Два груза и пружина

Исключив натяжение нити, получите ускорение, линейно зависящее от смещения: это гармонические колебания. Крайние положения найдите из закона сохранения энергии при \(v=0\).

Ускорение меняется от \(g/2\) до \(-g/2\); \(v_{\max}=g\sqrt{m/(2k)}\).

10-5. Пусть грузы сместятся на расстояние \(x\). На основании второго закона Ньютона можно записать

\[\begin{cases} ma = mg - T, \\ ma = -T - kx, \end{cases}\tag{1}\]

где \(T\) — натяжение нити, \(-kx\) — сила упругости пружины. Исключая из системы (1) величину \(T\) получим

\[a = \frac{g}{2} - \frac{k}{2m}x.\tag{2}\]

Запишем также уравнение закона сохранения энергии

\[mgx = 2\frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}.\tag{3}\]

Из (3) найдем экстремальные смещения грузов (когда \(v = 0\))

\[x_0 = 0, \qquad x_1 = 2\frac{mg}{k}.\tag{4}\]

Из уравнения (2) следует, что ускорения грузов линейно зависят от их смещения, следовательно, пределы изменения ускорения соответствуют предельным значениям \(x\),

\[a_0 = \frac{g}{2}, \quad a_1 = -\frac{g}{2}.\tag{5}\]

Скорость грузов максимальна, когда их ускорение равно нулю, т.е. при \(x = \frac{mg}{k}\), из (3) находим

\[v_{max} = \sqrt{\frac{m}{2k}}g\tag{6}\]

Укажем еще один способ решения. Уравнение (2) есть уравнение гармонических колебаний с частотой

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{2m}}.\]

Положению равновесия соответствует координата

\[x = \frac{mg}{k},\]

учитывая, что начальное положение есть \(x=0\), можно сказать, что амплитуда колебаний грузов

\[A=\frac{m g}{k} .\]

Тогда максимальная скорость

\[v_{\max }=A \omega=\frac{m g}{k} \sqrt{\frac{k}{2 m}}=g \sqrt{\frac{m}{2 k}} ;\]

максимальное ускорение

\[a_{\max }=A \omega^{2}=\frac{m g}{k} \cdot \frac{k}{2 m}=\frac{g}{2} .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.