Радиус Шварцшильда

При решении задачи могут понадобиться следующие справочные данные: гравитационная постоянная \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \dfrac{\text{м}^3}{\text{кг}\cdot\text{с}^2}\); скорость света в вакууме \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с; радиус Земли \(R_З = 6{,}4 \cdot 10^6\) м; ускорение свободного падения на поверхности Земли \(g = G\dfrac{M_З}{R_З^2} = 10\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}\) (здесь \(M_З\) — масса Земли). Приведённые обозначения физических констант остаются неизменными на протяжении всей задачи.

Согласно общей теории относительности, если сжать сферическое тело равномерной плотности до радиуса, меньшего некоторого критического значения \(R_g\), то гравитация на его поверхности станет настолько сильной, что даже свет не сможет покинуть это тело — оно превратится в чёрную дыру. Этот критический радиус, называемый гравитационным, или радиусом Шварцшильда, вычисляется по формуле: \[R_g = 2 \cdot m^{\alpha} \cdot G^{\beta} \cdot c^{\gamma},\] где \(m\) — масса тела, \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) — некоторые безразмерные постоянные. Никакие другие характеристики тела (плотность, химический состав и т.п.) на значение \(R_g\) не влияют.

1. Пользуясь соображениями размерности, определите значения постоянных \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\).

2. До какого радиуса необходимо сжать Землю, согласно приведённой теории, чтобы она превратилась в чёрную дыру?