Маленький принц

Период обращения найдите из третьего закона Кеплера, сравнив астероид с Землёй; ускорение свободного падения — через массу шара \(M=\frac43\pi r^3\rho\). Уменьшение веса на экваторе даёт центростремительное ускорение вращения.

1.1) \(T_{\text{А}}\approx4{,}0\) года; 1.2) наименьшее расстояние \(1{,}5\) а.е. \(\approx2{,}2\cdot10^{11}\) м, повторится через \(\dfrac{T_{\text{З}}T_{\text{А}}}{T_{\text{А}}-T_{\text{З}}}\approx1{,}33\) года, примерно 1 мая 2010 г.; 1.3) \(g_{\text{А}}=\dfrac{4\pi}{3}G\rho r_{\text{А}}\approx7{,}5\cdot10^{-3}\text{ м/с}^2\); 1.4) \(v=\sqrt{g_{\text{А}}r_{\text{А}}}\approx8{,}7\) м/с; 1.5) \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r_{\text{А}}}{\eta g_{\text{А}}}}\approx2{,}3\cdot10^4\text{ с}\approx6{,}4\) ч; 1.6.1) \(h=h_0\dfrac{g_{\text{З}}}{g_{\text{А}}}\approx0{,}65\cdot10^3\) м; 1.6.2) примерно на \(12\%\); 1.6.3) ошибка около \(6\%\) (уточнённая высота \(\approx0{,}69\cdot10^3\) м).

1.1 По второму закону Ньютона (с учетом закона всемирного тяготения)

\[G \frac{M_{\text{С}} m}{R^{2}} = m \frac{4 \pi^{2}}{T^{2}} R,\tag{1}\]

где \(m\) – масса планеты, \(R\) – радиус орбиты планеты, \(T\) - период обращения планеты вокруг Солнца. Сравним движение Астероида и Земли, получим

\[T_{\text{А}} = T_{\text{З}} \sqrt{\left(\frac{R_{\text{А}}}{R_{\text{З}}}\right)^{3}} \approx 1 \sqrt{\left(\frac{2{,}5}{1}\right)^{3}} \approx 4{,}0 \text{ года}.\tag{2}\]

1.2 Наименьшее расстояние между астероидом и Землей будет, когда Солнце, Земля и Астероид установятся на одной прямой (точка 1 на рис.). При этом расстояние между Астероидом и Землей равно

\[L = R_{\text{А}} - R_{\text{З}} = 1{,}5 \text{ а.е.} \approx 2{,}2 \cdot 10^{11} \text{ м}.\tag{3}\]

Следующий раз такая ситуация повторится, когда Земля в своем движении вокруг Солнца обгонит астероид на угол \(2\pi\), (или \(360^{\circ}\)) - точка 2. Относительная угловая скорость Земли относительно астероида равна \(\omega_{\text{отн.}} = \omega_{\text{З}} - \omega_{\text{А}} = \frac{2\pi}{T_{\text{З}}} - \frac{2\pi}{T_{\text{А}}}\).

Следовательно, время движения можно рассчитать по формуле

\[\tau = \frac{2\pi}{\omega_{\text{отн.}}} = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{T_{\text{З}}} - \frac{2\pi}{T_{\text{А}}}} = \frac{T_{\text{З}} T_{\text{А}}}{T_{\text{А}} - T_{\text{З}}} \approx 1{,}33 \text{ года}.\tag{4}\]

Таким образом, следующий раз минимальное расстояние между Землей и Астероидом случится через 1,33 года, т.е. примерно 1 мая 2010 года.

1.3 На любое тело, на поверхности Астероида, действует сила всемирного тяготения, сообщающая ему ускорение \(g_{\text{А}}\), которое можно выразить из уравнения

\[m g_{\text{А}} = G \frac{M_{\text{А}} m}{r_{\text{А}}^{2}}; \quad \Rightarrow \quad g_{\text{А}} = G \frac{M_{\text{А}}}{r_{\text{А}}^{2}}.\tag{5}\]

Масса Астероида выражается через его плотность

\[M_{\text{А}} = \rho V = \frac{4}{3} \pi r_{\text{А}}^{3} \rho.\tag{6}\]

Подстановка формулы для массы в формулу (5) и последующий расчет приводит к результату

\[g_{\text{А}} = \frac{4\pi}{3} G r_{\text{А}} \rho = \frac{4\pi}{3} \cdot 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 10 \cdot 10^{3} \cdot 2{,}7 \cdot 10^{3} \approx 7{,}5 \cdot 10^{-3} \frac{\text{м}}{\text{с}^{2}}.\tag{7}\]

1.4 Первая космическая скорость соответствует скорости движения по круговой орбите с радиусом, равным радиусу астероида, поэтому

\[m \frac{v^{2}}{r_{\text{А}}} = m g_{\text{А}} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{g_{\text{А}} r_{\text{А}}} = \sqrt{7{,}5 \cdot 10^{-3} \cdot 10 \cdot 10^{3}} \approx 8{,}7 \frac{\text{м}}{\text{с}}.\tag{8}\]

1.5 Вес тела на полюсе планеты численно равен силе тяжести, действующей на тело

\[P _ { 0 } = m g _ { A } .\tag{9}\]

На экваторе планеты вес тела уменьшается из-за суточного вращения планеты, поэтому на экваторе вес тела оказывается равным

\[P _ { 1 } = m g _ { A } - m \omega ^ { 2 } r _ { A } = m g _ { A } - m \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { T _ { A } ^ { 2 } } r _ { A } = m g _ { A } \left( 1 - 4 \pi ^ { 2 } \frac { r _ { A } } { T _ { A } ^ { 2 } g _ { A } } \right) .\tag{10}\]

Следовательно, относительное изменение веса тела равно

\[\eta = 4 \pi ^ { 2 } \frac { r _ { A } } { T _ { A } ^ { 2 } g _ { A } } .\tag{11}\]

Из этой формулы следует, что период обращения Астероида вокруг собственной оси (т.е. сутки) рассчитывается по формуле

\[T _ { A } = 2 \pi \sqrt { \frac { r _ { A } } { \eta g _ { A } } } \approx 2{,}3 \cdot 10 ^ { 4 } \, c \approx 6{,}4 \, \text{часа} .\tag{12}\]

1.6.1 Высота прыжка рассчитывается по известной формуле

\[h = \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 g } .\tag{13}\]

Так как начальная скорость прыжка одинакова на Земле и Астероиде, то высота прыжка оказывается обратно пропорциональной ускорению свободного падения, поэтому высота прыжка на Астероиде будет равна

\[h = h _ { 0 } \frac { g _ { 3 } } { g } \approx 0{,}65 \cdot 10 ^ { 3 } \, \text{м} .\tag{14}\]

1.6.2 Ускорение свободного падения на высоте \(h\) рассчитывается по формуле

\[g = G \frac { M } { ( r + h ) ^ { 2 } } = G \frac { M } { r ^ { 2 } } \frac { r ^ { 2 } } { ( r + h ) ^ { 2 } } = g _ { 0 } \frac { r ^ { 2 } } { ( r + h ) ^ { 2 } } ,\tag{15}\]

здесь \(r\) - радиус планеты, \(g _ { 0 }\) - ускорение свободного падения на поверхности планеты.

Таким образом, относительное уменьшение ускорения свободного падения равно

\[\varepsilon = \frac { g _ { 0 } - g } { g _ { 0 } } = 1 - \left( \frac { r } { r + h } \right) ^ { 2 } \approx 12\% .\tag{16}\]

1.6.3 Уточнить найденную приближенно высоту прыжка можно, заменив в формуле (13) ускорение свободного падения на поверхности на среднее значение ускорения на поверхности и на найденной максимальной высоте, то есть положить

\[\overline { { { h } } } = \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \displaystyle \frac { g _ { 0 } + g _ { h } } { 2 } } = \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 g _ { 0 } } \frac { 2 } { 1 + \displaystyle \frac { g _ { h } } { g _ { 0 } } } = h \frac { 2 } { 1 + \left( \displaystyle \frac { r } { r + h } \right) ^ { 2 } } = h \frac { 2 } { 2 - \varepsilon } \approx 1{,}06 h \approx 0{,}69 \cdot 10 ^ { 3 } \, \text{м} .\tag{17}\]

Таким образом, учет зависимости ускорения свободного падения от высоты приводит к увеличению высоты примерно на \(6\%\), что составляет примерно \(40\) м.

Небольшое дополнение.

Пункт 1.6 может быть решен точно при использовании закона сохранения энергии и формулы для энергии гравитационного взаимодействия тел

\[\frac { m v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } = G \frac { M m } { r } - G \frac { M m } { r + h } .\tag{18}\]

Решить данное уравнение не сложно:

\[\frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } = G \frac { M } { r } - G \frac { M } { r + h } = G \frac { M } { r } \left( 1 - \frac { r } { r + h } \right) = g _ { 0 } r \frac { h } { r + h }\]

\[\frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 g _ { 0 } } r + \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 g _ { 0 } } h = r h \quad \Rightarrow \quad \overline { { { h } } } = \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 g _ { 0 } } \frac { 1 } { 1 - \displaystyle \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 g _ { 0 } r } } = \frac { h } { 1 - \displaystyle \frac { h } { r } } \approx 0 { , } 6 9 5 \cdot 1 0 ^ { 3 } \, \text{м}.\tag{19}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.