Малые колебания груза и обруча

Свяжите смещение груза со смещением верхней точки обруча, к которой прикреплена пружина, и запишите полную энергию системы через скорость груза.

Пусть груз массой \(m\) отклонился от положения равновесия на \(x\) вниз. Тогда деформация пружины равна \(2x\), так как обруч движется без проскальзывания. Полная энергия системы равна: \[E = -mgx + \frac{m\dot x^2}{2} + M\dot x^2 + 4\,\frac{kx^2}{2} = \text{const}.\] Продифференцировав это выражение по времени, получаем: \[-mg\dot x + m\dot x\ddot x + 2M\dot x\ddot x + 4kx\dot x = 0 \;\Longrightarrow\; \ddot x + \frac{4k}{m + 2M}\left(x - \frac{mg}{4k}\right) = 0.\] Окончательно получаем: \[\omega_0^2 = \frac{4k}{m + 2M}.\]