Разряд шарика в жидкости

Запишите закон Ома в дифференциальной форме для поля у поверхности шарика: ток стекания пропорционален заряду. Время разряда оцените как заряд, делённый на начальный ток.

\(\tau\approx\varepsilon_0\rho\).

10-1. Воспользуемся законом Ома в дифференциальной форме и запишем плотность тока у поверхности шарика

\[j = \frac{E}{\rho},\tag{1}\]

где \(E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\) — напряженность электрического поля у поверхности шарика, \(q\) — его заряд, \(R\) — радиус. Сила тока, стекающего с шарика,

\[I = j \cdot S = \frac{q}{\varepsilon_0 \rho},\tag{2}\]

где \(S = 4\pi R^2\) — площадь поверхности шарика. Сила тока — есть скорость изменения заряда шарика \(\frac{\Delta q}{\Delta t}\). Как следует из (2), сила тока не является постоянной, а зависит от заряда шарика. Однако, для получения оценки времени исчезновения заряда, можно положить ее постоянной и равной \(I_0 = \frac{q_0}{\varepsilon_0 \rho}\), где \(q_0\) — начальный заряд шарика. Тогда время разряда оценивается по формуле

\[\tau = \frac{q_0}{I_0} = \varepsilon_0 \rho.\]

Отметим, что эта оценка впервые получена Дж.К.Максвеллом и носит название максвелловское время релаксации. Можно показать, что за это время заряд уменьшается в \(e = 2{,}71828\dots\) раз.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.