_1}. \]Сила \(F = \Delta P\,S\), откуда
\[ \boxed{P \approx \frac{4F\,T_1}{S\,(T_2-T_1)} \sim \frac{F\,T_1}{S(T_2-T_1)}} \]Проверка. Размерность: Н/м² = Па ✓. Чем меньше разность температур, тем больше должно быть давление, чтобы дать ту же силу ✓. При \(T_2=T_1\) сила исчезает ✓ — никакого отталкивания у одинаковых пластин нет. Численный множитель (4 при линеаризации) в задачнике опущен ✓ — задача на оценку, важен вид зависимости \(P\propto FT_1/[S(T_2-T_1)]\). Это рабочая формула радиометрического манометра Кнудсена ✓ — прибора, измеряющего давление по силе отталкивания нагретых пластин.Ответ \(P \sim F T_1/[S(T_2-T_1)]\) (с точностью до множителя порядка единицы).Задача 5.4.14
6/10В сосуде с газом поддерживается температура \(T_0\). Вне его находится газ, давление которого \(P\), а температура \(T\). Чему равно давление газа внутри сосуда, если в стенке сосуда имеется небольшое отверстие? Газы разрежены.
К задаче 5.4.14 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Отверстие мало́ по сравнению с длиной пробега, поэтому обмен идёт молекула за молекулой. Равновесие устанавливается по числу пролетающих молекул, а не по давлению.Баланс потоков. Поток через отверстие \(\propto n\bar v\propto n\sqrt T\):
\[ n\,\sqrt T = n_0\,\sqrt{T_0} \quad\Longrightarrow\quad n_0 = n\sqrt{\frac{T}{T_0}}. \]Давление внутри:
\[ P_0 = n_0 kT_0 = \frac{P}{T}\,T_0\sqrt{\frac{T}{T_0}}, \qquad \boxed{P_0 = P\sqrt{\frac{T_0}{T}}} \]Проверка. При \(T_0=T\) получаем \(P_0=P\) ✓. Это знаменитая термомолекулярная разность давлений: \(P/\sqrt T=\) const ✓. Согласуется с задачей 5.1.11, где отношение давлений в двух сосудах тоже оказалось \(\sqrt{T_1/T_2}\) ✓, и с задачей 5.4.15, ответ которой (проверенный в самом задачнике) выводится именно из закона \(n\sqrt T=\) const ✓. Если бы отверстие было широким (обычное течение), выравнивались бы давления ✓ — это другой предельный случай.Опечатка в задачнике. В ответах напечатано \(P_0 = PT_0/T\). Это соответствовало бы равенству концентраций, а не потоков; правильный ответ — с квадратным корнем, что подтверждается и решением следующей задачи 5.4.15, где ответ задачника согласуется именно с законом \(n\sqrt T=\) const.
Ответ \(P_0 = P\sqrt{T_0/T}\).Задача 5.4.15
6/10Теплоизолированная полость сообщается через небольшие одинаковые отверстия с двумя другими полостями, содержащими гелий, давление которого равно \(P\), а температура — \(T\) в одной полости и \(2T\) в другой. Найдите давление и температуру, установившиеся внутри этой полости. Газы разрежены.
К задаче 5.4.15 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Два баланса: по числу частиц и по энергии. Ключевой факт — эффундирующая молекула уносит в среднем \(2kT\), а не \(\tfrac32kT\) (задача 5.2.7).Обозначения. \(n_1 = P/kT\), \(n_2 = P/(2kT)\); внутри — \(n'\), \(T'\). Поток \(\propto n\sqrt T\), энергопоток \(\propto n\sqrt T\cdot2kT\).
Частицы:
\[ n_1\sqrt T + n_2\sqrt{2T} = 2\,n'\sqrt{T'} \ \Longrightarrow\ \frac{P}{k\sqrt T}\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\right) = 2n'\sqrt{T'}. \]Энергия:
\[ n_1\sqrt T\cdot 2kT + n_2\sqrt{2T}\cdot 2k\,(2T) = 2n'\sqrt{T'}\cdot2kT', \] \[ 2P\sqrt T\,(1+\sqrt2) = 2n'\sqrt{T'}\cdot 2kT'. \]Делим второе на первое:
\[ \frac{2P\sqrt T(1+\sqrt2)}{\dfrac{P}{k\sqrt T}\cdot\dfrac{2+\sqrt2}{2}} = 2kT' \ \Longrightarrow\ T' = \frac{2T(1+\sqrt2)}{2+\sqrt2} = T\sqrt2. \] \[ \boxed{T' = T\sqrt2 \approx 1{,}41\,T} \]Давление. Из баланса частиц \(n' = \dfrac{P(2+\sqrt2)}{4kT\,2^{1/4}}\), и
\[ P' = n'kT' = \frac{P(2+\sqrt2)}{4\cdot2^{1/4}}\cdot\sqrt2 = \boxed{P\,(1+\sqrt2)\,2^{-5/4} \approx 1{,}015\,P} \]Проверка. \(T'=T\sqrt2\) — это среднее геометрическое температур \(T\) и \(2T\) ✓, красивый и характерный для эффузии результат (не среднее арифметическое \(1{,}5T\)!). Давление получилось чуть больше \(P\) ✓: \(2^{-5/4}(1+\sqrt2)=1{,}0149\) — маленький, но настоящий эффект. Проверка предельного случая: если обе температуры равны \(T\), формулы дают \(T'=T\), \(P'=P\) ✓. Согласованность с задачей 5.4.14: там \(P\propto\sqrt T\) ✓, и здесь \(P'/\sqrt{T'} = 1{,}015P/2^{1/4}\sqrt T\) — как и должно быть, «потоковое» условие выполнено ✓.Ответ \(T' = T\sqrt2\), \(P' = P(1+\sqrt2)\,2^{-5/4}\approx1{,}02\,P\).Задача 5.4.16
6/10Между двумя плоскими параллельными пластинами, расположенными на расстоянии \(\delta\) друг от друга, находится одноатомный газ (длина свободного пробега много больше \(\delta\)). Оцените плотность потока тепла, если температура пластин равна \(T\) и \(T+\Delta T\), а в единице объёма газа содержится \(n\) атомов; \(\mu\) — масса атома.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Атомы летят от пластины к пластине напрямую. Каждый «рейс» переносит энергию, равную разности \(2k\Delta T\) (эффундирующая частица несёт \(2kT\)). Умножаем на поток.\[ w \sim \frac14\,n\,\bar v\cdot 2k\,\Delta T = \frac12\,n\,k\,\Delta T\,\bar v, \qquad \bar v \sim \sqrt{\frac{3kT}{\mu}}. \] \[ \boxed{w \sim n\,k\,\Delta T\,\sqrt{\frac{3kT}{\mu}}} \](Задачник приводит этот результат с коэффициентом \(1{,}5\) — числовой множитель здесь порядка единицы и зависит от того, какую именно среднюю скорость брать.)
Проверка. Поток не зависит от \(\delta\) ✓ — принципиальное отличие от обычной теплопроводности, где \(w\propto1/\delta\). Так и должно быть: расстояние атом пролетает без столкновений. Зато \(w\propto n\) ✓ — прямо пропорционально давлению; на этом работают тепловые манометры (задача 5.4.17). Размерность: м⁻³·(Дж/К)·К·(м/с) = Вт/м² ✓. Сшивка с плотным газом: при \(\lambda\sim\delta\) обе формулы дают одно и то же ✓ (см. задачу 5.4.19).Ответ \(w \sim nk\Delta T\sqrt{3kT/\mu}\); от расстояния между пластинами не зависит.Тепловой манометр
6/10В тепловом манометре давление газа определяют по температуре теплового элемента, на котором в единицу времени выделяется всегда одно и то же количество теплоты. Приведён график зависимости температуры элемента от давления азота. Как, пользуясь этим графиком, получить аналогичную кривую для водорода?
К задаче 5.4.17 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Отводимая мощность \(w\propto n\bar v\,k\Delta T\propto P\,\Delta T/\sqrt\mu\). Мощность фиксирована, значит перегрев \(\Delta T\) обратно пропорционален \(P/\sqrt\mu\).\[ \Delta T \propto \frac{\sqrt{\mu}}{P}. \]При одном и том же давлении перегрев для водорода меньше, чем для азота, в
\[ \sqrt{\frac{\mu_{\text{N}_2}}{\mu_{\text{H}_2}}} = \sqrt{\frac{28}{2}} = \sqrt{14} \approx 3{,}7\ \text{раза}. \] \[ \boxed{\text{Цену деления шкалы температур надо уменьшить в }\sqrt{14}\approx3{,}7\ \text{раза}} \]То есть та же кривая годится, если каждое деление температурной оси считать в \(\sqrt{14}\) раз меньшим; ось давлений остаётся прежней.
Проверка. Лёгкий газ уносит тепло эффективнее ✓ (та же причина, что в задаче 5.3.11б), поэтому элемент нагревается слабее. Ось давлений не меняется ✓ — зависимость от \(P\) одинакова для обоих газов. Практика: тепловые манометры (Пирани) действительно градуируют для конкретного газа, и в паспорте прибора приводят поправочные коэффициенты для гелия, водорода, аргона ✓ — ровно наши \(\sqrt\mu\). Проверка предела: для одинаковых газов коэффициент 1 ✓.Ответ Цену деления температурной шкалы уменьшить в \(\sqrt{14}\approx3{,}7\) раза.Сосуд Дьюара
6/10Оцените массу жидкого воздуха, испарившегося за час из плохо откачанного сосуда Дьюара, если давление воздуха (при 293 K), оставшегося между стенками, равно 0,133 Па. Поверхность сосуда 600 см², удельная теплота парообразования жидкого воздуха 0,2 МДж/кг, его температура 81 K. Зазор между стенками мал по сравнению с длиной свободного пробега.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Формула из задачи 5.4.16, только разность температур огромная: 293 K и 81 K. Каждая молекула, слетав туда-обратно, переносит \(\sim2k(T_1-T_2)\).Концентрация и поток.
\[ n = \frac{P}{kT} = \frac{0{,}133}{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot293} = 3{,}3\cdot10^{19}\ \text{м}^{-3},\qquad \bar v = 460\ \text{м/с}, \] \[ j = \frac14 n\bar v = 3{,}8\cdot10^{21}\ \frac{1}{\text{м}^2\text{с}}. \]Плотность теплового потока:
\[ w \approx j\cdot2k\,(293-81) = 3{,}8\cdot10^{21}\cdot2\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot212 \approx 22\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}. \]Мощность и масса. \(S = 0{,}06\) м²:
\[ W = 22\cdot0{,}06 = 1{,}3\ \text{Вт}, \qquad m = \frac{W\,t}{L} = \frac{1{,}3\cdot3600}{2\cdot10^{5}} \approx 0{,}024\ \text{кг}. \] \[ \boxed{m \sim 0{,}03\ \text{кг за час}} \]Проверка. Размерности всюду сходятся ✓. Порядок: несколько десятков граммов в час ✓ — сосуд действительно «плохо откачан»; в хорошем дьюаре давление \(10^{-3}\) Па, и потери в сто раз меньше. В ответах задачника указано \(m\approx0{,}1\) кг — тот же порядок ✓; расхождение в 3–4 раза связано с выбором числового множителя в оценке энергии, переносимой одной молекулой (2\(k\Delta T\) против \(\sim2kT_1\)). Проверим «сверху»: если бы каждая молекула уносила всю энергию \(2kT_1\), получилось бы \(w=31\) Вт/м² и \(m=0{,}03\) кг ✓ — оценка устойчива.Ответ \(m\sim0{,}03\ldots0{,}1\) кг за час.Задача 5.4.19
6/10Из-за небольшой разницы температур двух параллельных пластин между ними в разреженном газе, в единице объёма которого содержится \(n\) частиц, возник тепловой поток \(W_1\). При увеличении давления поток сначала растёт, а затем, достигнув \(W_2\), перестаёт зависеть от давления. Объясните эффект. Оцените радиус молекул газа. Расстояние между пластинами \(\delta\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Два режима. Пока \(\lambda\gg\delta\), поток растёт как \(n\) (задача 5.4.16). Когда \(\lambda\ll\delta\), включается обычная теплопроводность, не зависящая от давления (задача 5.3.11). Перелом — при \(\lambda\approx\delta\).Где перелом. В точке насыщения концентрация \(n_{\text{гр}}\) такова, что
\[ \lambda = \frac{1}{\pi d^2 n_{\text{гр}}} = \delta, \qquad d = 2r \ \Longrightarrow\ n_{\text{гр}} = \frac{1}{4\pi r^2\delta}. \]Связь потоков. В разреженном режиме \(W\propto n\), значит
\[ \frac{W_1}{W_2} = \frac{n}{n_{\text{гр}}} = 4\pi r^2\delta\,n, \] \[ \boxed{r \approx \sqrt{\frac{W_1}{4\pi\,n\,\delta\,W_2}} \sim \sqrt{\frac{W_1}{\pi n\delta W_2}}} \]Проверка. Размерность: \(\sqrt{1/(\text{м}^{-3}\cdot\text{м})}=\) м ✓. \(W_1<W_2\), значит \(r\) получается меньше \(\sqrt{1/(\pi n\delta)}\) ✓ — разумно. Числом: \(n=10^{21}\) м⁻³, \(\delta=1\) см, \(W_1/W_2 = 0{,}05\): \(r=\sqrt{0{,}05/(4\pi\cdot10^{21}\cdot10^{-2})} = \sqrt{4\cdot10^{-22}} = 2\cdot10^{-11}\)… — маловато; при более реалистичном \(W_1/W_2=0{,}5\) выйдет \(6{,}3\cdot10^{-11}\) м, то есть десятые доли ангстрема. Метод хорош качественно ✓: он позволяет измерить размеры молекул, просто наблюдая, где «загибается» кривая теплового манометра. Физическая суть перелома: тепло переносится «эстафетой», и когда эстафета становится многоступенчатой, число носителей растёт, а длина каждого шага падает — эффекты гасят друг друга ✓.Ответ \(r\sim\sqrt{W_1/(\pi n\delta W_2)}\).Экраны между пластинами
6/10Две параллельные пластины находятся на расстоянии \(\delta\) друг от друга. Между ними на одинаковом расстоянии помещают \(N\) тонких хорошо проводящих тепло перегородок — экранов. Определите влияние экранов на теплопроводность в двух случаях: а) \(\delta/N\gg\lambda\); б) \(\delta<\lambda\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Экраны делят промежуток на \(N+1\) последовательных «сопротивлений». Вопрос лишь в том, зависит ли сопротивление каждого промежутка от его толщины.а. Плотный газ \((\delta/N\gg\lambda)\). В каждом промежутке работает обычная теплопроводность: поток \(w = \varkappa\,\Delta T_i/(\delta/(N+1))\). Тепловое сопротивление одного промежутка в \(N+1\) раз меньше исходного, а таких промежутков \(N+1\) — суммарное сопротивление то же:
\[ \boxed{\text{а) теплопроводность не меняется}} \]б. Разреженный газ \((\delta<\lambda)\). Здесь поток не зависит от толщины промежутка (задача 5.4.16): каждый промежуток даёт одно и то же «сопротивление» независимо от того, насколько он узок. Промежутков стало \(N+1\), значит
\[ \boxed{\text{б) поток уменьшается в } N+1 \text{ раз}} \]Проверка. При \(N=0\) оба ответа дают исходный поток ✓. Случай б — принцип многослойной («суперизоляции») экранно-вакуумной теплоизоляции ✓: в криогенных сосудах и на космических аппаратах ставят десятки слоёв тончайшей плёнки, и поток падает в десятки раз. Случай а объясняет, почему в обычных условиях «слоёная» перегородка не помогает ✓ — помогает только неподвижный воздух, то есть подавление конвекции. Тонкость: экраны должны быть хорошо проводящими вдоль себя ✓, иначе они не выравнивают температуру и картина усложняется. И, конечно, при этом надо учитывать ещё и излучение — для него экраны тоже дают выигрыш в \(N+1\) раз ✓.Ответ а. Не меняется. б. Уменьшается в \(N+1\) раз (при большом \(N\) — в \(N\) раз).Плотность кислорода
1/10Из основного уравнения МКТ через давление и среднюю кинетическую энергию — концентрация молекул; умножение на массу молекулы даёт плотность.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Осмос
4/10Полоски картофеля в растворах NaCl разной молярности меняют длину; по графику найти концентрацию, при которой длина не меняется, и по закону Вант-Гоффа с поправкой на диссоциацию рассчитать осмотическое давление.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Соударения молекул со стенкой при расширении
4/10Число ударов молекул о единицу площади в единицу времени пропорционально концентрации и средней скорости; при одинаковых температурах отношение определяется изменением объёма.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Спутник в разреженной атмосфере
4/10Число столкновений аппарата с молекулами воздуха: концентрация из давления и температуры, относительная скорость сложена из скорости аппарата и теплового движения молекул.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Опыт Штерна с серебряной нитью
5/10Атомы серебра летят от нити сквозь щель между вращающимися коаксиальными цилиндрами; по смещению полосы налёта находят время пролёта и среднюю скорость (S=ωR2·t, v=(R2−R1)/t), а по ней — температуру нити из средней кинетической энергии атомов. (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Сжатие газа при постоянном числе ударов о стенку
5/10Число ударов о единицу площади пропорционально n·v̄ ~ p/√T постоянно, значит p~√T; работа внешних сил при заданном уменьшении температуры через первое начало.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Азот и гелий с диссоциацией
3/10Смесь равных масс азота и гелия нагрета вдвое, часть молекул азота распалась; по числу частиц и закону Дальтона найти давление.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Работа при сжатии после трёх процессов
3/10Теплота изотермического расширения, изохорный нагрев с ростом среднеквадратичной скорости и обратное изотермическое сжатие: по изменению температуры найти работу внешней силы.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Число соударений молекул пара
4/10Пар при изотермическом сжатии доходит до насыщения; число ударов о стенку пропорционально давлению (j∝P/√T), поэтому отношение равно отношению конечного давления к начальному. (варианты с разными числами)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Газ с постоянным числом ударов о стенку
4/10Среднее число соударений со стенками на единицу площади не меняется, значит P∝V; по работе, выраженной через внутреннюю энергию, находят изменение объёма и теплоту (варианты 5–6).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Расширение газа с постоянным числом ударов
5/10Постоянство числа соударений со стенкой на единицу площади даёт P∝V; для такого процесса C=2R, откуда теплота при заданном изменении температуры. (варианты с разными числами)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.