Пересчёт по интервалам
6/10В 1 см³ при давлении 0,1 МПа находится \(2{,}7\cdot10^{19}\) молекул азота. Число молекул, вертикальная составляющая скорости которых лежит в интервале от 999 до 1001 м/с, равно \(1{,}3\cdot10^{12}\).
а. Какое число таких молекул содержится в 1 л азота?
б. Сколько молекул азота, имеющих вертикальную составляющую скорости в интервалах \(1000\pm0{,}1\) и \(1000\pm10\) м/с, содержится в 1 м³? Считать, что число молекул, обладающих скоростью в некотором интервале, пропорционально этому интервалу.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Два простых правила: число молекул пропорционально объёму и (для узкого интервала) пропорционально ширине интервала. Больше ничего не нужно.а. 1 л = 1000 см³:
\[ N = 1{,}3\cdot10^{12}\cdot10^3 = \boxed{1{,}3\cdot10^{15}\ \text{л}^{-1}} \]б. 1 м³ = \(10^6\) см³. Исходный интервал имел ширину 2 м/с.
Интервал \(1000\pm0{,}1\) — ширина 0,2 м/с, то есть в 10 раз у́же:
\[ N_1 = 1{,}3\cdot10^{12}\cdot10^{6}\cdot\frac1{10} = \boxed{1{,}3\cdot10^{17}\ \text{м}^{-3}} \]Интервал \(1000\pm10\) — ширина 20 м/с, то есть в 10 раз шире:
\[ N_2 = 1{,}3\cdot10^{12}\cdot10^{6}\cdot10 = \boxed{1{,}3\cdot10^{19}\ \text{м}^{-3}} \]Проверка. Доля «быстрых» молекул: \(1{,}3\cdot10^{12}/2{,}7\cdot10^{19}=4{,}8\cdot10^{-8}\) ✓ — очень мало, ведь 1000 м/с для азота при комнатной температуре — это примерно \(2{,}4\) среднеквадратичной скорости. Пропорциональность ширине законна, пока интервал узкий по сравнению с самой скоростью ✓: даже 20 м/с — это 2 % от 1000 м/с. Ответ \(N_2\) — почти половина всех молекул? Нет: \(1{,}3\cdot10^{19}\) м⁻³ против \(2{,}7\cdot10^{25}\) м⁻³ всего ✓ — по-прежнему ничтожная доля.Ответ а. \(1{,}3\cdot10^{15}\) в литре. б. \(1{,}3\cdot10^{17}\) и \(1{,}3\cdot10^{19}\) в кубометре.Независимость проекций
6/10Распределения молекул по проекциям \(v_i\) скорости на оси координат \((i=x,y,z)\) взаимно независимы. Пользуясь этим, определите в задаче 5.2.1 число молекул азота в 1 см³, горизонтальная составляющая скорости которых, так же как и вертикальная, лежит в интервале от 999 до 1001 м/с; а также число молекул, у которых горизонтальная составляющая лежит в интервале \(1000\pm0{,}1\) м/с, а вертикальная — в интервале \(1000\pm2\) м/с.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Независимость означает: чтобы получить долю молекул, у которых обе проекции попали в свои интервалы, надо доли перемножить.Доля по одной проекции (из задачи 5.2.1, интервал шириной 2 м/с):
\[ w = \frac{1{,}3\cdot10^{12}}{2{,}7\cdot10^{19}} = 4{,}8\cdot10^{-8}. \]Первый случай — оба интервала по 2 м/с:
\[ N_1 = N\,w^2 = 2{,}7\cdot10^{19}\cdot\left(4{,}8\cdot10^{-8}\right)^2 \approx \boxed{6{,}2\cdot10^{4}\ \text{см}^{-3}} \]Второй случай — горизонтальный интервал в 10 раз у́же \((w/10)\), вертикальный вдвое шире \((2w)\):
\[ N_2 = N\cdot\frac{w}{10}\cdot 2w = \frac{N w^2}{5} \approx \boxed{1{,}2\cdot10^{4}\ \text{см}^{-3}} \]Проверка. Второй ответ ровно в 5 раз меньше первого ✓ — как и должно быть по ширинам (\(0{,}1\cdot2 = 0{,}2\) против единицы). Число упало с \(10^{12}\) до \(10^{4}\) ✓ — каждое дополнительное условие «съедает» множитель \(5\cdot10^{-8}\). Из \(2{,}7\cdot10^{19}\) молекул лишь несколько десятков тысяч имеют сразу две большие проекции ✓ — наглядная иллюстрация того, как быстро падает максвелловское распределение.Ответ \(N_1\approx6{,}2\cdot10^4\) см⁻³, \(N_2\approx1{,}2\cdot10^4\) см⁻³.Функция распределения Максвелла
6/10Число молекул однородного идеального газа \(dN\), скорость которых вдоль произвольной оси \(x\) лежит в интервале \((v_x, v_x+dv_x)\), определяется распределением Максвелла:
\[ dN = N\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)dv_x = N f(v_x)\,dv_x. \]Используя эту функцию для азота при \(T=293\) K, найдите: а) сколько в 1 см³ воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от 499 до 501 м/с; б) сколько в 1 м³ содержится молекул азота со скоростью в этом направлении в интервале от 498 до 502 м/с, если число молекул азота в 1 см³ равно \(2\cdot10^{19}\).
К задаче 5.2.3 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Подставляем числа в формулу Максвелла. Интервалы узкие, поэтому \(dN = Nf(v_x)\Delta v\).Считаем показатель. Масса молекулы азота
\[ m = \frac{28\cdot10^{-3}}{6{,}02\cdot10^{23}} = 4{,}65\cdot10^{-26}\ \text{кг}, \qquad kT = 4{,}04\cdot10^{-21}\ \text{Дж}, \] \[ \frac{m}{2kT} = 5{,}75\cdot10^{-6}\ \frac{\text{с}^2}{\text{м}^2},\qquad \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}} = 1{,}35\cdot10^{-3}\ \frac{\text{с}}{\text{м}}. \]Значение функции при 500 м/с:
\[ f(500) = 1{,}35\cdot10^{-3}\,e^{-5{,}75\cdot10^{-6}\cdot2{,}5\cdot10^{5}} = 1{,}35\cdot10^{-3}\,e^{-1{,}44} = 3{,}2\cdot10^{-4}\ \frac{\text{с}}{\text{м}}. \]а. \(\Delta v = 2\) м/с:
\[ N_1 = 2\cdot10^{19}\cdot3{,}2\cdot10^{-4}\cdot2 \approx \boxed{1\cdot10^{16}\ \text{см}^{-3}} \]б. Объём в \(10^6\) раз больше, интервал вдвое шире:
\[ N_2 = N_1\cdot10^6\cdot2 \approx \boxed{2\cdot10^{22}\ \text{м}^{-3}} \]Проверка. Доля молекул: \(f\Delta v = 6{,}4\cdot10^{-4}\) ✓ — примерно 0,06 %; скорость 500 м/с для азота при 293 К — чуть больше среднеквадратичной (511 м/с), так что доля правдоподобна. Размерность \(f\): с/м, и \(f\Delta v\) безразмерно ✓. Максимум функции при \(v_x=0\): \(f(0)=1{,}35\cdot10^{-3}\) с/м ✓ — в четыре раза больше, чем при 500 м/с. Сравнение с задачей 5.2.1: там при 1000 м/с доля была \(4{,}8\cdot10^{-8}\), здесь при 500 м/с — \(6{,}4\cdot10^{-4}\), то есть в \(1{,}3\cdot10^4\) раз больше ✓; и правда \(e^{-1{,}44}/e^{-5{,}75}\cdot\ldots\) — экспонента режет очень быстро.Ответ а. \(\approx10^{16}\) см⁻³. б. \(\approx2\cdot10^{22}\) м⁻³.Водород вместо азота
6/10При какой температуре функция распределения по скоростям молекул водорода будет совпадать с функцией распределения по скоростям молекул азота при комнатной температуре?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея В функцию Максвелла масса и температура входят только в комбинации \(m/T\). Значит достаточно приравнять эти отношения.\[ \frac{m_{\text{H}_2}}{T_{\text{H}_2}} = \frac{m_{\text{N}_2}}{T_{\text{N}_2}} \quad\Longrightarrow\quad T_{\text{H}_2} = T_{\text{N}_2}\,\frac{\mu_{\text{H}_2}}{\mu_{\text{N}_2}} = 293\cdot\frac{2}{28}. \] \[ \boxed{T \approx 21\ \text{К}} \]Проверка. При такой температуре среднеквадратичные скорости совпадают ✓: \(\sqrt{3kT/m}\) зависит от того же отношения. 21 К — это чуть выше точки кипения водорода (20,3 К) ✓, так что газообразный водород при такой температуре ещё существует — ответ физически осмыслен. Отношение 14 = 28/2 ✓. Обратная задача: чтобы азот «двигался как водород при комнатной температуре», его надо нагреть до \(293\cdot14 = 4100\) К ✓.Ответ \(T\approx21\) К.Отношение чисел молекул
6/10Найдите отношение числа молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось \(x\) в интервале от 3000 до 3010 м/с, к числу молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ту же ось в интервале от 1500 до 1505 м/с. Температура водорода 300 K.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Отношение чисел — это отношение \(f(v)\Delta v\). Экспоненты считаем через показатель \(mv^2/(2kT)\), предэкспоненциальный множитель одинаков и сокращается.Показатель. \(m = 3{,}32\cdot10^{-27}\) кг, \(kT = 4{,}14\cdot10^{-21}\) Дж:
\[ \frac{m}{2kT} = 4{,}01\cdot10^{-7}\ \frac{\text{с}^2}{\text{м}^2}. \] \[ \frac{mv_1^2}{2kT} = 4{,}01\cdot10^{-7}\cdot9\cdot10^{6} = 3{,}61,\qquad \frac{mv_2^2}{2kT} = 4{,}01\cdot10^{-7}\cdot2{,}25\cdot10^{6} = 0{,}90. \]Отношение.
\[ n = \frac{e^{-3{,}61}\cdot10}{e^{-0{,}90}\cdot5} = 2\,e^{-2{,}71} = 2\cdot0{,}0666, \] \[ \boxed{n \approx 0{,}13} \]Проверка. Интервал у «быстрых» вдвое шире, и это даёт множитель 2 в их пользу ✓ — без него отношение было бы 0,067. Экспонента режет в 15 раз ✓ при удвоении скорости — не так уж и много, потому что 1500 м/с для водорода при 300 К всего лишь около среднеквадратичной (1930 м/с). Проверка знака: быстрых меньше ✓. Если бы речь шла об азоте, показатели были бы в 14 раз больше и отношение стало бы астрономически малым ✓.Ответ \(n\approx0{,}13\).Три проекции сразу
6/10Найдите отношение числа молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось \(x\) в интервале от 3000 до 3010 м/с, на ось \(y\) — от 3000 до 3010 м/с, на ось \(z\) — от 3000 до 3002 м/с, к числу молекул водорода с проекциями: на ось \(x\) от 1500 до 1505, на ось \(y\) от 1500 до 1501, на ось \(z\) от 1500 до 1502 м/с. Температура 300 K.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Проекции независимы, поэтому перемножаем три множителя \(f(v_i)\Delta v_i\). Экспоненты складываются в показателе.Из предыдущей задачи \(e^{-3{,}61} = 0{,}0270\), \(e^{-0{,}90} = 0{,}405\).
\[ n = \frac{\big(0{,}0270\big)^3\cdot10\cdot10\cdot2} {\big(0{,}405\big)^3\cdot5\cdot1\cdot2} = \frac{1{,}97\cdot10^{-5}\cdot200}{6{,}66\cdot10^{-2}\cdot10}, \] \[ \boxed{n \approx 6\cdot10^{-3}} \]Проверка. Экспоненциальный множитель — куб от прежнего: \(e^{-3\cdot2{,}71}=e^{-8{,}13} =2{,}95\cdot10^{-4}\) ✓, а произведение ширин даёт множитель \(200/10=20\) ✓; вместе \(5{,}9\cdot10^{-3}\) ✓. Каждая новая «быстрая» проекция уменьшает число молекул примерно в 15 раз ✓ — согласуется с задачей 5.2.5. Полная скорость в числителе \(\sqrt3\cdot3000\approx5200\) м/с, в знаменателе 2600 м/с ✓ — отношение экспонент \(\exp[-(m/2kT)(5200^2-2600^2)]=e^{-8{,}13}\) ✓, то же самое.Ответ \(n\approx6\cdot10^{-3}\).Задача 5.2.7
6/10В стенке сосуда с разреженным газом сделано малое отверстие. Как будет изменяться температура газа при его вытекании?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Через отверстие уходят не «средние» молекулы: чем быстрее молекула, тем чаще она долетает до дырки. Значит уносится энергия больше средней — оставшийся газ обедняется быстрыми молекулами.Кто улетает. Число молекул со скоростью \(v\), достигающих отверстия в секунду, пропорционально \(v\). Поэтому в вылетающем пучке распределение «взвешено» лишним множителем \(v\), и средняя энергия улетающей молекулы равна
\[ \langle E\rangle_{\text{выл}} = 2kT \qquad\text{вместо}\qquad \langle E\rangle = \frac32 kT \]в самом сосуде (лишний множитель \(v\) в весе как раз добавляет \(kT/2\)).
Вывод. Каждая улетевшая молекула уносит на \(kT/2\) больше, чем «положено» по среднему. Значит средняя энергия оставшихся молекул уменьшается:
\[ \boxed{\text{температура газа в сосуде понижается}} \]Проверка. Согласуется с задачей 5.1.9 и с эффузионным охлаждением, которым пользуются в технике получения низких температур ✓. Важно, что газ разрежён ✓: молекулы не сталкиваются у отверстия, и вылет действительно избирателен по скорости. При обычном истечении сквозь сопло картина иная — там газ охлаждается за счёт работы расширения. Проверка «на пальцах»: если бы улетали случайные молекулы (не зависящие от скорости), температура не менялась бы ✓ — весь эффект в множителе \(v\).Ответ Температура будет уменьшаться: улетают преимущественно быстрые молекулы.Задача 5.2.8
6/10В толстой стенке сосуда с газом сделан прямой канал длины \(l\), соединяющий сосуд с вакуумом. Канал снабжён двумя затворами: затвор 1 на входе, затвор 2 на выходе. Сначала на время \(\tau\) открывают затвор 1; после того как он закроется, через время \(t_0\) на время \(\tau\) открывается затвор 2. Молекулы, пролетевшие канал за это время, образуют пучок. Чему равна длина пучка через время \(t\) после закрывания затвора 2?
К задаче 5.2.8 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Найдём, какие скорости вообще «проходят отбор», а потом посмотрим, насколько разбегутся самая быстрая и самая медленная молекулы пучка.Времена. Затвор 1 открыт с 0 до \(\tau\); затвор 2 — с \(\tau+t_0\) до \(2\tau+t_0\). Молекула, вошедшая в момент \(t_1\) и летящая со скоростью \(v\), подлетает к выходу в момент \(t_1+l/v\). Она пройдёт, если
\[ \tau+t_0 \le t_1+\frac lv \le 2\tau+t_0. \]Перебирая \(t_1\in[0,\tau]\), получаем разрешённые времена пролёта:
\[ t_0 \le \frac lv \le t_0+2\tau \quad\Longrightarrow\quad v_{\max} = \frac{l}{t_0}, \qquad v_{\min} = \frac{l}{t_0+2\tau}. \]Когда кто вылетел. Самая быстрая молекула успела прийти к самому открытию затвора 2 (она вошла в момент \(\tau\)) и вылетела в момент \(\tau+t_0\). Самая медленная вошла в момент 0 и вылетела в самый последний момент \(2\tau+t_0\).
Длина пучка через время \(t\) после закрытия затвора 2: быстрая летит уже \(\tau+t\), медленная — \(t\):
\[ L = v_{\max}(\tau+t) - v_{\min}t = \frac{l(\tau+t)}{t_0}-\frac{lt}{t_0+2\tau}. \]Приводя к общему знаменателю, получаем
\[ \boxed{L = \frac{l\,\tau}{t_0}\left(1+\frac{2t}{t_0+2\tau}\right)} \]Проверка. При \(t=0\): \(L = l\tau/t_0\) ✓ — пучок уже имеет конечную длину, потому что молекулы вылетали в течение времени \(\tau\). При больших \(t\) длина растёт линейно ✓: \(L\approx(v_{\max}-v_{\min})t\) — пучок «расплывается» из-за разброса скоростей. Проверим коэффициент при \(t\): \(\dfrac{l\tau}{t_0}\cdot\dfrac{2}{t_0+2\tau} = \dfrac{2l\tau}{t_0(t_0+2\tau)}\), и это ровно \(v_{\max}-v_{\min} = l\left(\dfrac1{t_0}-\dfrac1{t_0+2\tau}\right)\) ✓. При \(\tau\to0\) длина стремится к нулю ✓ — идеальный «монохроматический» пучок. Размерность: метры ✓.Ответ \(L = \dfrac{l\tau}{t_0}\left(1+\dfrac{2t}{t_0+2\tau}\right)\).Опыт Штерна
6/10Источник атомов серебра создаёт узкий ленточный пучок, который попадает на внутреннюю поверхность неподвижного цилиндра радиуса \(R=30\) см и образует на ней пятно. Устройство начинает вращаться с угловой скоростью \(\omega = 100\pi\) рад/с. Определите скорость атомов серебра, если пятно отклонилось на угол \(\varphi = 0{,}314\) рад от первоначального положения.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПока атом летит от центра до стенки, цилиндр успевает повернуться — пятно смещается. Идея Классический опыт Штерна. Пока атом летит по радиусу от центра до стенки, цилиндр поворачивается — на столько же смещается и пятно.\[ t = \frac Rv, \qquad \varphi = \omega t = \frac{\omega R}{v} \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{\omega R}{\varphi}. \] \[ v = \frac{100\pi\cdot0{,}3}{0{,}314} = \frac{94{,}2}{0{,}314}, \qquad \boxed{v = 300\ \text{м/с}} \]Проверка. Время полёта \(t = 0{,}3/300 = 1\) мс, поворот \(\omega t = 0{,}314\) рад ✓. Оценим температуру источника: для серебра \(\mu=108\) г/моль, \(T = \mu v^2/(3R_{\text{г}}) = 0{,}108\cdot9\cdot10^4/(3\cdot8{,}31)\approx390\) К ✓ — хм, для испарения серебра нужно около 1300 К, значит 300 м/с — это скорее медленная часть пучка; при 1300 К среднеквадратичная скорость 550 м/с ✓, тот же порядок. Именно поэтому в опыте Штерна пятно не просто смещается, а размывается ✓ — разные атомы летят с разными скоростями, и по ширине пятна восстанавливают распределение Максвелла. Размерность ✓.Ответ \(v = \omega R/\varphi = 300\) м/с.Винтовой селектор
6/10Отверстие в стенке перекрыто цилиндрической пробкой. На поверхности пробки прорезан узкий винтовой канал с шагом \(h\). По одну сторону стенки находится разреженный газ, по другую — вакуум. Молекулы газа легко поглощаются стенками канала. Пробка вращается с угловой скоростью \(\omega\). Какой скоростью будут обладать молекулы, прошедшие по каналу?
К задаче 5.2.10 (рисунок из условия, перерисован). \(R\) — радиус пробки (в ответ не входит), \(h\) — шаг винтового канала. ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Молекула летит прямо (вдоль оси), а канал «уползает» вбок. Чтобы не удариться о стенку, молекула должна пролететь один шаг винта ровно за один оборот пробки.Условие прохождения. За один оборот, то есть за время \(T = 2\pi/\omega\), винтовой канал сдвигается вдоль оси на шаг \(h\). Значит молекула должна пройти вдоль оси то же расстояние \(h\) за то же время:
\[ v = \frac{h}{T} = \frac{h\omega}{2\pi}. \] \[ \boxed{v = \frac{h\omega}{2\pi}} \]Проверка. Размерность: м·с⁻¹ ✓. Регулируя \(\omega\), можно выделять любую скорость ✓ — это и есть механический селектор скоростей; именно так измеряли распределение Максвелла. Пройдут также молекулы со скоростями \(h\omega/(2\pi n)\), \(n=2,3,\ldots\) ✓ — они успевают сделать \(n\) оборотов; на практике их вклад мал, потому что таких медленных молекул меньше. Числом: \(h=2\) мм, 6000 об/мин (\(\omega=628\) рад/с) даёт \(v=200\) м/с ✓ — как раз нужный диапазон.Ответ \(v = h\omega/(2\pi)\).Молекулы на экране
6/10Представим, что удалось сфотографировать на киноплёнку молекулы газа, функция распределения которых по скоростям \(f(v)\).
а. Найдите функцию распределения «частиц» — изображений молекул на экране — по скоростям, если увеличение, с которым изображение проецируется на экран, равно \(l\).
б. Киноплёнку при воспроизведении начали прокручивать в \(k\) раз быстрее, чем при съёмке. Найдите функцию распределения «частиц» по скоростям в этом случае.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Скорости изображений в \(l\) (или \(kl\)) раз больше настоящих. Функция распределения при этом не просто «растягивается» — она ещё и «оседает» по высоте, потому что полная площадь под графиком всегда равна единице.а. Изображение движется со скоростью \(v' = lv\). Число частиц, попавших в интервал \((v',v'+dv')\), то же, что было в \((v,v+dv)\):
\[ f'(v')\,dv' = f(v)\,dv, \qquad dv' = l\,dv, \] \[ \boxed{f'(v) = \frac1l\,f\!\left(\frac vl\right)} \]б. Прокрутка в \(k\) раз быстрее умножает все скорости ещё на \(k\):
\[ \boxed{f'(v) = \frac1{kl}\,f\!\left(\frac{v}{kl}\right)} \]Проверка нормировки. \(\displaystyle\int f'(v)dv = \int \frac1l f\!\left(\frac vl\right)dv = \int f(u)\,du = 1\) ✓ — как и должно быть. Средняя скорость изображений в \(l\) раз больше ✓, среднеквадратичная тоже ✓. Если \(f\) была максвелловской при температуре \(T\), то \(f'\) — максвелловская при температуре \(l^2T\) (или \((kl)^2T\)) ✓ — «нагрев» изображения. Предельный случай \(l=1\), \(k=1\) возвращает исходную функцию ✓.Ответ а. \(f'(v)=\frac1l f(v/l)\). б. \(f'(v)=\frac1{kl}f(v/(kl))\).Прямоугольное распределение
6/10Скорости частиц, движущихся в потоке, имеют одно направление и лежат в интервале от \(v_0\) до \(2v_0\). График функции распределения имеет вид прямоугольника. Чему равно значение функции распределения? Как изменяется функция распределения, если на частицы в течение времени \(\tau\) вдоль их скорости действует сила \(F\)? Масса каждой частицы \(m\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Площадь под графиком функции распределения всегда равна единице. Прямоугольник шириной \(v_0\) — значит его высота \(1/v_0\). А одинаковая для всех сила меняет все скорости на одну и ту же величину: график просто сдвигается.Нормировка. Ширина прямоугольника \(2v_0-v_0=v_0\), площадь равна 1:
\[ \boxed{f(v) = \frac1{v_0}\ \text{при } v_0\le v\le 2v_0,\quad f(v)=0\ \text{иначе}} \]Действие силы. За время \(\tau\) каждая частица получает одну и ту же добавку скорости
\[ \Delta v = \frac{F\tau}{m}. \]Значит весь прямоугольник целиком сдвигается: он занимает теперь интервал от \(v_0+\Delta v\) до \(2v_0+\Delta v\), а его высота остаётся \(1/v_0\).
\[ \boxed{f'(v) = f(v-F\tau/m)} \]Проверка. Нормировка сохранилась ✓ — ширина и высота те же. Разброс скоростей \(\Delta = v_0\) не изменился ✓ — сила одинакова для всех, «нагрева» пучка нет. Средняя скорость выросла ровно на \(F\tau/m\) ✓. Обратите внимание: если бы сила действовала на заданном пути, а не в течение заданного времени, разброс изменился бы (см. следующую задачу) ✓.Ответ \(f=1/v_0\) на \([v_0,2v_0]\); под действием силы график сдвигается на \(\Delta v = F\tau/m\) в сторону больших скоростей.Задача 5.2.13
6/10Скорости частиц в пучке имеют одно направление и лежат в интервале от \(v\) до \(v+\Delta v\) \((\Delta v\ll v)\). В единице объёма пучка находится \(n\) частиц, масса каждой \(m\).
а. В течение времени \(\tau\) на частицы в направлении их движения действует сила \(F\). Определите интервал скоростей и число частиц в единице объёма после действия силы.
б. Определите интервал скоростей и число частиц в единице объёма после прохождения области, где на расстоянии \(l\) вдоль направления движения на частицы действовала сила \(F\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Сила, действующая заданное время, всем добавляет одинаковую скорость — пучок просто сдвигается. Сила на заданном пути всем добавляет одинаковую энергию — быстрые выигрывают в скорости меньше, и пучок «сжимается» по скоростям, зато разрежается.а. Сила в течение времени \(\tau\). Каждая частица получает \(\Delta v_1 = F\tau/m\):
\[ \boxed{v_{\min}=v+\frac{F\tau}{m},\quad v_{\max}=v+\frac{F\tau}{m}+\Delta v,\quad n'=n} \]Концентрация не изменилась: все частицы сдвинулись одинаково, взаимные расстояния те же.
б. Сила на пути \(l\). Работает закон сохранения энергии:
\[ \frac{mv'^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+Fl \quad\Longrightarrow\quad v' = v\sqrt{1+\frac{2Fl}{mv^2}}. \] \[ \boxed{v_{\min} = v\sqrt{1+\frac{2Fl}{mv^2}}, \qquad v_{\max} = (v+\Delta v)\sqrt{1+\frac{2Fl}{m(v+\Delta v)^2}}} \]Разложив по малому \(\Delta v\), получаем новую ширину интервала:
\[ \Delta v' \approx \frac{\Delta v}{\sqrt{1+2Fl/(mv^2)}}. \]Концентрация. Поток частиц через любое сечение один и тот же, \(n'v'=nv\):
\[ \boxed{n' = \frac{n}{\sqrt{1+2Fl/(mv^2)}}} \]Проверка. При \(F=0\) оба ответа переходят в исходные ✓. В пункте б пучок стал монохроматичнее: \(\Delta v'<\Delta v\) при \(F>0\) ✓ — ускоряющее поле «сортирует» частицы, это основа электронной оптики. Концентрация уменьшилась ровно во столько же раз, во сколько выросла скорость ✓ — поток сохраняется. Произведение \(n'\Delta v'\) уменьшилось как \((1+2Fl/mv^2)^{-1}\) ✓, а \(n'v'\Delta v'\)… — «фазовый объём» \(n'\Delta v'/v'\cdot v'\) ведёт себя по теореме Лиувилля ✓. При торможении \((F<0)\) всё наоборот: пучок расширяется по скоростям и уплотняется ✓.Ответ а. Интервал сдвигается на \(F\tau/m\), \(n'=n\). б. \(v'=v\sqrt{1+2Fl/(mv^2)}\), ширина уменьшается в \(\sqrt{1+2Fl/(mv^2)}\) раз, \(n'=n/\sqrt{1+2Fl/(mv^2)}\).Задача 5.2.14
6/10а. Пусть создан пучок одинаковых молекул с функцией распределения \(f(v_x)=2\sqrt{\alpha/\pi}\,\exp(-\alpha v_x^2)\), \(\alpha>0\). Масса молекулы \(m\). Как изменится число молекул в единице объёма, если пучок пройдёт область протяжённости \(l\), в которой на каждую молекулу действует тормозящая сила \(F\)?
б. Плотность частиц вблизи поверхности Земли \(\rho_0\), их температура \(T\), масса частиц \(m\). Частицы имеют максвелловское распределение по скоростям. Определите плотность частиц и распределение частиц по скоростям на высоте \(h\) над Землёй.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Замечательный факт: гауссова функция распределения при торможении на заданном пути остаётся сама собой, только вся «шкала» частиц уменьшается в постоянное число раз. В этом и вся барометрическая формула.а. Что происходит с каждой скоростью. Обозначим \(\beta = 2Fl/m\). Молекула, имевшая \(v\), приобретает
\[ v' = \sqrt{v^2-\beta}\qquad (\text{проходят только те, у кого } v^2>\beta). \]Сохранение потока. Число частиц, пересекающих сечение в секунду, не меняется: \(dn'\,v' = dn\,v\). Учитывая \(v\,dv = v'\,dv'\), получаем \(dn' = n f(v)\,dv\cdot\dfrac{v}{v'} = n f\!\left(\sqrt{v'^2+\beta}\right)dv'\).
Подставляем гауссиану:
\[ f\!\left(\sqrt{v'^2+\beta}\right) = 2\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\,e^{-\alpha(v'^2+\beta)} = e^{-\alpha\beta}\,f(v'). \]Экспонента вынеслась целиком! Значит вид распределения не изменился, а число частиц уменьшилось в
\[ \boxed{e^{\alpha\beta} = \exp\left(\frac{2F l\alpha}{m}\right)\ \text{раз}} \]б. Максвелловское распределение — это как раз наш случай с \(\alpha = m/(2kT)\), а тормозящая сила — тяжесть, \(F = mg\), путь \(l=h\):
\[ \frac{2F l\alpha}{m} = \frac{2\,mg\,h}{m}\cdot\frac{m}{2kT} = \frac{mgh}{kT}, \] \[ \boxed{\rho = \rho_0\,e^{-mgh/kT}} \]а распределение по скоростям на высоте \(h\) — то же самое максвелловское с той же температурой \(T\).
Проверка. Барометрическая формула получена «из первых принципов» ✓ — обычно её выводят из гидростатики, здесь она вышла из свойств гауссианы. Постоянство температуры с высотой ✓ — важнейший результат: в изотермической атмосфере редеет только плотность, но не «нагрев» молекул. Проверка предела \(h\to0\) даёт \(\rho=\rho_0\) ✓; \(T\to\infty\) даёт \(\rho\to\rho_0\) ✓ — горячий газ «не чувствует» тяжести. Характерная высота \(kT/(mg)\) для воздуха при 273 К — 8 км ✓, знакомая величина. Показатель безразмерен ✓.Ответ а. Уменьшится в \(\exp(2Fl\alpha/m)\) раз. б. \(\rho = \rho_0\exp(-mgh/kT)\); распределение по скоростям не изменится.Масса пылинки
6/10На высоте 3 км над поверхностью Земли в 1 см³ воздуха содержится примерно \(10^2\) пылинок, а у самой поверхности — примерно \(10^5\). Определите среднюю массу пылинки и оцените её размер, предполагая, что плотность пылинки 1,5 г/см³. Температура воздуха 27 °C.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Пылинки — те же «молекулы», только очень тяжёлые. К ним применима барометрическая формула, а раз концентрация падает в \(10^3\) раз всего за 3 км, масса должна быть огромной по молекулярным меркам.\[ n = n_0\,e^{-mgh/kT} \quad\Longrightarrow\quad \frac{mgh}{kT} = \ln\frac{n_0}{n} = \ln10^3 = 6{,}9, \] \[ m = \frac{6{,}9\,kT}{gh} = \frac{6{,}9\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300}{9{,}8\cdot3000} \approx 10^{-24}\ \text{кг}. \]Размер. Считая пылинку шариком плотности \(1{,}5\cdot10^3\) кг/м³:
\[ r = \sqrt[3]{\frac{3m}{4\pi\rho}} = \sqrt[3]{\frac{3\cdot10^{-24}}{4\pi\cdot1{,}5\cdot10^{3}}} \approx 5\cdot10^{-10}\ \text{м}. \] \[ \boxed{m\approx10^{-24}\ \text{кг},\qquad r\approx10^{-9}\ \text{м}} \]Проверка. Нанометр — это всего несколько молекул ✓; такие «пылинки» — это, по сути, крупные молекулярные кластеры, а не привычная пыль. Обратная проверка: настоящая пылинка размером 1 мкм имеет массу \(6\cdot10^{-15}\) кг, и её концентрация падала бы в \(e\) раз уже на высоте \(kT/(mg)=7\cdot10^{-5}\) м ✓ — такие пылинки просто оседают, их держит только турбулентность, а не тепловое движение. Вывод задачи: приведённые в условии числа описывают не пыль, а мельчайшие аэрозольные частицы ✓ — полезное отрезвляющее наблюдение. Размерность: Дж/(м/с²·м) = кг ✓.Ответ \(m\approx10^{-24}\) кг, \(r\approx10^{-9}\) м.Гелий и водород в атмосфере
6/10У поверхности Земли молекул гелия почти в \(10^5\) раз, а водорода почти в \(10^6\) раз меньше, чем молекул азота. На какой высоте число молекул гелия будет равно числу молекул азота? водорода? Принять среднюю температуру атмосферы равной 0 °C.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Лёгкие газы «редеют» с высотой медленнее. Отношение их концентраций растёт как \(\exp[(m_{\text{тяж}}-m_{\text{лёг}})gh/kT]\); приравняв его исходному дефициту, найдём высоту.\[ \frac{n_{\text{лёг}}}{n_{\text{N}_2}} = \frac{n_{\text{лёг},0}}{n_{\text{N}_2,0}} \exp\!\left[\frac{(m_{\text{N}_2}-m_{\text{лёг}})gh}{kT}\right] = 1, \] \[ h = \frac{kT\,\ln(n_{\text{N}_2,0}/n_{\text{лёг},0})} {(m_{\text{N}_2}-m_{\text{лёг}})\,g}. \]Гелий. \(m_{\text{N}_2}-m_{\text{He}} = 24\cdot10^{-3}/N_A = 3{,}99\cdot10^{-26}\) кг, \(\ln10^5 = 11{,}5\), \(kT = 3{,}77\cdot10^{-21}\) Дж:
\[ h_1 = \frac{11{,}5\cdot3{,}77\cdot10^{-21}}{3{,}99\cdot10^{-26}\cdot9{,}8} \approx 1{,}1\cdot10^{5}\ \text{м} = \boxed{111\ \text{км}} \]Водород. \(m_{\text{N}_2}-m_{\text{H}_2} = 26\cdot10^{-3}/N_A = 4{,}32\cdot10^{-26}\) кг, \(\ln10^6 = 13{,}8\):
\[ h_2 = \frac{13{,}8\cdot3{,}77\cdot10^{-21}}{4{,}32\cdot10^{-26}\cdot9{,}8} \approx 1{,}23\cdot10^{5}\ \text{м} = \boxed{123\ \text{км}} \]Проверка. Обе высоты — около сотни километров ✓, и это действительно граница, за которой атмосфера становится «гелиевой», а ещё выше — водородной. Астрономы называют эти слои гелиосферой и протоносферой ✓. Водороду нужно подняться выше ✓ — его дефицит внизу вдесятеро сильнее, хотя и разность масс чуть больше. Модель груба ✓: на таких высотах атмосфера не изотермична (температура меняется от 200 до 1000 К), да и перемешивание до 100 км выравнивает состав. Поэтому реально разделение начинается примерно с этих же высот — оценка честная. Размерность: Дж/(кг·м/с²) = м ✓.Ответ \(h_1\approx111\) км (гелий), \(h_2\approx123\) км (водород).Задача 5.2.17
6/10Испарение жидкости можно рассматривать как «уход» с её поверхности быстрых молекул — тех, кинетическая энергия которых больше энергии связи молекул в жидкости.
а. Оцените число молекул в единице объёма насыщенного пара при температуре \(T\), если молярная теплота парообразования жидкости равна \(q\), а число молекул в единице объёма жидкости равно \(n_0\).
б. При температуре 100 °C молярная теплота парообразования воды — около \(4\cdot10^4\) Дж/моль. Оцените число молекул воды в насыщенном паре при 100 °C.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея В равновесии сколько молекул улетает, столько и возвращается. Улетают лишь те, чья энергия превышает энергию связи \(\varepsilon = q/N_A\), а их доля по Максвеллу-Больцману экспоненциально мала.а. Баланс потоков. Из жидкости в секунду уходит доля молекул \(\propto n_0\bar v\,e^{-\varepsilon/kT}\); из пара возвращается \(\propto n\bar v\) (в пар «падают» все подлетевшие). Приравнивая:
\[ n\,\bar v \sim n_0\,\bar v\,e^{-\varepsilon/kT} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{n \sim n_0\,\exp\left(-\frac{q}{RT}\right)} \](здесь \(\varepsilon/k = q/R\), поскольку \(q\) — молярная теплота, а \(R = kN_A\).)
б. Числа. Для воды \(n_0 = \rho N_A/\mu = 10^3\cdot6{,}02\cdot10^{23}/0{,}018 = 3{,}3\cdot10^{28}\) м⁻³ \(=3{,}3\cdot10^{22}\) см⁻³. При \(T=373\) К
\[ \frac{q}{RT} = \frac{4\cdot10^4}{8{,}31\cdot373} = 12{,}9,\qquad e^{-12{,}9} = 2{,}5\cdot10^{-6}, \] \[ n \sim 3{,}3\cdot10^{22}\cdot2{,}5\cdot10^{-6} \approx 8\cdot10^{16} \approx \boxed{10^{17}\ \text{см}^{-3}} \]Проверка. Истинное значение: насыщенный пар при 100 °C — это ровно 1 атм, значит \(n = P/(kT) = 10^5/(1{,}38\cdot10^{-23}\cdot373) = 1{,}9\cdot10^{25}\) м⁻³ \(=1{,}9\cdot10^{19}\) см⁻³ ✓. Наша оценка занижена примерно в 200 раз — это нормальная точность для такой грубой модели ✓: экспонента \(e^{-12{,}9}\) угадана правильно (её логарифм — с точностью до единиц), а предэкспоненциальный множитель модель просто не знает, ведь в нём сидит энтропия испарения. Главное качественно верно: пар в миллионы раз разреженнее жидкости ✓, и это отношение экспоненциально зависит от температуры ✓ — отсюда крутая кривая давления насыщенного пара. Размерность: показатель \(q/(RT)\) безразмерен ✓.Ответ а. \(n\sim n_0\exp(-q/RT)\). б. \(n\sim10^{16}\ldots10^{17}\) см⁻³ (точнее \(8\cdot10^{16}\) см⁻³; истинное значение \(1{,}9\cdot10^{19}\) см⁻³).Примечание. В «Ответах» книги указано \(10^{15}\) см⁻³ — столько даёт та же формула \(n\sim n_0e^{-q/RT}\), если подставить \(T=273\) К. По-видимому, опечатка (взято 0 °C вместо 100 °C): при \(T=373\) К, как в условии, получается \(\sim10^{17}\) см⁻³.Модель атмосферы Венеры
3/10Атмосфера постоянной плотности высотой h: давление у поверхности rho·g·h, а уравнение состояния газа даёт температуру у поверхности.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Исследование планеты
6/10По графику давления от высоты в атмосфере углекислого газа и температуре на 5 км найти температуру у поверхности — через условие гидростатики и уравнение состояния, определяя профиль температуры.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Я тучка, тучка, тучка...
6/10Адиабатическая атмосфера: температура падает линейно с высотой, оценить высоту атмосферы; нижняя кромка облаков — высота, где температура падает до точки росы при заданной влажности.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
На планете R19
6/10Давление и плотность атмосферы на высоте 1 км при кусочно-линейной температуре: гидростатика идеального газа dp = -ρg dh, интегрирование на участке с линейным T(h).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Нижняя граница кучевых облаков
6/10Подъём влажного воздуха охлаждает его по заданному градиенту, давление пропорционально T^5; по графику насыщения (log-log) находятся точка росы, высота облака и уровень появления льда (варианты 5–6).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Поток тёплого воздуха над площадкой
6/10На горизонтальном участке поля Вася очистил от чистого белого снега площадку с размерами \(1\text{ м} \times 1\text{ м}\). Под лучами весеннего солнца черная земля прогревается и нагревает расположенный над ней воздух. Тепловая мощность, получаемая воздухом от площадки, равна \(W = 0{,}3\) кВт — поскольку солнце зимой находится довольно низко над горизонтом. В безветренную и сухую погоду при температуре воздуха \(T_0 = 273\) К и давлении возле поверхности земли \(p = 10^5\) Па столб теплого воздуха, поднимающийся над площадкой, имеет на высоте \(h = 10\) м температуру \(T_1 = 275\) К и поперечное сечение, равное \(S = 2\text{ м}^2\). Температура окружающего воздуха не зависит от высоты и равна \(T_0\). Молярная масса воздуха \(\mu = 29\) г/моль, его молярная теплоемкость при постоянном давлении равна \(c_p = 7R/2\).
Оцените, с какой скоростью поднимается поток воздуха на высоте \(h\), если процесс уже установился?
Оцените, на какую высоту поднялся бы теплый воздух, если бы отсутствовал теплообмен между теплым воздухом и окружающим его холодным воздухом?
Примечание. Справедлива приближенная формула: \(\Delta\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \dfrac{b\,\Delta a - a\,\Delta b}{b^2}\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ установившемся режиме вся мощность \(W\) уходит на нагрев протекающего через сечение воздуха от \(T_0\) до \(T_1\). Во втором пункте воздух расширяется адиабатически, а давление в нём равно давлению окружающего воздуха на той же высоте.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(u = \dfrac{2T_1 W}{7 S p\,(T_1 - T_0)} \approx 0{,}06\text{ м/с}\); 2) \(h \approx \dfrac{7R\,\Delta T}{2\mu g} \approx 200\text{ м}\).
Устойчивость атмосферы
7/10Сухой адиабатой называется такое распределение температуры \(T_a(h)\) в атмосфере Земли, что при увеличении высоты малой порции (в метеорологии их называют частицами) сухого воздуха на небольшую величину \(\Delta h\) без теплообмена с окружающими частицами её температура изменяется на малую величину \(\Delta T_a\). Найдите \(\Delta T_a\), считая \(\Delta h\) известным. Ускорение свободного падения равно \(g = 10\text{ м/с}^2\). Средние молярные масса и теплоёмкость воздуха при постоянном объёме равны: \(\mu = 29\text{ г/моль}\) и \(c_V = 2{,}5R\) (\(R = 8{,}3\text{ Дж/(моль\)\cdot\(К)}\)) соответственно. Движением воздушных масс можно пренебречь.
Указание. Для малых изменений параметров идеального газа \((T, p, V)\) или \((T, p, \rho)\), где \(\rho\) "— плотность, из уравнения состояния следуют формулы: \[\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta p}{p} + \frac{\Delta V}{V}, \qquad \frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta p}{p} - \frac{\Delta \rho}{\rho}.\]
В естественных условиях равновесное распределение температуры воздуха по высоте имеет сложный вид. Линия на графике ниже моделирует зависимость \(t(h)\), возникшую в воздухе над городом \(X\) в день \(Y\). В физике атмосферы принято откладывать температуру по горизонтальной оси.
Устойчивым является такое равновесное состояние воздуха в атмосфере, что при адиабатическом смещении частицы воздуха из положения равновесия по вертикали на небольшую величину \(\Delta h\), действующие на неё силы стремятся вернуть эту частицу в положение равновесия. Укажите на графике границы (по высоте) участков устойчивой атмосферы. Воздух предлагается считать сухим, наличием паров воды и движением воздушных масс пренебречь, значения, заданные в части А задачи, можно считать известными.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСравните плотность частицы, сместившейся вдоль сухой адиабаты, с плотностью окружающего воздуха на новой высоте: атмосфера устойчива, если частица оказывается тяжелее (при подъёме) окружающего воздуха.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветА) \(\Delta T_a = -\dfrac{2\mu g}{7R}\,\Delta h \approx -10\,{}^\circ\text{С/км}\cdot\Delta h\); Б) атмосфера устойчива на высотах от \(0\) до \(600\text{ м}\), от \(2000\text{ м}\) до \(2600\text{ м}\), от \(7200\text{ м}\) до \(8000\text{ м}\).
Высота горы по капле ртути
5/10Капля не сместилась, значит объём колбы неизменен: давление воздуха в ней меняется пропорционально температуре; разница с атмосферным падением 8 мм рт. ст. на 100 м даёт высоту.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Плоское дно кучевых облаков
5/10Качественное объяснение: нагретый от земли воздух всплывает, адиабатически расширяется и охлаждается до точки росы на определённой высоте — там плоское дно; выделение тепла конденсации создаёт восходящие потоки и клубящуюся верхнюю границу.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Облака в поднимающемся воздухе
6/10Воздух поднимается адиабатически: температура на высоте образования облаков следует из закона Пуассона, высота — из линейного изменения плотности и разности давлений, а выпадение дождя добавляет тепло конденсации при постоянном давлении.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.