Насос

Подсказка

Разберите цикл насоса по участкам: при закрытых клапанах газ в камере изотермически сжимается или расширяется, а при открытом клапане объединяется с газом сосуда. Давление после каждого цикла связано с предыдущим линейной рекуррентной формулой.

Ответ

1.4) \(\gamma=\dfrac{V}{V+v_1}\), \(a=\dfrac{P_0v_0}{V+v_1}\); 1.5) \(\overline P=P_0v_0/v_1=5{,}0\) атм; 1.8) \(k\approx280\); 2.3) \(P_{50}\approx0{,}27\) атм; 2.4) \(P_{\min}=P_0v_1/v_0=0{,}20\) атм.

Решение

Часть 1. Накачивание воздуха.

1.1 В начальном состоянии положении (точка 1) поршень находится в крайнем правом положении, объем газа - \(v_0\), давление \(P_0\).

Поршень начинает двигаться влево, сжимая газ в камере. Пока давление газа в камере насоса не достигнет давления газа в сосуде, оба клапана будут закрыты, поэтому процесс сжатия будет описываться уравнением

\[P_0 v_0 = P v \quad \Rightarrow \quad P = \frac{P_0 v_0}{v}.\tag{1}\]

Давление газа в камере достигнет значения давления в сосуде \(P_k\), года объем уменьшится до значения \(v'\) (точка 2), которое определяется выражением

\[P_k = \frac{P_0 v_0}{v'} \quad \Rightarrow \quad v' = \frac{P_0 v_0}{P_k}.\tag{2}\]

После этого откроется клапан 1 и газ начнет поступать в сосуд.

На этом участке происходит сжатие газа в объеме сосуда и камеры насоса, поэтому описывается уравнением

\[P_k (V + v') = P (V + v) \quad \Rightarrow \quad P = P_k \frac{V + v'}{V + v}.\tag{3}\]

Такое сжатие будет продолжаться до тех пор, пока поршень не достигнет крайнего левого положения (точка 3), в котором объем газа в камере насоса равен \(v_1\), давление достигнет значения

\[P_{k+1} = P_k \frac{V + v'}{V + v_1} = P_k \frac{V}{V + v_1} + \frac{P_k v'}{V + v_1} = P_k \frac{V}{V + v_1} + P_0 \frac{v_0}{V + v_1}.\tag{4}\]

Это же давление будет и в сосуде, на остальных участках цикла оно изменяться не будет.

На следующем этапе поршень начинает обратное движение (вправо), при этом оба клапана опять оказываются закрытыми, пока давление в камере насоса не опустится до атмосферного давления. На этом участке уравнение процесса имеет вид

\[P_{k+1} v_1 = P v \quad \Rightarrow \quad P = \frac{P_{k+1} v_1}{v}\tag{5}\]

Давление в камере насоса станет равным атмосферному, когда объем газа увеличится до значения \(v''\), которое определяется формулой

\[P_0 = \frac{P_{k+1} v_1}{v''} \quad \Rightarrow \quad v'' = \frac{P_{k+1} v_1}{P_0}.\tag{6}\]

При дальнейшем смещении поршня откроется клапан 2 и атмосферный воздух будет поступать в камеру насоса, при этом давление воздуха в камере насоса будет оставаться равным атмосферному \(P = P_0\).

Для наглядности все характеристики цикла сведены в таблицу и показаны на графике.

Цикл накачки.

1.2 – 1.3 Расчеты параметров требуемых циклов, проведенные по формулам таблицы 1 приведены в соответствующих таблицах и на графиках.

Циклы 1, 2

Таблица состояний.

Цикл \((k + 1)\)

Таблица состояний.

1.4 Фактически требуемая формула получена в пункте 1.1 – формула (4):

\[P_{k+1} = P_k \frac{V}{V + v_1} + P_0 \frac{v_0}{V + v_1}.\tag{4'}\]

Из сравнения с формулой, приведенной в условии (\(P_k = \gamma P_{k-1} + a\)), следует, что ее параметры задаются формулами

\[\gamma = \frac{V}{V + v_1}\tag{7}\]

\[a = P_0 \frac{v_0}{V + v_1}\tag{8}\]

1.5 Предельное давление может быть найдено как путем чисто физических рассуждений, так и формально математически. Физические рассуждения. Максимально возможное сжатие воздуха в камере насоса достигается, когда поршень приходит в крайнее левое положение, а при этом клапан сосуда еще не открывается В этом случае из выражения (1) следует формула для максимального давления

\[\overline{P} = P_0 \frac{v_0}{v_1}.\tag{9}\]

Формально математически этот же результат можно получить из рекуррентной формулы, полагая в ней, что давление перестало изменяться, т.е. \(P_{k+1} = P_k = \overline{P}\). В этом случае получаем

\[\overline{P} = \gamma \overline{P} + a \quad \Rightarrow \quad \overline{P} = \frac{a}{1 - \gamma} = P_0 \frac{v_0}{v_1}.\tag{9'}\]

1.6 Из обозначения \(\delta_k = \overline{P} - P_k\) выразим значение давления \(P_k = \overline{P} - \delta_k\) и подставим в рекуррентную формулу

\[\overline{P} - \delta_k = \gamma (\overline{P} - \delta_{k-1}) + a.\tag{10}\]

С учетом выражения (9'), получаем, что

\[\delta_k = \gamma \delta_{k-1}\tag{11}\]

1.7 Формула (11), указывает, что величины \(\delta_k\) образуют геометрическую прогрессию, поэтому

\[\delta_k = \delta_0 \gamma^k\tag{12}\]

С помощью обратной подстановки \(P_k = \overline{P} - \delta_k\) получим

\[P_k = \overline{P} - \delta_0 \gamma^k = P_0 \frac{v_0}{v_1} - \left( P_0 \frac{v_0}{v_1} - P_0 \right) \left( \frac{V}{V + v_1} \right)^k.\tag{13}\]

График этой зависимости имеет вид кривой, монотонно стремящейся к предельному значению.

1.8 для расчета числа циклов удобно воспользоваться формулой (12). Проведем численный расчет ее параметров: - знаменатель прогрессии \(\gamma = \frac{V}{V + v_1} = \frac{20{,}00}{20{,}20} = 0{,}990\); - максимальное давление \(\overline{P} = P_0 \frac{v_0}{v_1} = 5{,}00 P_0\); - начальное отклонение \(\delta_0 = \overline{P} - P_0 = 4{,}00 P_0\);

- конечное отклонение \(\delta_k = \overline{P} - 0{,}95\overline{P} = 0{,}25P_0\).

Теперь из формулы (12) найдем

\[\delta_k = \delta_0 \gamma^k \quad \Rightarrow \quad k = \frac{\ln \frac{\delta_k}{\delta_0}}{\ln \gamma} = 276 \approx 280.\tag{14}\]

Часть 2. Откачка.

2.1 Решение этой части полностью аналогично решению первой части задачи, поэтому приведем его кратко.

Цикл откачки также состоит из четырех этапов. В соответствии с условием начнем с состояния, когда поршень находится в крайнем левом положении (давление в этом состоянии равно атмосферному) и начинает двигаться вправо. При этом оба клапана закрыты: газ в камере насоса расширяется, давление падает. Когда давление в камере становится равным давлению в сосуде, открывается клапан 1 и газ частично начинает выходить из сосуда. Поршень смещается в крайнее правое положение и начинает возвращаться обратно, при этом клапан 1 закрывается. Давление в камере растет и когда достигает атмосферного открывается клапан 2 и газ частично выбрасывается в атмосферу. Эти стадии показаны на рисунке, начальные, конечные значения параметров газа в камере насоса и уравнения процессов приведены в Таблице 2. Схематическая диаграмма цикла показана на рисунке.

Таблица 2. Цикл откачки.

Диаграмма цикла откачки.

2.2 Уменьшение давления в сосуде происходит на 3 этапе цикла откачки, уравнение процесса на этом этапе позволяет получить рекуррентное соотношение, связывающее давления до и после очередного цикла

\[P_{k+1} = P_k \frac{V + v'}{V + v_0}.\tag{15}\]

Подставляя значения для объема \(v'\) (при котором начинается выход газа из сосуда), получим

\[P_{k+1} = P_k \frac{V + v'}{V + v_0} = P_k \frac{V + \frac{P_0 v_1}{P_k}}{V + v_0} = P_k \frac{V}{V + v_0} + P_0 \frac{v_1}{V + v_0}.\tag{16}\]

Это соотношение полностью аналогично соотношению (4'), проанализированному в первой части задачи. Поэтому можно переписать полученные ранее решения, только при этом надо поменять местами значения объемов \(v_0\) и \(v_1\). Тогда зависимость давления в камере от числа проведенных циклов опишется формулой, аналогичной формуле (13):

\[P_k = P_0 \frac{v_1}{v_0} - P_0 \left( \frac{v_1}{v_0} - 1 \right) \left( \frac{V}{V + v_0} \right)^k\tag{17}\]

2.3 Подстановка численных значений параметров в эту формулу и последующий расчет дает значение давления в камере после 50 циклов откачки:

\[P_{50} = P_0 \left( \frac{v_1}{v_0} - \left( \frac{v_1}{v_0} - 1 \right) \left( \frac{V}{V + v_0} \right)^k \right) = P_0 \left( 0{,}20 + 0{,}80 \cdot \left( \frac{20}{21} \right)^{50} \right) = 0{,}27 \, \text{атм}.\tag{18}\]

2.4 Предельное минимальное значение давления воздуха в сосуде равно.

\[P_k = P_0 \frac{v_1}{v_0} = 0{,}20 \, \text{атм}.\tag{19}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.