Разминка

Постоянство \(g\) задаёт массу внутри шара радиуса \(r\) как \(m\propto r^2\), остаётся продифференцировать. Для проволоки складывайте сопротивления тонких слоёв, а для газа — скорости ионизации (концентрации складываются «по Пифагору»).

1.1) \(\rho(r)=\dfrac{g_0}{2\pi Gr}\); 1.2) \(R\approx0{,}095\) Ом; 1.3) \(\rho=\dfrac{\rho_1\rho_2}{\sqrt{\rho_1^2+\rho_2^2}}\).

Задача 1.1

Ускорение свободного падения на расстоянии \(r\) от центра рассчитывается по формуле

\[g = G \frac{m(r)}{r^2},\tag{1}\]

где \(m(r)\) - масса части планеты, находящейся внутри шара радиуса \(r\). Чтобы ускорение свободного падения не зависело от \(r\), необходимо, что бы масса указанной части планеты удовлетворяла условию

\[m(r) = \frac{g_0}{G} r^2.\tag{2}\]

Запишем выражение для массы части планеты для радиуса \((r + \Delta r)\), где \(\Delta r \ll r\)

\[m(r + \Delta r) = m(r) + 4\pi r^2 \Delta r \rho.\tag{3}\]

Здесь \(4\pi r^2 \Delta r \rho\) - масса части планеты, находящейся внутри шарового слоя радиуса \(r\) и малой толщины \(\Delta r\). С другой стороны, из формулы (2) следует, что

\[m(r + \Delta r) = \frac{g_0}{G} (r + \Delta r)^2 \approx \frac{g_0}{G} r^2 + 2 \frac{g_0}{G} r \Delta r = m(r) + 2 \frac{g}{G} r \Delta r\tag{4}\]

Приравнивая выражения (3) и (4), получим ответ данной задачи

\[m(r) + 2 \frac{g_0}{G} r \Delta r = m(r) + 4\pi r^2 \Delta r \rho \quad \Rightarrow \quad \rho(r) = \frac{g_0}{2\pi G r}\tag{5}\]

Задача 1.2

Известна формула для сопротивления длинного проводника

\[R = \rho \frac{l}{S},\tag{1}\]

Но она применима к проводнику постоянного поперечного сечения. В данном случае площадь поперечного проволоки сечения переменна, поэтому для расчета ее сопротивления проволоку следует мысленно разбить на малые участки длиной \(\Delta x\) и просуммировать сопротивления этих участков (отметим, что они соединены последовательно). Итак, сопротивление всей проволоки можно представить в виде суммы

\[R = \sum_k \Delta R_k = \sum_k \rho \frac{\Delta x_k}{\pi r_k^2} = \frac{\rho}{\pi} \sum_k \frac{\Delta x_k}{r_k^2}\tag{2}\]

Для вычисления этой суммы можно построить график функции \(f(x) = \frac{1}{(r(x))^2}\), тогда площадь под эти графиком численно будет равна сумме, входящей в формулу (2). По заданному графику зависимости \(r(x)\) найдем значения радиуса в некоторых точках и построим график функции \(f(x)\). Снятые с графика значения \(r(x_k)\) и рассчитанные значения \(f(x_k)\) приведены в таблице, рядом построен график функции \(f(x)\).

Таблица.

Проведенные расчеты показывают, что полученная зависимость \(f(x)\) состоит из двух симметричных частей, причем каждая из них является линейной. Поэтому не представляет труда вычислить площадь под графиком построенной функции

\[s = 2\left(\frac{1+4}{2}\right) \cdot 10^{6} \, \text{м}^{-2} \cdot 0{,}50 \, \text{м} = 2{,}5 \cdot 10^{6} \, \text{м}^{-1}\tag{3}\]

Тогда сопротивление проволоки равно

\[R = \frac{\rho}{\pi} \sum_{k} \frac{\Delta x_{k}}{r_{k}^{2}} = \frac{\rho}{\pi} s = \frac{1{,}2 \cdot 10^{-7} \, \text{Ом} \cdot \text{м}}{\pi} 2{,}5 \cdot 10^{6} \, \text{м}^{-1} = 0{,}095 \, \text{Ом}.\tag{4}\]

Задача 1.3

Проводимость газа пропорциональна концентрации \(n\) свободных носителей тока (ионов и электронов), т.е.

\[\frac{1}{\rho} = A n,\tag{1}\]

где \(A\) - некоторая константа. Ионы в газе появляются вследствие ионизации. т.е. число ионов, появляющихся в единицу времени, пропорционально интенсивности внешнего воздействия (плотности потока ионизирующих частиц)

\[\Delta n_{+} = \alpha I \Delta t.\tag{2}\]

Исчезают же ионы вследствие рекомбинации (т.е. встрече двух ионов\(^{1}\) противоположного знака). Т.к. как концентрации ионов противоположного знака одинаковы, то скорость рекомбинации пропорциональна квадрату концентрации ионов

\[\Delta n_{-} = \beta n^{2} \Delta t.\tag{3}\]

В установившемся режиме скорость ионизации равна скорости рекомбинации. Из этого условия устанавливается связь между интенсивностью потока ионизирующих частиц и концентрацией ионов в газе

\[\alpha I = \beta n^{2}.\tag{4}\]

При воздействии каждого из источников устанавливаются концентрации, удовлетворяющие условиям

\[\begin{aligned} & \alpha I_{1} = \beta n_{1}^{2} \\ & \alpha I_{2} = \beta n_{2}^{2} \end{aligned}\tag{5}\]

При воздействии двух источников условие стационарности концентраций имеет вид

\[\alpha(I_{1} + I_{2}) = \beta n_{s}^{2}.\tag{6}\]

Из этих соотношений следует, что концентрация ионов при воздействии двух источников определяется по «теореме Пифагора»

\[n_{s} = \sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2}}.\tag{7}\]

Наконец, используя соотношение (1), получим формулу, связывающую удельные сопротивления

\[\frac{1}{\rho_{s}} = \sqrt{\frac{1}{\rho_{1}^{2}} + \frac{1}{\rho_{2}^{2}}}.\tag{8}\]

Из которой следует окончательный результат

\[\rho_{s} = \frac{\rho_{1}\rho_{2}}{\sqrt{\rho_{1}^{2} + \rho_{2}^{2}}}.\tag{9}\]

\textsuperscript{1} Свободный электрон также будем назвать «ионом».

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.