Края в физике

Подсказка

Четыре независимые мини-задачи про «край»: в соленоиде поле на краю вдвое слабее, цепочка на закруглении стола подчиняется формуле Эйлера для троса, диполь у проводящей плоскости заменяют изображениями, а фокус краевых лучей находят из угла полного отражения.

Ответ

1.1) \(B_\infty=\mu_0IN/L\); 1.2) \(B_{\max}=B_\infty\) (в центре), \(B_{\min}=B_\infty/2\) (на краях); 2.1) \(x_1=\frac{L}{1/\mu+1}\approx0{,}39\,L\); 2.2) \(x_2\approx0{,}63\,L\); 3.1) \(F_\perp=\frac{3kq^2L^2}{8r^4}\); 3.2) \(F_\parallel=\frac{3kq^2L^2}{4r^4}\); 4.1) \(\Delta F=Rn\left(\frac1{n-1}-\frac1{\sqrt{n^2-1}}\right)\) (плосковыпуклая), \(\Delta F'=R\left(\frac{n}{n-1}-\frac1{\sqrt{n^2-1}}\right)\) (плосковогнутая).

Решение

1. Край соленоида

1.1 Для бесконечного соленоиду

\[B_{\infty} = \frac{\mu_0 IN}{2L} \left( \cos 0^0 + \cos 0^0 \right) = \frac{\mu_0 IN}{L}\]

1.2 Для индукции в произвольной точке внутри соленоида

\[B_x = \frac{\mu_0 IN}{2L} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + r^2}} + \frac{L-x}{\sqrt{(L-x)^2 + r^2}} \right)\]

На рисунке показан график этой функции (от учеников его построение не требуется). Видно, что при увеличении отношения длины к радиусу соленоида влияние его краев на поле уменьшается. Можно сказать, что краевые эффекты распространяются на глубину порядка диаметра соленоида. Индукция магнитного поля на краю соленоида равна:

\[B _ { 0 } = B _ { L } = \frac { \mu _ { 0 } I N } { 2 L } \cdot \frac { L } { \sqrt { L ^ { 2 } + r ^ { 2 } } } = \frac { \mu _ { 0 } I N } { 2 L \sqrt { 1 + \frac { r ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } } } \approx \frac { \mu _ { 0 } I N } { 2 L } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { r ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) \approx \frac { \mu _ { 0 } I N } { 2 L } = \frac { 1 } { 2 } B _ { \infty }\]

Индукция магнитного поля в центре соленоида (\(x = L/2\)) равна:

\[B_{L/2} = \frac{\mu_0 I N}{2L} \cdot 2 \frac{\frac{L}{2}}{\sqrt{\frac{L^2}{4} + r^2}} = \frac{\mu_0 I N}{L \sqrt{1 + \frac{4r^2}{L^2}}} \approx \frac{\mu_0 I N}{L} \left(1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{4r^2}{L^2}\right) \approx \frac{\mu_0 I N}{L} = B_\infty\]

Индукция магнитного поля \(B_x\) вдоль оси соленоида конечной длины \(L \gg r\) принимает максимальное значения в центре соленоида \(B_{L/2} = \frac{\mu_0 I N}{L} = B_\infty = B_{x(\text{max})}\) и минимальное значения на краях соленоида \(B_0 = B_L = \frac{\mu_0 I N}{2L} = \frac{1}{2} B_\infty = B_{x(\text{min})}\)

1.3 Если смотреть справа на соленоид, то направление тока совпадает с направлением вращения буравчика по часовой стрелке. Количество силовых линий магнитного поля \(K\) пропорционально модулю вектора магнитной индукции \(B\) (\(K \propto B\)). В центре соленоида \(K1=13\), на краю соленоида \(K2=7\).

При конечной длине соленоида начинают сказываться краевые эффекты: поле внутри соленоида перестает быть однородным, меняется радиальная \(B_r\) и осевая \(B_x\) составляющие магнитного поля.

2.1 Из условия равновесия цепочки,

\[\frac{m}{L} x_{1} g = \mu \frac{m}{L} (L - x_{1}) g\]

следует, что максимально возможная длина свисающей части цепочки равна

\[x_{1} = \frac{L}{\frac{1}{\mu} + 1} = \frac{L}{2{,}57} \approx 0{,}39 L\]

2.2 Так как \(R \ll L\), то массой цепочки на изгибе стола можно пренебречь:

\[\Delta m = \frac{m}{L} R \frac{\pi}{2} \approx 0\]

Тогда условие равновесия с учетом силы трения приобретет вид

\[\frac{m}{L} x_{2} g = \mu \frac{m}{L} (L - x_{2}) g \cdot 2{,}7^{\mu \cdot \beta}, \quad \text{где } \beta = \frac{\pi}{2}\]

Подстановка численных значений дает результат

\[x_{2} = \frac{L}{\frac{1}{\mu 2{,}7^{\mu \cdot \beta}} + 1} = \frac{L}{\frac{\pi}{2 \cdot 2{,}7} + 1} = \frac{L}{1{,}582} \approx 0{,}63 L\]

Учет действия края стола на цепочку увеличивает значение х более чем в полтора раза!

\[\frac{x_{2}}{x_{1}} \approx 1{,}63\]

3. «Край» электрического диполя

3.1 Для определения силы взаимодействия диполя с проводящей плоскостью воспользуемся методом электростатических изображений.

\[\vec{F}_{\perp} = \vec{F}_{13} + \vec{F}_{24} + \vec{F}_{14} + \vec{F}_{23}\]

\[F_{\perp} = k q^{2} \left( -\frac{1}{4 r^{2}} - \frac{1}{4 r^{2}} + \frac{1}{4 \left( r + \frac{L}{2} \right)^{2}} + \frac{1}{4 \left( r - \frac{L}{2} \right)^{2}} \right) = \frac{k q^{2}}{4} \left( -\frac{2}{r^{2}} + \frac{2 r^{2} + \frac{L^{2}}{2}}{r^{4} \left( 1 - \frac{L^{2}}{4 r^{2}} \right)^{2}} \right)\]

Учтем формулу приближения:

\[\left( 1 - \frac{L^{2}}{4 r^{2}} \right)^{-2} \approx 1 - (-2) \frac{L^{2}}{4 r^{2}} = 1 + \frac{L^{2}}{2 r^{2}}\]

\[F _ { \perp } = \frac { k q ^ { 2 } } { 4 } \left( - \frac { 2 } { r ^ { 2 } } + \frac { \left( 2 r ^ { 2 } + \frac { L ^ { 2 } } { 2 } \right) \left( 1 + \frac { L ^ { 2 } } { 2 r ^ { 2 } } \right) } { r ^ { 4 } } \right) \approx \frac { 3 k q ^ { 2 } L ^ { 2 } } { 8 r ^ { 4 } }\]

Учтено, что \(\frac { L ^ { 4 } } { 2 r ^ { 2 } } \approx 0\), т. к. L>>r. \(\vec { F } _ { 1 4 }\)

3.2 Из симметрии задачи следует, что

\[F _ { 1 4 } = F _ { 2 3 } = k \frac { q ^ { 2 } } { L ^ { 2 } + 4 r ^ { 2 } } , \quad F _ { 1 3 } = F _ { 2 4 } = k \frac { q ^ { 2 } } { 4 r ^ { 2 } }\]

Сила взаимодействия диполя с проводящей плоскостью при параллельной ориентацией равна:

\[F _ { \parallel } = 2 F _ { 1 3 } - 2 F _ { 1 4 } \cos \alpha\]

\[F _ { \parallel } = 2 k q ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } - \frac { 1 } { L ^ { 2 } + 4 r ^ { 2 } } \cdot \frac { 2 r } { \sqrt { L ^ { 2 } + 4 r ^ { 2 } } } \right) = 2 k q ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } - \frac { 2 r } { 8 r ^ { 3 } \left( 1 + \frac { L ^ { 2 } } { 4 r ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 2 } } \right)\]

По формуле приближения \(\left( 1 + \frac { L ^ { 2 } } { 4 r ^ { 2 } } \right) ^ { - 3 / 2 } \approx 1 - \frac { 3 } { 2 } \cdot \frac { L ^ { 2 } } { 4 r ^ { 2 } }\)

\[F _ { \parallel } = 2 k q ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { 3 } { 2 } \frac { L ^ { 2 } } { 4 r ^ { 2 } } \right) \right) = \frac { 3 k q ^ { 2 } L ^ { 2 } } { 4 r ^ { 4 } } \quad \quad F _ { \perp } = \frac { 1 } { 2 } F _ { \parallel }\]

4. Край сферической линзы

4.1 Расстояние крайнего фокуса от центра сферической поверхности OF1 для плосковыпуклой поверхности определим из условия полного внутреннего отражения.

\[\sin \alpha _ { 0 } = \frac { 1 } { n } , \quad O F _ { 1 } = \frac { R } { \cos \alpha _ { 0 } } = \frac { R } { \sqrt { 1 - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } } = \frac { R n } { \sqrt { n ^ { 2 } - 1 } }\]

Расстояние параксиального фокуса от центра сферической поверхности OF для плосковыпуклой поверхности определим для очень узкого пучка лучей .

Для малых углов можно считать \(\sin \theta \approx \operatorname { t g } \theta \approx \theta\)

\[n \alpha = \beta \quad ( 1 ) , \quad \frac { h } { R } = \alpha \quad ( 2 ) , \quad \frac { h } { O F - R } = \gamma \quad ( 3 ) , \quad \beta = \alpha + \gamma \quad ( 4 )\]

Решая систему уравнений \(( 1 ) - ( 4 )\), получаем:

\[O F = \frac { R n } { n - 1 }\]

\[\Delta F = R n \left( \frac { 1 } { n - 1 } - \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } - 1 } } \right)\]

4.2 Расстояние крайнего фокуса от центра сферической поверхности OF1 для плосковогнутой поверхности определим из условия полного внутреннего отражения.

\[\sin \alpha _ { 0 } = \frac { 1 } { n }\]

\[O F _ { 1 } = \frac { R } { t g \alpha _ { 0 } } = \frac { R } { \sqrt { n ^ { 2 } - 1 } }\]

Расстояние параксиального фокуса от центра сферической поверхности OF для плосковогнутой поверхности определим для очень узкого пучка лучей.

Для малых углов можно считать \(\sin \theta \approx t g \theta \approx \theta\)

\[n \alpha = \beta _ { ( 1 ) } , \frac { h } { R } = \alpha _ { ( 2 ) } , \frac { h } { O F - R } = \gamma _ { ( 3 ) } , \beta = \alpha + \gamma _ { ( 4 ) }\]

\[O F = \frac { R n } { n - 1 }\]

Решая систему уравнений (1) – (4), получаем:

\[\Delta F ^ { \prime } = R \left( \frac { n } { n - 1 } - \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } - 1 } } \right)\]

4.3 Можно предложить несколько способов уменьшения сферической аберрации сферической поверхности линзы:

А) С увеличением показателя преломления материала линзы уменьшается \(\Delta F\).

\[\Delta F = R n \left( \frac { 1 } { n - 1 } - \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } - 1 } } \right) \quad \Delta F ^ { \prime } = R \left( \frac { n } { n - 1 } - \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } - 1 } } \right)\]

В) Уменьшение ширины пучка света приближает значение краевого фокуса к параксиальному, что приводит к уменьшению значения \(\Delta F\). Ширину пучка света можно регулировать диафрагмой.

С) Можно заметить, что плосковыпуклая сферическая поверхность смещает краевой

фокус по ходу лучей, а плосковогнутая поверхность смещает краевой фокус против хода лучей!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.