Цепная линия, или экспериментальная геометрия
Приборы и оборудование: Лист картона с миллиметровой бумагой, нитка, две кнопки, две гайки.
Некоторые функции, встречающиеся в физике достаточно сложны. Поэтому вместо точных (но сложных) функций используются более простые (но приближенные) функции. В данной работе Вы должны продемонстрировать умение обходится простыми приближенными методами при описании сложных процессов.
Часть 1. Прогиб.
Закрепите лист картона с миллиметровой бумагой вертикально на торце стола. К углу листа с помощью кнопки прикрепите один конец нитки. Второй конец нити закрепляйте на том же уровне, при этом нить, естественно будет провисать.
1.1 Измерьте зависимость величины провисания нити \(z_0\) от расстояния между точками подвеса \(l\). Постройте график полученной зависимости.
1.2 Для приближенного описания полученной зависимости будем считать, что масса всей нити сосредоточена в ее центре. Для имитации этого приближения в центре нити прикрепите гайку. Измерьте зависимость величины провисания \(z_1\) от расстояния между точками подвеса \(l\) в этом случае. На том же бланке постройте график полученной зависимости.
1.3 Возможно более точное приближение к полученной в п. 1.1 зависимости можно получить, если массу нити сосредоточить в двух точках. Разделите нить на три равные части, к точкам деления прикрепите две гайки. Измерьте зависимость величины провисания \(z_2\) от расстояния между точками подвеса \(l\) в этом случае. На том же бланке построите график полученной зависимости.
Получите теоретическую формулу, описывающую зависимость \(z_2(l)\).
1.4 Какое из приближений \(z_1(l)\) или \(z_2(l)\) лучше описывает зависимость \(z_0(l)\). Уточните, что по вашему мнению, означает «лучше».
Часть 2. Положение равновесия.
Разделите нить на три части в отношении \(2:1:3\). К точкам деления прикрепите гайки.
2.1 Измерьте зависимости вертикальных \(z_1, z_2\) и горизонтальных \(x_1, x_2\) координат гаек от расстояния между точками подвеса \(l\). Постройте графики полученных зависимостей (на одном бланке \(z_1(l), z_2(l)\), на другом \(x_1(l), x_2(l)\)).
2.2 Докажите, что полученные значения соответствуют условиям равновесия гаек. Свои доказательства обоснуйте формулами, расчетами и необходимыми графиками.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМассу нити заменяют точечными грузами: для каждого положения равновесия узлы нити образуют треугольники, где работает теорема Пифагора, а условия равновесия гаек записываются как равенство проекций сил.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1.3) \(z_2=\sqrt{\left(\dfrac L3\right)^2-\dfrac14\left(l-\dfrac L3\right)^2}\); 2.2) условие равновесия: \(\dfrac{z_1}{x_1}-\dfrac{z_2}{x_2}=2\,\dfrac{z_2-z_1}{l-x_1-x_2}\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеЧасть 1. Прогиб.
1.1-1.3 Результаты измерений указанных величин прогиба \(z_0\), \(z_1\), \(z_2\) в зависимости от расстояния между точками подвеса \(l\) приведены в Таблице 1. Полная длина нити в этих измерениях равнялась \(L = 300\)мм
Таблица 1.
\(l\), мм \(z_0\), мм \(z_1\), мм \(z_2\), мм \(z_{2\text{теор}}\), мм 300 0 8 8 0,00 290 30 38 32 31,22 280 44 54 44 43,59 270 52 65 52 52,68 260 63 74 61 60,00 250 75 83 66 66,14 240 81 90 70 71,41 230 89 96 74 75,99 220 92 101 79 80,00 210 96 106 82 83,52 200 99 112 85 86,60 190 103 116 88 89,30 180 108 119 90 91,65 170 113 123 92 93,67 160 118 129 94 95,39 150 122 132 96 96,82 140 125 135 98 97,98 130 127 137 99 98,87 120 129 139 100 99,50 
Графики полученных зависимостей показаны на рисунке.
Как ни странно на первый взгляд зависимость прогиба с одной гайкой лежит ближе к зависимости прогиба нити без грузов. Хотя при малых прогибах более точное приближение дает модель с двумя грузами.
Теоретическая зависимость \(z_2(l)\) находится с помощью теоремы Пифагора
\[z_2 = \sqrt{\left(\frac{L}{3}\right)^2 - \frac{1}{4}\left(l - \frac{L}{3}\right)^2}\tag{1}\]
Результаты расчетов по этой формуле приведены в последнем столбце Таблицы 1.
На следующем рисунке показано сравнение теоретической (сплошная линия) и экспериментальных (ромбики) зависимостей (от учеников не требуется!). Видно хорошее соответствие между этими зависимостями. Таким образом, теорема Пифагора доказана экспериментально!
Часть 2. Положение равновесия.
Результаты измерений параметров нити приведены в таблице 2.
Таблица 2.
\(l\), мм \(z_1\), мм \(z_2\), мм \(x_1\), мм \(x_2\), мм 300 12 12 99 150 290 34 38 94 145 280 46 52 89 141 270 54 62 84 137 260 62 71 78 132 250 68 79 73 128 240 73 85 68 124 230 76 91 65 119 220 80 96 60 115 210 83 102 56 110 200 85 107 53 105 190 88 111 47 101 180 89 115 46 96 170 90 119 44 91 160 91 122 41 87 150 92 125 39 83 140 93 128 37 78 130 94 131 34 73 120 94 134 34 67 Графики эти зависимостей показаны на рисунке.
Проверку выполнения условий равновесия можно проводить различными способами. Условия равновесия гаек имеют вид
\[\begin{aligned} T_1 \cos \alpha_1 - T_2 \cos \alpha_2 &= mg \\ T_3 \cos \alpha_3 + T_2 \cos \alpha_2 &= mg \\ T_1 \sin \alpha_1 &= T_2 \sin \alpha_2 \\ T_3 \sin \alpha_3 &= T_2 \sin \alpha_2 \end{aligned}\tag{2}\]
Из двух последних равенств выразим
\[T_1 = T_2 \frac{\sin \alpha_2}{\sin \alpha_1}, \quad T_3 = T_2 \frac{\sin \alpha_2}{\sin \alpha_3}\]
И подставим в выражение (которое следует из первых двух уравнений системы(2))
\[T_1 \cos \alpha_1 - T_2 \cos \alpha_2 = T_3 \cos \alpha_3 + T_2 \cos \alpha_2\]
В результате получим формулу
\[\frac{\cos \alpha_1}{\sin \alpha_1} - \frac{\cos \alpha_3}{\sin \alpha_3} = 2 \frac{\cos \alpha_2}{\sin \alpha_2},\tag{3}\]
Которая допускает простую экспериментальную проверку, если ее представить в виде
\[\frac{z_1}{x_1} - \frac{z_2}{x_2} = 2 \frac{z_2 - z_1}{l - x_1 - x_2}.\tag{4}\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Две конструкции с грузом Савченко, №2.8.1
- Карандаш в пенале Савченко, №2.8.2
- Подвижный блок и две пружины Савченко, №2.8.7
- Балки с грузами Савченко, №2.8.18
- Линейка на двух опорах Савченко, №2.8.19
- Клапан и стержень (С3) ЕГЭ 2010, 11 кл.