Мешок падает на длинную доску

Удар короткий: за время удара импульс силы реакции гасит вертикальную составляющую импульса мешка, а сила трения передаёт горизонтальный импульс доске. Дальше оба тела движутся с постоянными ускорениями до равенства скоростей.

В кратковременном процессе соударения мешка с доской вертикальная составляющая импульса мешка под действием силы нормальной реакции уменьшается по величине от \(mV_0\sin\alpha\) до нуля, модуль импульса силы нормальной реакции за время соударения равен \(\sum_i N_i\Delta t_i = mV_0\sin\alpha\) (действием силы тяжести пренебрегаем). Горизонтальная составляющая импульса мешка уменьшится на \[\left|\Delta P_x\right| = \sum_i F_{TPi}\,\Delta t_i = \mu\sum_i N_i\Delta t_i = \mu\,mV_0\sin\alpha .\] На столько же увеличится импульс доски (импульсы сил трения, действующих на мешок и на доску, одинаковы по модулю и противоположны по направлению). Тогда в процессе последующего движения ускорения тел будут следующими: мешка \(a_{XM} = -\mu g\), доски \(a_{XД} = \mu\dfrac{m}{M}\,g\). Скорость мешка будет убывать по закону \[V_{XШ}(t) = V_0\cos\alpha - \mu V_0\sin\alpha - \mu g t ,\] скорость доски будет расти по закону \[V_{XД}(t) = \mu\frac{m}{M}\,V_0\sin\alpha + \mu\frac{m}{M}\,g t .\] Эти скорости будут равны в момент времени \[T = \frac{V_0}{g}\left(\frac{\cos\alpha}{\mu\left(1+\dfrac{m}{M}\right)} - \sin\alpha\right).\]