Туннель Барановичи — Пекин

Внутри однородного шара сила тяжести пропорциональна расстоянию до центра, а проекция на туннель — смещению от его середины. Значит, вагон совершает гармонические колебания.

\(\tau=\pi\sqrt{R/g_0}\approx 2540\text{ с}\approx 40\text{ мин}\).

10-2. При движении вагона внутри туннеля сила тяжести вагона будет изменяться при изменении расстояния до центра Земли. Найдем ускорение свободного падения \(g\) в точке, находящейся на расстоянии \(r\) до центра Земли. Слои, находящиеся на большем расстоянии от центра не будут вносить вклад в величину силы тяжести. Поэтому по закону всемирного тяготения

\[mg = G \frac{m}{r^2} \frac{4}{3} \pi \rho r^3 = \frac{4\pi}{3} G m r \rho,\tag{1}\]

где \(\rho\) — средняя плотность Земли, \(G\) — гравитационная постоянная. Учитывая, что на поверхности Земли ускорение свободного падения равно \(g_0 = 9{,}8\,\text{м}/\text{с}^2\), из (1) можно записать

\[g = g _ { 0 } \, \frac { r } { R } ,\tag{2}\]

где \(R\) — радиус Земли.

Пусть ось \(X\) направлена вдоль туннеля, начало отсчета совместим с его центром. Тогда в точке А, находящейся на расстоянии \(r = \vert AC\vert\) от центра Земли, ускорение вагона может быть найдено из второго закона Ньютона

\[m a = - m g \sin \alpha ,\tag{3}\]

учитывая (2), получим

\[a = - g _ { 0 } \, \frac { r } { R } \sin \alpha = - \frac { g _ { 0 } } { R } x ,\tag{4}\]

где \(x = r \sin \alpha\) координата точки \(A\). (4) есть уравнение гармонических колебаний, с круговой частотой

\[\omega = \sqrt { \frac { g _ { 0 } } { R } } ,\]

Время движения в одну сторону \(\tau\) равно половине периода колебаний, т.е.

\[\tau = \frac { T } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \frac { 2 \pi } { \omega } = \pi \sqrt { \frac { R } { g _ { 0 } } } \approx 2540\,\text{с} \approx 4 0 \, \text{мин}.\tag{5}\]

Интересно заметить, что это время остается одним и тем же для любых точек, находящихся на поверхности Земли и соединенных прямым туннелем.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.