Плотность Луны

Выразите \(g\) на поверхности планеты через её среднюю плотность и радиус, считая планеты шарами.

Рассмотрим материальную точку массой \(m\), находящуюся на поверхности шарообразной планеты массой \(M\). Силу тяжести, которая, с одной стороны, равна \(mg\), можно также рассчитать, воспользовавшись законом всемирного тяготения \(G\dfrac{mM}{R^2}\), где \(R\) — радиус планеты. Откуда находим \(g = G\dfrac{M}{R^2}\). Ускорения свободного падения на Земле и на Луне равны соответственно: \[g_\text{З} = G\frac{M_\text{З}}{R_\text{З}^2}, \qquad g_\text{Л} = G\frac{M_\text{Л}}{R_\text{Л}^2},\] а их отношение — \[\frac{g_\text{З}}{g_\text{Л}} = \frac{M_\text{З}}{M_\text{Л}}\cdot\frac{R_\text{Л}^2}{R_\text{З}^2} = \frac{\rho_\text{З}V_\text{З}}{\rho_\text{Л}V_\text{Л}}\cdot\frac{R_\text{Л}^2}{R_\text{З}^2}. \tag{1}\] Поскольку шарообразные планеты являются подобными телами (одну из них можно преобразовать в другую путём масштабирования), отношение их объёмов равно \[\frac{V_\text{З}}{V_\text{Л}} = \frac{R_\text{З}^3}{R_\text{Л}^3}. \tag{2}\] Из соотношений (4) и (5) получаем \[\frac{g_\text{З}}{g_\text{Л}} = \frac{\rho_\text{З}R_\text{З}}{\rho_\text{Л}R_\text{Л}} \quad\Rightarrow\quad \rho_\text{Л} = \rho_\text{З}\cdot\frac{R_\text{З}}{R_\text{Л}}\cdot\frac{g_\text{Л}}{g_\text{З}} = 3{,}3\text{ г/см}^3.\]