Полный улёт

Частица идёт по винтовой линии с постоянной по модулю скоростью. В самом начале \(r \approx vt\); а прямая \(r = v_\parallel t\) лежит не выше графика и касается его в моменты, кратные периоду обращения.

Постоянное магнитное поле не совершает работы над заряженной частицей, и поэтому, если пренебречь излучением, модуль скорости частицы не изменяется. Поэтому величина скорости частицы равна величине скорости при \(t = 0\).

Отметим, что при конечных ускорениях всегда существует такой «малый» интервал времени после начала движения, на котором скорость удаления частицы от начального положения примерно равна начальной скорости, то есть можно считать, что \(r \approx vt\). Поэтому для нахождения скорости частицы проведём касательную к графику функции в начале координат (верхняя прямая на графике). Величина скорости при этом численно равна тангенсу угла наклона этой прямой: \[v = \frac{9{,}8\text{ см}}{14\text{ мкс}} \approx 7\text{ км/с}.\]

Направим ось \(z\) вдоль вектора индукции магнитного поля, выбирая для простоты начало координат так, чтобы \(z = 0\) при \(t = 0\). Обозначим \(v_\parallel\) проекцию вектора скорости частицы на ось \(z\), а \(v_\perp\) — величину перпендикулярной этой оси составляющей. Так как сила Лоренца, действующая на частицу, не имеет составляющей вдоль оси \(z\), \[z(t) = v_\parallel t.\] В сечении, перпендикулярном оси \(z\), движение частицы происходит по окружности с постоянной скоростью \(v_\perp\). Радиус этой окружности равен \[R = \frac{mv_\perp}{qB},\] где \(B\) — модуль вектора магнитной индукции, а время одного оборота \[T = \frac{2\pi R}{v_\perp} = \frac{2\pi m}{qB}.\] Таким образом, траектория частицы представляет собой винтовую линию с шагом \(h = v_\parallel T\) и радиусом \(R = v_\perp T/(2\pi)\). Выбирая оставшиеся оси координат максимально удобным способом, можно записать, что \[x(t) = R\cos(2\pi t/T), \qquad y(t) = R\sin(2\pi t/T),\] откуда, учитывая, что в момент \(t = 0\) частица находилась в точке с координатами \(x = R\), \(y = z = 0\), получим формулу зависимости модуля её перемещения от времени: \[r(t) = \sqrt{(x(t) - R)^2 + y(t)^2 + z(t)^2} = \sqrt{v_\parallel^2t^2 + 4R^2\sin^2(\pi t/T)}.\]

Возьмём теперь выражение для \(r(t)\) и поделим его на \(t\): \[\frac{r(t)}{t} = \sqrt{v_\parallel^2 + 4R^2\cdot\left(\frac{\sin(\pi t/T)}{t}\right)^2}.\] Второе слагаемое в подкоренном выражении при любом \(t\) не может быть меньше нуля, следовательно \(r(t)/t \geqslant v_\parallel\). Это значит, что прямая, идущая в координатах \(r\)–\(t\) из начала, имеющая общие точки с приведённым в условии графиком и обладающая наименьшим угловым коэффициентом, является прямой \(r = |v_\parallel|t\). Соответственно, для того чтобы определить \(v_\parallel\), проведём касательную из начала координат к нижней части графика (нижняя прямая на рисунке). Точки касания соответствуют ситуации, когда частица находится на прямой, проходящей через начальную точку и параллельной линиям магнитного поля. Тангенс наклона такой прямой численно равен \(|v_\parallel|\): \[|v_\parallel| = \frac{7{,}6\text{ см}}{40\text{ мкс}} = 1{,}9\text{ км/с}.\] Отсюда находим, что \[\cos\alpha = \frac{v_\parallel}{v} = \pm\frac{1{,}9}{7} \approx \pm0{,}271 \quad\Rightarrow\quad \alpha \approx 74^\circ \quad\text{или}\quad \alpha \approx 106^\circ.\]

Точки касания нижней прямой располагаются через равные промежутки времени, равные времени \(T\) прохода частицей одного витка винтовой линии. Для увеличения точности возьмём крайнюю (третью) точку касания и определим значение \(T\): \[T = 34\text{ мкс}/3 \approx 11{,}3\text{ мкс}.\] Отсюда получим, что \[B = \frac{2\pi m}{qT} = \frac{2\cdot3{,}14\cdot10^{-26}\text{ кг}}{1{,}6\cdot10^{-19}\text{ Кл}\cdot11{,}3\cdot10^{-6}\text{ с}} \approx 35\text{ мТл}.\]

Между положениями \(A\) и \(B\) прошло время, равное \[t_{AB} = 39\text{ мкс} - 14\text{ мкс} = 25\text{ мкс}.\] За это время частица сместилась вдоль линий магнитного поля на расстояние \[\Delta z = |v_\parallel|t_{AB} = 4{,}75\text{ см}.\] В проекции на перпендикулярную магнитному полю плоскость частица движется по окружности с радиусом \[R = (v_\perp T)/2\pi = T/2\pi\cdot\sqrt{v^2 - v_\parallel^2} \approx 1{,}21\text{ см}.\] Её смещение в этой плоскости равно \[\Delta l = 2R\sin(\pi t_{AB}/T) \approx 1{,}50\text{ см}.\] Отсюда получим значение расстояния \(AB\): \[L_{AB} = \sqrt{\Delta l^2 + \Delta z^2} \approx 5{,}0\text{ см}.\]