О капле

В этой задаче рассматривается эффект уменьшения температуры капли воды вследствие испарения с её поверхности при близких к комнатным давлении и температуре.

В одном из экспериментов шарообразная капля воды радиусом порядка миллиметра удерживалась силами поверхностного натяжения на тонкой полимерной леске. Зависимость температуры капли от времени измерялась с помощью высокоточного инфракрасного тепловизора. Вдали от капли (на «бесконечности») поддерживались постоянные значения: температуры \(T_\infty\), давления \(p_\infty\) и относительной влажности воздуха \(\varphi_\infty\). Обнаружилось, что если в начальный момент температура капли была равна температуре на бесконечности \(T_\infty\), то затем в течение короткого времени она уменьшалась до значения \(T_\infty - \Delta T\) (\(\Delta T\) порядка нескольких градусов) и далее длительное время оставалась постоянной. Предлагается определить величину разности температур \(\Delta T\), учитывая диффузию пара от капли на бесконечность и тепловой поток, обусловленный разностью температур капли и воздуха на бесконечности. Конвекцией и передачей тепла по леске предлагается пренебречь.

В стационарном режиме в пространстве вне капли устанавливается распределение концентрации пара \(n(r)\) и температуры \(T(r)\). В силу сферической симметрии концентрация и температура зависят только от расстояния до центра капли \(r\) и удовлетворяют уравнениям: \[\frac{dN}{dt} = -D \cdot 4\pi r^2 \frac{dn}{dr}, \qquad \frac{dQ}{dt} = -\kappa \cdot 4\pi r^2 \frac{dT}{dr}.\] где \(dN\) — количество молекул пара, проходящих за время \(dt\) через поверхность сферы радиусом \(r\), концентрической с каплей, \(dQ\) — количество тепла, переносимого за время \(dt\) через поверхность той же сферы; коэффициенты диффузии и теплопроводности \(D\) и \(\kappa\) можно считать постоянными. Маленькими стрелками на рисунке символически показан поток диффундирующих молекул пара.

A. Коэффициенты диффузии и теплопроводности \(D\) и \(\kappa\), молярная масса \(\mu_{\text{H}_2\text{O}}\), удельная теплота испарения воды \(L\) и радиус капли \(r_0\) считаются известными. Изменение радиуса капли вследствие испарения можно считать незначительным.

A1) Температура у поверхности капли \(T(r_0)\) и температура на бесконечности \(T_\infty\) (см. рис.) известны. Определите тепловой поток \(\dfrac{dQ}{dt}\) и распределение температуры \(T(r)\).

A2) Известны концентрации пара: \(n(r_0)\) и \(n_\infty\), определите массу воды, испаряющейся с поверхности капли за малое время \(t\).

A3) Используя результаты пунктов A1) и A2), выразите разность плотностей пара у капли и на бесконечности \(\Delta\rho = \rho(r_0) - \rho_\infty\) через разность температур \(\Delta T = T_\infty - T(r_0)\).

B. Отношение коэффициентов теплопроводности и диффузии в условиях задачи удовлетворяет соотношению: \[\frac{\kappa}{D} = \frac{v_{\text{в}}}{v_{\text{H}_2\text{O}}} \cdot \frac{c_V \rho_{\text{в}}}{\mu_{\text{в}}},\] где \(v_{\text{H}_2\text{O}}\) и \(v_{\text{в}}\) — среднеквадратичные скорости молекул воды и воздуха, \(c_V = 2{,}5R\) — молярная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме, \(\rho_{\text{в}}\) — плотность воздуха. Определите отношение коэффициентов при температуре 300 К. При расчёте плотности давление воздуха можно считать равным \(10^5\) Па. Универсальная газовая постоянная равна \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К), молярные массы воды и воздуха: \(\mu_{\text{H}_2\text{O}} = 18\) г/моль и \(\mu_{\text{в}} = 29\) г/моль соответственно. Убедитесь в том, что при изменении температуры на 10 К отношение коэффициентов меняется незначительно.

C. Используя график зависимости плотности насыщенного пара воды от температуры, приведённый на рисунке ниже, а также результаты, полученные в частях A и B, определите как можно точнее величину разности температур \(\Delta T\), для следующих значений параметров на бесконечности: \(T_\infty = 27\,^\circ\)С, \(\varphi_\infty = 70\) %. Удельная теплота испарения воды и давление воздуха равны: \(L = 2{,}4 \cdot 10^6\) Дж/кг и \(p_0 = 10^5\) Па соответственно.