Протон на окружности в E и B

Равнодействующая электрической силы и силы Лоренца направлена к центру и создаёт центростремительное ускорение. Направление обхода может быть любым, поэтому уравнение для скорости квадратное и имеет два корня.

Пусть \(v\) — скорость движения протона по окружности (если протон движется в направлении, противоположном указанному на рисунке, будем считать скорость отрицательной).

Действующая на протон сила равна \(eE + evB\) и направлена к центру окружности. Поскольку ускорение протона равно \(v^2/R\), из второго закона Ньютона получим \[m\frac{v^2}{R} = e(E + vB).\] Решая квадратное уравнение, находим возможные значения скорости протона: \[v = \frac{eBR}{2m} \pm \sqrt{\left(\frac{eBR}{2m}\right)^2 + \frac{eER}{m}}.\] Эти значения много меньше скорости света при соблюдении двух условий: \(BR \ll mc/e\), \(ER \ll mc^2/e\). Поскольку \(mc^2/e \simeq 10^9\) В, а \(ER = 10^3\) В и \(BcR = 3\cdot 10^7\) В, данные условия в задаче выполняются.

Кинетическую энергию протона можно выразить из второго закона Ньютона: \[K = \frac{mv^2}{2} = \frac12 eRE\left(1 + \frac{vB}{E}\right).\] Величину \(vB/E\) удобно выразить через параметр \(\alpha = \dfrac{eB^2R}{2mE}\); тогда \(\dfrac{vB}{E} = \alpha \pm \sqrt{\alpha^2 + 2\alpha}\) и \[K = \frac12 eRE\left(\alpha + 1 \pm \sqrt{\alpha^2 + 2\alpha}\right).\] Проведём подстановку числовых значений. В случае (а) \(\alpha = 0\), и кинетическая энергия протона может принимать только одно значение \(K = eRE/2\). Чтобы выразить её в электронвольтах, рассчитаем отношение \(K/e = RE/2 = 500\) В; отсюда \(K = 500\) эВ.

В случае (б) \(\alpha \simeq 471\). Кинетическая энергия протона может принимать два значения. Одно из них равно \[K = \frac12 eRE\left(\alpha + 1 + \sqrt{\alpha^2 + 2\alpha}\right) \simeq eRE\alpha \simeq 470\text{ кэВ}.\] Второе значение энергии равно \[K = \frac12 eRE\left(\alpha + 1 - \sqrt{\alpha^2 + 2\alpha}\right) = \frac12 eRE\,\frac{1}{\alpha + 1 + \sqrt{\alpha^2 + 2\alpha}} \simeq \frac{eRE}{4\alpha} \simeq 0{,}53\text{ эВ}.\]