Песчинки на колеблющейся пластине

Песчинка отрывается от пластины в тот момент, когда ускорение пластины становится равным \(g\) и направлено вниз. Дальше применим закон сохранения энергии песчинки.

Направим координатную ось \(x\) вертикально вверх и положим \(x=0\) в среднем положении пластины. Координата пластины меняется по закону \(x = A\sin\omega t\), где \(\omega = 2\pi f\) — циклическая частота колебаний. Тогда \[v_x = A\omega\cos\omega t, \qquad a_x = -A\omega^2\sin\omega t.\] Песчинки отрываются от пластины и подпрыгивают при движении пластины снизу вверх. Обозначим момент отрыва через \(t_0\), а координату пластины в этот момент — через \(h\). В момент отрыва сила давления песчинки на пластину обращается в нуль, поэтому ускорение песчинки равно \(g\): \[-A\omega^2\sin\omega t_0 = -g.\] Отсюда \(\sin\omega t_0 = \dfrac{g}{A\omega^2}\) и \[h = A\sin\omega t_0 = \frac{g}{\omega^2}, \qquad v_{x0} = A\omega\cos\omega t_0.\] Закон сохранения энергии песчинки для момента отрыва и высшей точки траектории на высоте \(H\) (\(m\) — масса песчинки): \[mgh + \frac{mv_{x0}^2}{2} = mgH.\] Разделим на \(mg\) и подставим \(h\) и \(v_{x0}\), учитывая \(\cos^2\omega t_0 = 1 - \dfrac{g^2}{A^2\omega^4}\): \[\frac{g}{\omega^2} + \frac{A^2\omega^2}{2g}\left(1 - \frac{g^2}{A^2\omega^4}\right) = H \quad\Longrightarrow\quad \frac{g}{2\omega^2} + \frac{A^2\omega^2}{2g} = H.\] Отсюда \[A = \sqrt{\frac{2gH}{\omega^2} - \frac{g^2}{\omega^4}} = \sqrt{\frac{2gH}{(2\pi f)^2} - \frac{g^2}{(2\pi f)^4}} \approx 5\cdot 10^{-5}~\text{м}.\]