Поршень в трубе на дне озера

Запишите закон Бойля — Мариотта для воздуха под поршнем и условие равновесия поршня под давлением воды. Из двух корней уравнения выберите тот, который достигается при медленном подъёме трубы: устойчивый.

\(x=10\) м.

10-3. Так как площадь поперечного сечения трубы \(S\) постоянна, то объем воздуха под поршнем пропорционален длине воздушного столба \(x\), давление пропорционально расстоянию до поверхности воды. Считая процесс расширения изотермическим, из закона Бойля-Мариотта можно записать

\[\rho g h S x _ { 0 } = \rho g ( h - x ) S x ,\tag{1}\]

где \(\rho g h\) — давление воздуха при горизонтальном положении трубы, \(\rho g ( h - x )\) — давление воды на поршень, когда труба поднята вертикально. Уравнение (1) перепишем в виде

\[x ^ { 2 } - h x + h x _ { 0 } = 0 .\tag{2}\]

Его корни

\[x _ { 1 , 2 } = \frac { h } { 2 } \pm \sqrt { \frac { h ^ { 2 } } { 4 } - h x _ { 0 } } .\tag{3}\]

Подстановка численных значений приводит к результату \(x_1 = 10\text{м}\), \(x_2 = 90\text{м}\).

Второй корень \(x_2 > l\), где \(l\) — длина трубы. Однако отбросить его по этой причине нельзя: его можно интерпретировать таким образом, что поршень выскочит из трубы.

Тем не менее при медленном поднятии трубы поршень будет медленно смещаться от положения \(x_0\) до положения \(x_1 = 10\text{м}\), не достигая второго положения равновесия \(x_2 = 90\text{м}\).

Для более убедительного анализа построим графики зависимостей давления воздуха в трубе \(\left(p_1 = \frac{h x_0}{x}\right)\) и гидростатического давления воды \((p_2 = h - x)\) в зависимости от \(x\) при вертикальном положении трубы (здесь \(p_1\) и \(p_2\) измеряются в метрах водяного столба (рис.а)).

Положениям равновесия соответствует условие \(p_1 = p_2\). Легко показать, что точка \(x_1\) — есть точка устойчивого, а \(x_2\) — неустойчивого равновесия. Следовательно, при смещении положения равновесия \(x_1\) при подъеме трубы поршень будет все время стремится за этим положением равновесия. Действительно, пусть труба образует угол \(\alpha\) с горизонтом, в этом случае гидростатическое давление \(p_2 = h - x \sin \alpha\). Изобразим эти зависимости при разных \(\alpha\) (рис.б). Видно, что положение устойчивого равновесия медленно и монотонно смещается от \(x_1\) до \(x'_1\), поэтому поршень никак не сможет приблизиться ко второму положению равновесия \(x_2\).

Интересно отметить, что при \(x_0 > \frac{h}{4}\) уравнение (2) не имеет ни одного действительного корня – это значит, что в этом случае воздух обязательно вытолкнет поршень! Запишем условие равновесия поршня при произвольном угле наклона трубы \(\alpha\)

\[\frac { h x _ { 0 } } { x } = h - x \sin \alpha .\tag{4}\]

Отсюда находим

\[x _ { 1 } = \frac { h - \sqrt { h ^ { 2 } - 4 h x _ { 0 } \sin \alpha } } { 2 \sin \alpha } ,\]

\[x _ { 2 } = \frac { h + \sqrt { h ^ { 2 } - 4 h x _ { 0 } \sin \alpha } } { 2 \sin \alpha }\]

При \(\alpha\) стремящимся к нулю, корень \(x _ { 1 }\) стремится к \(x _ { 0 }\), а \(x _ { 2 }\) «убегает» на бесконечность. При возрастании \(\alpha\) устойчивый корень \(x _ { 1 }\) возрастает, а неустойчивый \(x _ { 2 }\) уменьшается. При некотором \(\alpha ^ { * }\) (таком, что \(h ^ { 2 } - 4 h x _ { 0 } \sin \alpha ^ { * } = 0\)) оба корня «сливаются» — поршень становится неустойчивым и вылетает из трубы (рис.в).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.