Закон всемирного тяготения, невесомость

Запишите \(g\) как функцию расстояния до центра планеты и приравняйте к \(g\) у поверхности Земли.

Ускорение свободного падения получается из закона всемирного тяготения для тела на поверхности; растяжение — из условия равновесия груза.

1) \(g \approx 10{,}1\) м/с\(^2\) (принимается \(10{,}1\)–\(10{,}2\));  2) \(\approx 30\) см (принимается \(30\)–\(31\)).

Запишите второй закон Ньютона для одной точки: центростремительное ускорение создаётся суммой сил притяжения двух других точек. Как результат зависит от массы?

\(v_2/v_1 \approx 3\).

Выразите \(g\) на поверхности планеты через её среднюю плотность и радиус, считая планеты шарами.

\(3{,}3\) г/см\(^3\).

Рассмотрим материальную точку массой \(m\), находящуюся на поверхности шарообразной планеты массой \(M\). Силу тяжести, которая, с одной стороны, равна \(mg\), можно также рассчитать, воспользовавшись законом всемирного тяготения \(G\dfrac{mM}{R^2}\), где \(R\) — радиус планеты. Откуда находим \(g = G\dfrac{M}{R^2}\). Ускорения свободного падения на Земле и на Луне равны соответственно: \[g_\text{З} = G\frac{M_\text{З}}{R_\text{З}^2}, \qquad g_\text{Л} = G\frac{M_\text{Л}}{R_\text{Л}^2},\] а их отношение — \[\frac{g_\text{З}}{g_\text{Л}} = \frac{M_\text{З}}{M_\text{Л}}\cdot\frac{R_\text{Л}^2}{R_\text{З}^2} = \frac{\rho_\text{З}V_\text{З}}{\rho_\text{Л}V_\text{Л}}\cdot\frac{R_\text{Л}^2}{R_\text{З}^2}. \tag{1}\] Поскольку шарообразные планеты являются подобными телами (одну из них можно преобразовать в другую путём масштабирования), отношение их объёмов равно \[\frac{V_\text{З}}{V_\text{Л}} = \frac{R_\text{З}^3}{R_\text{Л}^3}. \tag{2}\] Из соотношений (4) и (5) получаем \[\frac{g_\text{З}}{g_\text{Л}} = \frac{\rho_\text{З}R_\text{З}}{\rho_\text{Л}R_\text{Л}} \quad\Rightarrow\quad \rho_\text{Л} = \rho_\text{З}\cdot\frac{R_\text{З}}{R_\text{Л}}\cdot\frac{g_\text{Л}}{g_\text{З}} = 3{,}3\text{ г/см}^3.\]

Сравните с системой Солнце — Земля: третий закон Кеплера для двух тел связывает \(T^2\), \(L^3\) и суммарную массу; выразите всё в земных годах и а.е.

\(n = 11\).

Заполните полость мысленно веществом той же плотности и вычтите его вклад. Поле внутри однородного шара линейно растёт от центра, и полость даёт вклад, одинаковый по всей полости.

Плотность астероида \(\rho = \dfrac{g_S}{\frac43\pi G(R - r)} \simeq 2{,}4\cdot 10^3\) кг/м\(^3\); вектор ускорения свободного падения в точках A, B, C, D равен вектору ускорения в точке S; в точке E ускорение свободного падения направлено к центру астероида и равно по величине \(g_S\dfrac1{R - r}\left(R - \dfrac{r^3}{(R + r)^2}\right) = 0{,}32\) см/с\(^2\). Сами векторы изображены на рисунке в решении.

1. Заполним мысленно полость веществом плотностью, равной плотности астероида \(\rho\). Это дополнительное вещество не окажет никакого влияния на ускорение свободного падения в точке \(S\): однородная сфера создаёт в центре ускорение свободного падения, равное нулю. Таким образом, \(g_S\) совпадает с ускорением свободного падения на глубине \(r\) внутри однородного астероида радиуса \(R\). На тело массой \(m\), помещённое в эту точку, действует сила тяготения со стороны внутренних слоёв астероида: \[F = G\rho\cdot\frac43\pi(R - r)^3\cdot\frac{m}{(R - r)^2} = G\rho\cdot\frac43\pi(R - r)m.\] Следовательно, \[g_S = \frac43\pi G\rho(R - r). \tag{1}\] Отметим, что в векторном виде можно записать \[\vec g_S = -\frac43\pi G\rho\cdot\overrightarrow{OS}. \tag{2}\] Плотность астероида оказывается, таким образом, равна \[\rho = \frac{g_S}{\frac43\pi G(R - r)} \simeq 2{,}4\cdot 10^3\text{ кг/м}^3.\] 2. Пусть \(K\) — другая точка внутри рассматриваемой полости. Исследуем вектор ускорения свободного падения \(\vec g\) в этой точке. Разместим в этой точке тело массой \(m\). Если мысленно заполнить полость веществом плотностью \(\rho\), на тело, аналогично (3), будет действовать сила тяготения \(\vec F_1 = -\frac43\pi G\rho m\cdot\overrightarrow{OK}\). При этом сила тяготения со стороны вещества, которым мысленно заполнена полость, равна \(\vec F_2 = -\frac43\pi G\rho m\cdot\overrightarrow{SK}\). Следовательно, до заполнения полости сила тяготения была равна \[\vec F_1 - \vec F_2 = -\frac43\pi G\rho m\cdot\left(\overrightarrow{OK} - \overrightarrow{SK}\right) = -\frac43\pi G\rho m\cdot\overrightarrow{OS}.\] Поэтому во всех точках внутри полости (в том числе в точках A, B, C, D) вектор ускорения свободного падения оказывается равен \(\vec g = -\frac43\pi G\rho\cdot\overrightarrow{OS}\), то есть \(\vec g_S\).

3. В точке \(E\) модули сил \(F_1\) и \(F_2\) (см. предыдущий пункт), направленных к центру астероида, равны \[F_1 = \frac43\pi G\rho mR; \qquad F_2 = G\rho\cdot\frac43\pi r^3\cdot\frac{m}{(R + r)^2}.\] Следовательно, до заполнения полости сила тяготения была равна \(F_1 - F_2 = \frac43\pi G\rho m\left(R - \frac{r^3}{(R + r)^2}\right)\). Поэтому ускорение свободного падения в точке \(E\) равно \[g_E = \frac43\pi G\rho\left(R - \frac{r^3}{(R + r)^2}\right) = g_S\frac1{R - r}\left(R - \frac{r^3}{(R + r)^2}\right) = 0{,}32\text{ см/с}^2.\] Сами векторы ускорения свободного падения изображены на рисунке:

Масса входит в размерность только у \(m\) и \(G\), а длина должна получиться в итоге: подбери степени так, чтобы сократились килограммы и секунды.

1) \(\alpha = 1\), \(\beta = 1\), \(\gamma = -2\), то есть \(R_g = \dfrac{2Gm}{c^2}\);  2) \(R_g = \dfrac{2gR_З^2}{c^2} \approx 9{,}1\) мм.

Если бусинка смещена от центра на малое расстояние, часть стержня справа и слева от неё притягивает её с одинаковой силой. Какой остаток стержня даёт ненулевую результирующую?

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L^3}{8GM}} = \pi\sqrt{\dfrac{L^3}{2GM}}\).

Когда бусинка отклонена от положения равновесия на малое расстояние \(x\), то в силу симметрии со стороны «белой» части стержня не действует сил (см. рисунок), а со стороны кусочка длиной \(2x\) действует сила, равная \(G\,\dfrac{m\left(\frac{2x}{L}M\right)}{(L/2)^2}\), где \(m\) "— масса бусинки.

Запишем второй закон Ньютона для бусинки: \[m\ddot x = -G\,\frac{m\left(\frac{2x}{L}M\right)}{(L/2)^2} \quad\Rightarrow\quad \ddot x + \left(G\,\frac{8M}{L^3}\right)x = 0,\] откуда получаем \[T = 2\pi\sqrt{\frac{L^3}{8GM}} = \pi\sqrt{\frac{L^3}{2GM}}.\]