Песок на поршне

Оба процесса изотермические: давление обратно пропорционально объёму. В давлении учитывайте и вес поршня, и вес песка, и атмосферное давление.

Отношение объемов в процессе сжатия \[\frac{V_2}{V_1} = \frac{p_1}{p_2} = \frac{mg+p_AS}{mg+Mg+p_AS} = \frac{1}{n},\] здесь \(m\) — масса поршня, \(M\) — масса песка, \(p_A\) — атмосферное давление. Отсюда \[n-1 = \frac{Mg}{p_1S}.\] Отношение объемов в процессе расширения \[\frac{V_2}{V_3} = \frac{p_3}{p_2} = \frac{mg+\tilde M g+p_AS}{np_1S} = \frac{p_1S+\tilde M g}{np_1S} = \frac{1}{n}\left(1+\frac{\tilde M g}{p_1S}\right) = \frac{1}{k},\] здесь \(\tilde M\) — масса песка на поршне в конечном состоянии. Отсюда \[n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{n}\right) = \frac{\tilde M g}{p_1S}.\] Массовая доля удаленного песка \[\frac{M-\tilde M}{M} = \frac{n}{n-1}\cdot\frac{k-1}{k}.\]