Задачи › Закон всемирного тяготения, невесомость

Сила притяжения внутри Земли

  1. Сила притяжения внутри Земли

    Ведомственная 2011/12, 11 кл.
    4/10

    Известно, что при подъёме тела с поверхности Земли сила \(F\) его притяжения к Земле уменьшается. А как изменяется эта сила при погружении тела в шахту, доходящую до центра Земли? Постройте график зависимости силы \(F\) от расстояния \(r\) между телом и центром Земли. Масса тела равна \(m\). Считать Землю однородным шаром радиусом \(R_\text{з}\), массой \(M_\text{з}\). Гравитационная постоянная \(G\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Внутри однородного шара на тело действует только притяжение той части Земли, которая находится ближе к центру, чем тело. Как эта масса зависит от \(r\)?

    Ответ

    \(F = \dfrac{GM_\text{з}m}{r^2}\) при \(r\ge R_\text{з}\);  \(F = \dfrac{GM_\text{з}m\,r}{R_\text{з}^3}\) при \(r<R_\text{з}\). График: \(F\) растёт линейно от нуля при \(r=0\) до максимума в точке \(r=R_\text{з}\), далее убывает обратно пропорционально \(r^2\).

    Решение

    При \(r>R_\text{з}\) сила \(F = \dfrac{GM_\text{з}m}{r^2}\).

    При погружении тела в шахту действующая на него гравитационная сила зависит только от массы части земного шара радиусом \(r\), равным расстоянию от тела до центра Земли: \[F = G\,\frac{M_\text{з}}{\frac{4}{3}\pi R_\text{з}^3}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3\cdot\frac{m}{r^2} = \frac{GM_\text{з}m\,r}{R_\text{з}^3},\] где \(\dfrac{M_\text{з}}{\frac{4}{3}\pi R_\text{з}^3}\) — плотность вещества Земли, \(\frac{4}{3}\pi r^3\) — объём части земного шара радиусом \(r\).

    График искомой зависимости имеет вид:

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх