Оценки, размерность и подобие

Незнайка долго уговаривал Знайку, чтобы тот поручил ему приобретение строительного материала для обновления всех заборчиков Цветочного Города. В итоге Знайка согласился и сказал, что для строительства потребуются доски в количестве 1000 штук, каждая длиной 4 м, толщиной 20 мм и шириной 10 см. Когда Незнайка добрался до лесозаготовительной базы, обнаружилось, что заказ принимается только в кубических метрах древесины нужного размера. Сколько кубических метров материала потребуется заказать Незнайке?

В июне 2010 года в воды Мексиканского залива с момента аварии на буровой платформе British Petroleum вылилось до 100 миллионов галлонов нефти (1 галлон "— 3,8 литра). Самой масштабной катастрофой такого рода в мире была авария на мексиканской буровой платформе Ikstok-1 в 1979 году. Тогда за 10 месяцев, в течение которых боролись с утечкой, в воды Мексиканского залива попало 140 миллионов галлонов нефти. Толщина пленки нефтяного пятна равна 0,19 мм. Определите площадь пятна в квадратных километрах, покрывшего воды залива в 1979 году.

В первый день школьник Вася прочитал 60 страниц очень толстой книги. Книга постепенно надоедает Васе, и в каждый следующий день он читает на 5 страниц меньше, чем в предыдущий. Сколько дней продлится чтение книги? Сколько страниц всего прочитает Вася?

В древнем Риме было несколько единиц измерения объема, такие как секстарий, киафа, урна и амфора. Известно, что 12 киафов составляют 1 секстарий, одна урна равна половине амфоры, а в 1 урне 288 киафов. Определите, что больше по объёму: 3 амфоры или 150 секстариев?

На рисунке изображена сетка, ячейки которой представляют собой квадраты, и линейка с сантиметровой (cm) и дюймовой (inches) шкалами.

1. Определите площадь сетки в см\(^2\). Ответ округлите до целых.

2. Чему равна площадь сетки в квадратных дюймах? Ответ округлите до целых.

В Великобритании в разные времена для измерения площадей пользовались следующими единицами измерения: руд, род, ярд, фут. Один руд равен 40 род, площадь одного ярда равна 9 футов, а один фут равен 929 см\(^2\). Сколько ярдов содержится в одном руде, если 1 род равен 25,3 м\(^2\). Ответ округлите до целых.

В 1730 году французским естествоиспытателем Р.А. Реомюром была предложена шкала температур, по которой температуры замерзания и кипения воды были приняты 0 и 80 градусов соответственно. На фотографии можно видеть пример показаний ртутного термометра со шкалой Реомюра.

1. Запишите значение температуры, соответствующие этой фотографии, в градусах Реомюра. Ответ округлите до целого числа.

2. Переведите это значение температуры в градусы по шкале Цельсия. Ответ округлите до целого числа.

На фотографии изображены четыре температурные шкалы: Фаренгейта (F), Цельсия ℃, Реомюра (R) и Кельвина (K).

1. У какой шкалы наименьшая цена деления?

   А) На шкале Фаренгейта

   Б) На шкале Цельсия

   В) На шкале Реомюра

   Г) На шкале Кельвина

2. В таблице указаны изменения температуры тела в процессе нагрева, который длился 4 часа.

   

   Насколько повысилась температура тела за 4 часа? Ответ выразите в градусах по шкале Фаренгейта (F), округлите до целого числа.

Географическая миля равна длине дуги земного экватора, которая видна из центра Земли под углом \(1'\) (одна минута). Длина экватора приблизительно равна 40000 км, а один градус равен 60 минутам (\(1^\circ = 60'\)). Используя приведённые числовые данные, переведите 20 г.миль/ч (географические мили в час) в м/с. Ответ округлите до десятых.

В Месопотамии использовались различные единицы измерения массы, такие как билту, ману, шиклу, гиру и ше. Известно, что в одном билту содержится 60 ману, а одно гиру равно \(7{,}5\) ше.

1. Какое количество гиру содержится в одной ману, если 1 билту \(=\) 3600 шиклу \(=\) 648000 ше?

2. Что больше: 2 ману или 125 шиклу?

«Положением о мерах и весах», принятым 4 июня 1899 г., в качестве основной меры длины в Российской Империи был узаконен аршин, равный 71,12 см, что составляет 1/3 косой сажени. Определите в аршинах длину Георгиевского зала Большого Кремлёвского дворца в Москве. Георгиевский зал имеет форму прямоугольника, длина которого превышает ширину на 57 аршин. Периметр зала примите равным 163,576 м.

Перед ремонтными работами в Простоквашино дядя Федор закончил свою лекцию для Шарика и кота Матроскина словами: «Запомните! Расход краски показывает, какое количество литров жидкой краски необходимо для окрашивания одного квадратного метра поверхности». Однако после отъезда дяди Федора друзья обнаружили, что на банке указано, сколько квадратных метров поверхности можно покрасить, израсходовав один литр краски. Какой была эта характеристика (площадь окраски одним литром краски, м\(^2\)/л) для краски, которую купил дядя Федор своим друзьям, если, точно следуя инструкции, они смогли равномерно окрасить нужную поверхность в один слой толщиной 0,2 мм?

Для определения расстояния до удалённых предметов школьник Вася измерил длину своего большого пальца на правой руке (65 мм) и расстояние от своего правого глаза до пальца на вытянутой вперёд руке (65 см).

1. Сидя дома, Вася рассматривает через окно соседний дом и обнаруживает, что большой палец на вытянутой руке закрывает целых пять этажей дома напротив. Оцените расстояние от дома Васи до соседнего дома, считая высоту одного этажа равной 2,5 м.

2. С балкона Вася видит вдали Останкинскую телевизионную башню, высота которой 540 м. Палец Васи на вытянутой руке оказался больше башни в 3 раза. На каком расстоянии от дома Васи находится эта башня?

Рост Нильса Хольгерссона после заклятия гнома уменьшился в 10 раз. Пропорции тела остались прежними. Когда он был большим, то сил рук еле-еле хватало, чтобы подтянуться на турнике. Какой груз может маленький Нильс вместе с собой поднять, подтягиваясь на руках на горизонтальной веточке дерева? Масса большого Нильса 30 кг.

Подсказка. Сила мышц пропорциональна площади их поперечного сечения.

Купец Еремей решил обновить забор вокруг своей усадьбы. Усадьба имеет форму прямоугольника длиной 80 саженей и шириной 50 саженей. Новый забор Купец Еремей планирует сделать из цельных вертикальных деревянных досок, плотно прилегающих друг к другу. Высота забора должна составлять 3 аршина. Каждая доска, предназначенная для забора, имеет ширину 12 вершков. В ближайшей лавке пиломатериалов доски продаются стандартной длиной 5 метров. Цена одной такой 5-метровой доски составляет 220 рублей. Сколько рублей купцу Еремею придётся потратить на покупку досок для нового забора, если 1 сажень \(= 2{,}1336\) метра, а 1 аршин \(= 16\) вершков \(= 0{,}7112\) метра? Ответ округлите до целого числа.

Повстречались таракан, муравей и божья коровка. Начали спорить – кто из них более тяжелый груз может поднять? Таракан похвастался, что он однажды то ли с 6-ю, то ли с 7-ю своими братьями-близнецами поднял камень массой в пол-унции. На это божья коровка возразила, что она лишь с одной своей сестрицей подняла веточку в целый золотник, а муравей рассказал, как он тащил на себе бриллиант массой чуть больше, чем 10 карат. Можно ли по этим данным определить, кто из них может больше поднять? Унция (обычная) равна \(28{,}35\) г; золотник примерно равен \(4{,}266\) г; карат равен \(0{,}2\) г

В известном мультфильме «38 попугаев» длину удава измеряли в попугаях, в мартышках и в слонёнках. Оказалось, что длина удава составляет 38 попугаев и одно попугайское крылышко, или 5 мартышек, или 2 слонёнка. Крылышко можно не считать, как сказал сам попугай. Зная это, ответьте на следующие вопросы:

1. Сколько попугаев в одной мартышке (имеются в виду единиц длины)? Ответ округлите до десятых.

2. Сколько кубических мартышек в одном кубическом слонёнке (имеются в виду единицы объёма, производные от соответствующих единиц длины)? Ответ округлите до десятых.

3. Определите, что больше: 12 квадратных мартышек или половина квадратного удава (имеются в виду единицы площади, производные от соответствующих единиц длины). Варианты ответа: половина квадратного удава; 12 квадратных мартышек.

В одном помещении находятся три термометра с разными шкалами: Цельсия, Фаренгейта и Реомюра. В тот момент, когда термометр со шкалой Цельсия показывал \(20{,}0\) ℃, термометры со шкалами Фаренгейта и Реомюра показывали \(68{,}0\) °F и \(16{,}0\) °Re соответственно. При понижении температуры на \(5{,}0\) ℃ показания термометров со шкалами Фаренгейта и Реомюра изменились и стали равными \(59{,}0\) °F и \(12{,}0\) °Re.

1. Какая температура выражается одним числом градусов как по Фаренгейту, так и по Реомюру? Ответ выразите в градусах по шкале Фаренгейта или Реомюра, округлите до десятых.

2. Что показывает при этой температуре термометр со шкалой Цельсия? Ответ округлите до целого числа.

В астрономии для измерения яркости звезд используют «звездные величины». Когда звездные величины звезд отличаются на \(5\), их яркости отличаются в \(100\) раз (большая звездная величина соответствует меньшей яркости). Известно, что звезда Альфа Центавра имеет нулевую звездную величину, а звезда 72 Геркулеса — пятую. Считая звезды одинаковыми, определите, во сколько раз звезда 72 Геркулеса дальше от Земли, чем звезда Альфа Центавра. Ответ округлите до целых.

Есть гипотеза, согласно которой размеры насекомых ограничены тем, что они потребляют воздух трахеальными трубками, выходящими на поверхность тела (то есть их воздухозабор пропорционален площади поверхности тела). Расход же кислорода, в свою очередь, пропорционален массе тела. Таким образом, можно прийти к выводу, что при увеличении насекомого в длину, высоту и ширину в одинаковое число раз, можно добиться того, что оно начнет «задыхаться» от недостатка кислорода.

Известно, что в карбоновом (каменноугольном) геологическом периоде размах крыльев стрекозы меганевры достигал 65 см. По предположениям ученых, это было возможно потому, что концентрация кислорода в атмосфере тогда составляла 35%, а не 21%, как сейчас (при той же плотности воздуха). Считая, что для времен карбона это был максимально возможный размер, оцените максимально возможный размах крыльев современной стрекозы. Сейчас стрекозы имеют примерно ту же плотность и пропорции тела, что и стрекоза периода карбона, и требуют на единицу массы не меньшее количество кислорода.

Есть гипотеза, согласно которой размеры насекомых ограничены тем, что они потребляют воздух трахеальными трубками, выходящими на поверхность тела (то есть их воздухозабор пропорционален площади поверхности тела). Расход же кислорода, в свою очередь, пропорционален массе тела. Таким образом, можно прийти к выводу, что при увеличении насекомого в длину, высоту и ширину в одинаковое число раз, можно добиться того, что оно начнет «задыхаться» от недостатка кислорода.

Известно, что в карбоновом (каменноугольном) геологическом периоде размах крыльев стрекозы меганевры достигал 65 см. По предположениям учёных, это было возможно потому, что концентрация кислорода в атмосфере тогда составляла 35%, а не 21%, как сейчас (при той же плотности воздуха). Считая, что для времён карбона это был максимально возможный размер, оцените максимально возможный размах крыльев современной стрекозы. Сейчас стрекозы имеют примерно ту же плотность и пропорции тела, что и стрекоза периода карбона, и требуют на единицу массы не меньшее количество кислорода.

В мастерскую закупили много одинаковых комплектов инструментов. Каждый комплект состоит из отвертки, гаечного ключа и плоскогубцев. Все инструменты свалили в ящик и поручили одному из работников их взвесить. Он брал, не глядя, каждый раз по три предмета, клал на весы и записывал их показания. Оказалось, что весы всё время показывали какое-то одно из следующих значений: 600 г, 670 г, 740 г, или 810 г, а вся масса приборов в сумме составила 13,4 кг. Сколько в ящике было плоскогубцев, если известно, что их масса больше, чем у отвертки, а масса гаечного ключа такая же, как у отвертки?

Вода течёт по садовому шлангу с объемным расходом 450 см\(^3\)/с. Чему равен ток электронов \(I_e\)? Число Авогадро \(N_A = 6{,}02 \cdot 10^{23}\) 1/моль. Ответ выразите в мегаамперах, округлите до десятых.

Объёмным расходом жидкости \(Q\) при течении по трубе называется объём жидкости, проходящий через поперечное сечение трубы в единицу времени. Формула Пуазейля используется для расчёта объёмного расхода при течении жидкости по трубе постоянного сечения с учётом вязкого трения. В случае небольшой скорости течения она имеет вид \[Q = A \cdot \Delta p^{x} \cdot R^{y} \cdot \nu^{z} \cdot l^{-1},\] где \(\Delta p\) — перепад давления на концах трубы; \(R\) и \(l\) — радиус и длина трубы соответственно; \(\nu\) — коэффициент динамической вязкости жидкости, которая измеряется в кг/(м\(\cdot\)с); \(A\), \(x\), \(y\), \(z\) — некоторые безразмерные постоянные.

1. Пользуясь соображениями размерности, определите значения постоянных \(x\), \(y\) и \(z\).

2. Во сколько раз изменится скорость потока жидкости в водопроводной сети, если при том же давлении на входе увеличить диаметр труб вдвое?

При решении задачи могут понадобиться следующие справочные данные: гравитационная постоянная \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \dfrac{\text{м}^3}{\text{кг}\cdot\text{с}^2}\); скорость света в вакууме \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с; радиус Земли \(R_З = 6{,}4 \cdot 10^6\) м; ускорение свободного падения на поверхности Земли \(g = G\dfrac{M_З}{R_З^2} = 10\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}\) (здесь \(M_З\) — масса Земли). Приведённые обозначения физических констант остаются неизменными на протяжении всей задачи.

Согласно общей теории относительности, если сжать сферическое тело равномерной плотности до радиуса, меньшего некоторого критического значения \(R_g\), то гравитация на его поверхности станет настолько сильной, что даже свет не сможет покинуть это тело — оно превратится в чёрную дыру. Этот критический радиус, называемый гравитационным, или радиусом Шварцшильда, вычисляется по формуле: \[R_g = 2 \cdot m^{\alpha} \cdot G^{\beta} \cdot c^{\gamma},\] где \(m\) — масса тела, \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) — некоторые безразмерные постоянные. Никакие другие характеристики тела (плотность, химический состав и т.п.) на значение \(R_g\) не влияют.

1. Пользуясь соображениями размерности, определите значения постоянных \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\).

2. До какого радиуса необходимо сжать Землю, согласно приведённой теории, чтобы она превратилась в чёрную дыру?

Чебурашка и Гена долго строили и, наконец, построили наглядную модель графена – двумерного кристалла углерода, состоящего из ячеек в виде правильных шестиугольников, как показано на рисунке в масштабе \(250.000.000 : 1\).

Количество ячеек в модели было большим, так что её площадь оказалась равной \(12{,}5\) м\(^2\). Атомы углерода в модели – одинаковые пластилиновые шарики, а «связи» между «атомами» – кусочки проволоки, сделанной из медного сплава. При этом объем пластилина в каждом шарике в 9 раз больше объема каждой проволочки, соединяющей соседние шарики.

Оцените массу этой модели графена. Плотность пластилина \(\rho_{\text{плас}} = 1330\) кг/м\(^3\), плотность медного сплава \(\rho_{\text{пров}} = 9000\) кг/м\(^3\). Масса проволочек, необходимых для изготовления одной-единственной ячейки графена, составляет 487 мг. Расстояние между центрами соседних атомов настоящего графена \(0{,}142\) нм (нанометр – это одна миллионная часть миллиметра). Площадь \(S\) правильного шестиугольника с длиной стороны \(a\) определяется по формуле: \(S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\), где \(\sqrt{3} \approx 1{,}7\).

Вблизи центра Солнца каждая тонна находящегося там звёздного вещества производит 1 Дж энергии каждую секунду за счёт идущих там термоядерных реакций. Вся эта энергия, «добравшись» до поверхности Солнца, излучается Солнцем во все стороны равномерно. На Земле на участок площадью 1 м\(^2\), расположенный перпендикулярно солнечным лучам, за каждую секунду попадает солнечная энергия, равная 1370 Дж (эта величина называется солнечной постоянной). Расстояние от Земли до Солнца равно 150 миллионов км, плотность вещества в центре Солнца равна 160 г/см\(^3\), радиус Солнца — 655 тыс. км. Используя эти сведения, оцените радиус области внутри Солнца, в которой идут термоядерные реакции, и сравните его с радиусом Солнца.

Для справки: площадь поверхности шара радиусом \(R\) равна \(S = 4\pi R^2\), а объём шара радиусом \(R\) равен \(V = \dfrac{4\pi R^3}{3}\).

Требушет — это метательное орудие, использовавшееся в средние века для осады городов. Тяжёлый груз, закреплённый на коротком конце рычага, разгоняет пращу со снарядом, закреплённую на другом конце рычага до большой скорости, после чего снаряд отделяется от пращи и летит в цель. Ниже вы видите схематичный рисунок. Рассмотрим требушет, все детали, снаряд и противовес которого сделаны из одного материала плотностью \(\rho\). Дальнобойность требушета (в предположении, что сила сопротивления воздуха пренебрежимо мала) может зависеть от следующих размерных параметров: от линейных размеров орудия (например, от высоты \(H\)), от плотности материала \(\rho\), из которого сделаны детали орудия, и от ускорения свободного падения \(g\), равного 10 м/с\(^2\).

На основе соображений размерности определите во сколько раз отличается дальнобойность требушета от дальнобойности его точной копии, все размеры которой в 10 раз меньше. Во сколько раз при таком изменении размеров изменяется максимальная (в процессе выстрела) сила натяжения верёвок, соединяющих рычаг и пращу?

Оцените температуру в центре Солнца. Считайте, что плотность вещества Солнца постоянна, а в центре Солнца атомы водорода полностью распадаются на протоны и электроны, образуя плазму с молярной массой \(\mu = 0{,}5\) г/моль, для которой можно использовать уравнение идеального газа. Первая космическая скорость для Солнца (скорость движения спутника вблизи поверхности Солнца) составляет \(V = 400\) км/с. Универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К).

Школьник летом был в Крыму и с высоты \(h = 4\) м над уровнем моря увидел на линии горизонта ракетный крейсер «Москва», который шёл вдоль берега и был виден «во весь рост», от ватерлинии до верха надстроек. Школьник прикрыл один глаз, вытянул перед собой руку и большим пальцем, поднятым вверх, «закрыл» весь крейсер от носа до кормы корабля (для открытого глаза). Ширина пальца равна \(a = 2\) см. Расстояние от глаза до большого пальца при вытянутой руке равно \(l = 70\) см. День был солнечным, поэтому диаметр зрачка открытого глаза был небольшим "— всего 1 мм. Затем он через свой смартфон нашёл справку о параметрах крейсера, где обнаружил, что длина корабля составляет \(L = 186{,}5\) м. Каков радиус \(R\) Земли, вычисленный школьником на основании всех имеющихся данных?

В одной из газет в рубрике «Интересные факты» было написано: «Через отверстие в водопроводной трубе диаметром с иголку за месяц вытекает несколько кубометров воды». Однако, в газете ничего не было сказано о том, чему равна скорость тоненькой струйки воды, которая протекает через это отверстие. Допустим, что речь шла о тонкой иголке для шитья, диаметр которой равен 0,7 мм, а за месяц (30 дней) через такое отверстие вытекает 3 тонны воды. Чему равна при этих условиях скорость струйки воды? Плотность воды равна 1 г/см\(^3\). Ответ выразите в м/с, округлите до целого числа.

Стальная башня высотой 300 м имеет массу 7200 т. Какую массу будет иметь уменьшенная копия этой башни высотой 1,5 м, изготовленная также из стали? Ответ выразите в граммах.

В межзвёздном пространстве один атом водорода приходится на один кубический сантиметр. Какая масса водорода сосредоточена в кубе длиной ребра \(1000\text{ км}\)? Ответ представьте в граммах и округлите до десятых. Известно, что масса \(6\cdot 10^{23}\) (это число из шестёрки и 23 нулей) атомов водорода составляет \(1\text{ г}\).

Вася взвесил на очень точных электронных весах (которые «чувствуют» изменение массы 0,01 г) два чистых белых листа бумаги формата А4 (плотность бумаги 80 г/м\(^2\), размеры листа 297 мм \(\times\) 210 мм). Массы листов были совершенно одинаковыми. На одном из листов на двух его сторонах Вася напечатал на принтере текст, в котором было 6500 символов. После взвешивания листа с текстом оказалось, что его масса увеличилась на 1,6%. Сколько в среднем весит один символ?

Ползи, улитка,
по склону Фудзи
вверх, до самых высот.

Так звучит в русском переводе одно из известных произведений (хайку) японского поэта Кобаяси Исса (1763–1828). Несмотря на свою немногословность, стихи хайку оставили заметный след в мировой культуре. Высота горы (вулкана) Фудзи составляет 3776 м. Но путь улитки, конечно же, не вертикальный и даже не прямой. Предположим, что её путь в 3,5 раза больше высоты горы. Ползёт улитка по 9 часов каждые сутки с постоянной скоростью 1,6 мм/с, а остальное время отдыхает. Вычислите, сколько суток потребуется улитке, чтобы достичь своей цели. Ответ округлите до целых суток.

В озере (площадь поверхности \(1\text{ км}^2\), глубина \(10\text{ м}\)) растворили \(1\text{ моль}\) сахара. Считая, что сахар равномерно распределился по водоёму, определите, сколько молекул сахара окажется в \(1\text{ см}^3\) воды из озера. Один моль — это \(6\cdot 10^{23}\) частиц.

У школьницы Ирины имеются весы, коробка с одинаковыми кубиками и коробка с одинаковыми шариками. На левой чаше весов – гиря неизвестной массы. В первом опыте Ирина стала класть на правую чашу весов кубики (по одному); она увидела, что масса двух кубиков еще меньше массы гири, а масса трех кубиков уже больше массы гири. Во втором опыте Ирина убрала кубики и стала класть на правую чашу весов шарики; она заметила, что масса одного шарика меньше массы гири, а масса двух шариков – уже больше. Чему может быть равно отношение массы шарика к массе кубика? Отношение в ответе записывайте в виде обыкновенной дроби.

У школьницы Карины имеются весы, коробка с одинаковыми кубиками и коробка с одинаковыми шариками. На правой чаше весов — гиря неизвестной массы. В первом опыте Карина стала класть на левую чашу весов кубики (по одному); она увидела, что масса трех кубиков еще меньше массы гири, а масса четырех кубиков уже больше массы гири. Во втором опыте Карина оставила на левой чаше весов один кубик, убрала остальные кубики и стала класть на левую чашу весов шарики; она заметила, что масса кубика и одного шариков меньше массы гири, а масса кубика и двух шариков — уже больше. Чему может быть равно отношение массы шарика к массе кубика? Отношение в ответе записывайте в виде обыкновенной дроби.

Для кипячения воды предлагается использовать конструкцию следующего типа. Большое кольцо 2, ограниченное двумя концентрическими окружностями, покрыто высококачественными зеркалами, наклонёнными так, что весь отражаемый свет фокусируется в точку 3, где на высокой колонне 1 располагается резервуар с водой. Зеркала покрывают всё пространство между окружностями. Считая, что от зеркала отражается всё падающее на него излучение, а солнечные лучи перпендикулярны поверхности земли, оцените, сколько воды будет превращаться в пар за 1 секунду. Внутренний и внешний радиусы кольца равны 5 м и 10 м; мощность солнечного излучения, достигающего поверхности земли в расчёте на 1 м\(^2\), равна 900 Вт; для нагревания 1 кг воды до кипения и превращения этой воды в пар требуется количество теплоты 2300 кДж.

Для кипячения воды предлагается использовать конструкцию следующего типа. Большое кольцо 2, ограниченное двумя концентрическими окружностями, покрыто высококачественными зеркалами, наклонёнными так, что весь отражаемый свет фокусируется в точку 3, где на высокой колонне 1 располагается резервуар с водой. Зеркала покрывают всё пространство между окружностями. Считая, что от зеркала отражается всё падающее на него излучение, а солнечные лучи перпендикулярны поверхности земли, оцените, сколько воды будет превращаться в пар за 1 секунду. Внутренний и внешний радиусы кольца равны 5 м и 10 м; мощность солнечного излучения, достигающего поверхности земли в расчёте на 1 м\(^2\), равна 900 Вт; для нагревания 1 кг воды до кипения и превращения этой воды в пар требуется количество теплоты 2300 кДж.

Из набора гирь («разновесов») Настей были утеряны некоторые миллиграммовые гирьки. Для изготовления временных миллиграммовых разновесов она использовала бумагу из папиного принтера. Помогите Насте вычислить размеры бумажных разновесов прямоугольной формы для замены гирек массами 50 мг, 100 мг, 200 мг (по одному варианту для каждой гирьки). Один квадратный метр бумаги имеет массу 80 г. Какое максимальное число наборов из трёх разновесов прямоугольной формы можно получить из листа бумаги с размерами \(20 \times 40\) см\(^2\)?

Из набора гирь («разновесов») Настей были утеряны некоторые миллиграммовые гирьки. Для изготовления временных миллиграммовых разновесов она использовала бумагу из папиного принтера. Помогите Насте вычислить размеры бумажных разновесов прямоугольной формы для замены гирек массами 50 мг, 100 мг, 200 мг (по одному варианту для каждой гирьки). Один квадратный метр бумаги имеет массу 80 г. Какое максимальное число наборов из трёх разновесов прямоугольной формы можно получить из листа бумаги с размерами \(20 \times 40\text{ см}^2\)?

Полый стальной кубик с тонкими стенками, длина ребра которого 100 мм, имеет массу 472 г. Чему равна толщина стенок кубика, если у всех стенок она одинакова? Плотность стали \(\rho_c = 7800\text{ кг/м}^3\).

Хронофотография — это разновидность фотографии, позволяющая фиксировать движение какого-либо объекта при помощи фотосъёмки отдельных фаз движения. При этом кадры делаются последовательно через равные короткие интервалы времени. Перед вами хронофотография гольфиста, совершающего удар по мячу. Промежуток времени между соседними кадрами равен \(\tau = 16\) мс. Оцените начальную скорость мяча для гольфа. Мяч движется перпендикулярно направлению вашего взгляда. Высота гольфиста равна 1,8 м.

Согласно техническому паспорту, Васиной машине предназначены 15-дюймовые колёсные диски с диаметром шин 627 мм. Когда пришло время сменить машине шины, Вася решил покрасоваться, и он купил 16-дюймовые диски с диаметром шин 652 мм. На сколько секунд изменится время прохождения 1 км с новыми шинами, если машина едет, согласно спидометру, со скоростью 90 км/ч? Спидометр машины измеряет скорость по числу оборотов колеса.

Тройной звездой назовём три материальные точки одинаковой массы, движущиеся с постоянными по величине скоростями по окружности вокруг общего центра масс. Точки находятся на одинаковом расстоянии друг от друга и взаимодействуют только гравитационно. Можно считать, что рядом с тройной звездой никаких других тел нет.

Рассмотрим две тройные звезды одинаковых размеров. Массы материальных точек второй звезды в 10 раз больше масс материальных точек первой звезды. Определите отношение скоростей \(v_2/v_1\) материальных точек второй и первой звёзд. Ответ округлите до целого.

Семиклассник Вася увлекся кулинарией и решил разработать рецепт нового угощения из пастилы и шоколада. Для этого он взял кусочек пастилы длиной 10 см квадратного сечения со стороной 2 см. Масса кусочка равнялась 13 г. Вася разрезал пастилу поперёк на 5 маленьких кусков и опустил их в горячий шоколад, а потом вынул. Масса всех кусочков после этого составила 25 г. Найдя в кулинарном справочнике значение плотности шоколада 1,6 г/см\(^3\), Вася решил рассчитать толщину слоя шоколада, оставшегося на кусочках. Какое значение у него получилось? Ответ выразите в мм, округлив до десятых. Толщина слоя шоколада намного меньше размеров кусочка пастилы.

Школьницы Алиса и Василиса нагревают воду в полных стаканах при помощи кипятильников. Кипятильник Василисы является точной копией кипятильника Алисы, увеличенной в три раза, а стакан Василисы "— увеличенной в два раза копией стакана Алисы. Кипятильники включают в розетки с одинаковым напряжением. Вода у Алисы закипает за 3 минуты. За какое время закипит вода у Василисы? Считать, что вся выделяющаяся энергия идет на нагревание воды. Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Оцените массу атмосферы планеты по следующим данным: давление у поверхности планеты \(9\text{ МПа}\), радиус планеты \(6000\text{ км}\), ускорение свободного падения у поверхности \(9{,}42\text{ м/с}^2\). Площадь поверхности сферы радиуса \(R\) равна \(4\pi R^2\). Приведённые в условии параметры близки к характеристикам Венеры.

Космический аппарат площадью сечения \(1\text{ м}^2\) влетает со скоростью \(10\text{ км/с}\) в облако молекулярного водорода плотностью \(10^{-10}\text{ кг/м}^3\). Оцените, сколько молекул водорода каждую секунду сталкивается с космическим аппаратом. Молярная масса водорода составляет \(2\text{ г/моль}\). Один моль — это \(6\cdot 10^{23}\) частиц.

Оцените массу атмосферы планеты по следующим данным: давление у поверхности планеты 150 кПа, радиус планеты 3000 км, ускорение свободного падения у поверхности \(1{,}57\) м/с\(^2\). Площадь поверхности сферы радиуса \(R\) равна \(4\pi R^2\).

Калорийность "— это количество энергии, выделяемой человеком в результате поглощения того или иного продукта. Кало́рия "— внесистемная единица количества работы и энергии, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 грамма воды на 1 градус Цельсия при стандартном атмосферном давлении 101325 Па (1 кал \(= 4{,}1868\) Дж). Количество калорий, необходимых человеку, зависит от выполняемой работы, от физической активности, от пола, возраста, и даже от географической широты (холодный или жаркий климат).

Надеемся, что все помнят, как ранним утром Винни-Пух и Пятачок зашли в гости к Кролику. Воспитанный Кролик пригласил друзей к столу. Винни-Пух, обрадовавшись такому предложению, согласился (чтобы не обижать Кролика) и протиснулся по узкому проходу внутрь дома. Когда в какой-то момент запасы меда и малинового варенья Кролика закончились, Винни-Пух решил, что настало то время, когда нужно поблагодарить хозяина и возвращаться домой. Однако…{} домой Винни-Пух сразу не попал, так как застрял в узком проходе к двери Кролика.

Допустим, что при своей начальной массе, равной 20 кг, Винни-Пух съел 3 банки меда по 1,5 кг каждая и 6 банок малинового варенья по 500 г каждая. Калорийность 100 г меда равна 314 ккал, а калорийность 100 г малинового варенья "— 271,4 ккал. Энергетические затраты организма во время сна равны энергетическим затратам организма во время спокойного отдыха лежа и составляют 3977,46 Дж/час на 1 килограмм массы тела; эта величина при пении равна 7285,032 Дж/час на килограмм массы тела, а при чтении вслух "— 5066,028 Дж/час на килограмм массы тела.

Пусть Винни-Пух 8 часов в сутки спит, а остальное время "— лежит, половину времени напевая, а другую половину декламируя свои «пыхтелки» "— а что еще остается ему делать? Так сколько же суток придется Винни-Пуху ждать таким необычным образом счастливого момента своего освобождения из норы Кролика?

Кристалл поваренной соли представляет собой кубическую решётку из атомов натрия и хлора, расположенных в <<шахматном>> порядке, так, что ближайшими соседями атома натрия являются атомы хлора, а ближайшими соседями атома хлора "— атомы натрия. Плотность поваренной соли \(2{,}16\) г/см\(^3\). Масса атома хлора составляет \(35{,}5\) атомных единиц массы, масса атома натрия "— \(23{,}0\) атомных единиц массы. В одном грамме \(6\cdot 10^{23}\) атомных единиц массы (\(6\cdot 10^{23}\) "— число из шестёрки и 23 нулей).

1. Сколько атомов натрия помещается в кубик длиной ребра 10 нанометров (один нанометр составляет миллиардную долю метра)? Ответ округлите до второй значащей цифры.

2. Найдите расстояние между соседними атомами решётки. Ответ выразите в нанометрах и округлите до второй значащей цифры.

3. Представим, что один грамм поваренной соли растворили в водоёме объёмом в кубический километр (при этом атомы натрия и хлора превратились в ионы). Сколько ионов натрия, распределившихся равномерно по водоёму, будет содержаться в кубическом миллиметре жидкости? Ответ округлите до второй значащей цифры.

У поверхности Земли на каждый квадратный метр площади, перпендикулярной направлению на Солнце, каждую секунду падает 1,4 кДж энергии излучения от Солнца.

Вопрос A (2 балла). Сколько солнечной энергии попадет за час на пластинку площадью 2 квадратных сантиметра, перпендикулярную направлению на Солнце? Ответ представьте в килоджоулях и округлите до второй значащей цифры.

Вопрос B (2 балла). Сколько солнечной энергии падает за секунду на площадку площадью 4 квадратных нанометра, расположенную перпендикулярно направлению на Солнце? Ответ представьте в электрон-вольтах (эВ) и округлите до второй значащей цифры. Один нанометр — это миллиардная доля метра, 1 электрон-вольт равен \(1{,}6\cdot 10^{-19}\) Дж (\(10^{-19}\) — это произведение 19 множителей 0,1).

Вопрос C (3 балла). Излучение можно представлять себе как поток частиц — фотонов. Энергия фотона желтого цвета составляет 2,1 электрон-вольт (эВ). Считая энергию всех фотонов одинаковой, определите, сколько фотонов падает за секунду на площадку площадью 4 квадратных нанометра, расположенную перпендикулярно направлению на Солнце. Ответ округлите до второй значащей цифры. Один нанометр — это миллиардная доля метра, 1 электрон-вольт (эВ) равен \(1{,}6\cdot 10^{-19}\) Дж (\(10^{-19}\) — это произведение 19 множителей 0,1).

Вопрос D (3 балла). Какая мощность излучается с площадки в 1 квадратный миллиметр поверхности Солнца? Ответ представьте в ваттах и округлите до второй значащей цифры. Радиус Солнца составляет 700 000 км, расстояние от Земли до Солнца 150 миллионов км.

У школьницы Марины в холодильнике имеются ледяные кубики (все одинаковые) и шарики (все одинаковые). На столе у Марины два одинаковых сосуда с одинаковым количеством воды комнатной температуры. В первый сосуд Марина стала класть ледяные кубики (по одному); она увидела, что три кубика полностью растаяли, а четвёртый кубик растаял частично. Во второй сосуд Марина положила один ледяной кубик, а затем — шарики. Она увидела, что кубик и один шарик полностью растаяли, а второй шарик растаял частично. Чему может быть равно отношение массы шарика к массе кубика? Отношение в ответе записывайте в виде обыкновенной дроби. Потерями тепла можно пренебречь.

У школьницы Арины в холодильнике имеются ледяные кубики (все одинаковые) и шарики (все одинаковые). На столе у Арины — два одинаковых сосуда с одинаковым количеством воды комнатной температуры. В первый сосуд Арина положила шарик и далее стала класть ледяные кубики (по одному); она увидела, что шарик и три кубика полностью растаяли, а четвёртый кубик — растаял частично. Во второй сосуд Арина сначала положила один ледяной кубик, а затем — шарики. Она увидела, что кубик и два шарика полностью растаяли, а третий шарик — растаял частично. Чему может быть равно отношение массы шарика к массе кубика? Отношение в ответе записывайте в виде обыкновенной дроби. Потерями тепла можно пренебречь.

У школьницы Арины в холодильнике имеются ледяные кубики (все одинаковые) и шарики (все одинаковые). На столе у Арины — два одинаковых сосуда с одинаковым количеством воды комнатной температуры. В первый сосуд Арина положила шарик и далее стала класть ледяные кубики (по одному); она увидела, что шарик и три кубика полностью растаяли, а четвёртый кубик — растаял частично. Во второй сосуд Арина сначала положила один ледяной кубик, а затем — шарики. Она увидела, что кубик и два шарика полностью растаяли, а третий шарик — растаял частично. Чему может быть равно отношение массы шарика к массе кубика? Отношение в ответе записывайте в виде обыкновенной дроби. Потерями тепла можно пренебречь.

Первая оценка скорости света была дана Рёмером в 1675 году. Изучая движение Ио (спутника Юпитера), он получил значение близкое к 220000 км/с. Орбита Ио расположена в плоскости орбиты Земли, поэтому спутник периодически исчезает в тени Юпитера. Интервал между двумя последовательными появлениями Ио из тени Юпитера в среднем равен 42,5 ч. Однако, согласно современным исследованиям при различных положениях Солнца, Земли и Юпитера этот интервал может отклоняться от среднего значения не более, чем на 16 с в большую или меньшую сторону. По представленным данным определите скорость света, если расстояние от Земли до Солнца составляет \(1{,}5 \cdot 10^8\) км. Можно считать, что орбитальная скорость Юпитера вокруг Солнца намного меньше, чем у Земли.

Цилиндр заполнен материалом с множеством однородно распределённых пор, число которых в единице объёма цилиндра 100 см\(^{-3}\). Слева в цилиндр со скоростью \(u = 5\) см/c вдвигают поршень. Перед ним образуется область уплотнения, в которой объём каждой поры уменьшается на 5 мм\(^3\). Считайте, что плотность материала между порами не изменяется.

1. Найдите скорость \(v\) границы раздела уплотнённой и неуплотнённой части. Ответ выразите в см/с, округлите до целых.

2. Найдите число пор в единице объёма цилиндра в области уплотнения. Ответ выразите в см\(^{-3}\), округлите до целых.

Плоская деталь в форме квадрата изготовлена по следующей схеме. Картонная модель квадрата была разделена на 5 частей, так как это показано на рисунке. Каждый последующий внутренний квадрат по размеру в два раза меньше внешнего к нему квадрата. Затем отдельные части были заменены копиями, изготовленными из разных материалов одинаковой толщины. При этом плотность материала возрастает на 1 г/см\(^3\) у каждой последующей внутренней детали (плотность первой детали 1 г/см\(^3\), плотность последней 5 г/см\(^3\)). Определите среднюю плотность детали, собранной из отдельных частей. Ответ выразите в г/см\(^3\), округлите до сотых.

Большое количество полосок из пластика шириной \(2d\) и толщиной \(0{,}02d\) переплели между собой так, что получилось пластиковое полотно, небольшой фрагмент которого показан на рисунке. Ширина промежутка между любыми двумя параллельными полосками равна \(d\).

1. Как изменится поверхностная плотность полотна, если все линейные размеры (полосок и промежутков) станут в два раза меньше?

2. Во сколько раз изменится поверхностная плотность полотна, если ширина промежутков между полосками станет равна \(0{,}5d\)?

Некоторые вещества при определённых температуре давлении могут изменять тип своей кристаллической решётки. Железо при температуре \(911\,^\circ\)C проявляет полиморфизм "— решётка перестраивается из кубической объемноцентрированной в кубическую гранецентрированную. Ячейки этих решёток изображены на левом и правом рисунках соответственно, чёрными кружками обозначено положение атомов железа.

Отношение размеров ячеек равно \(\dfrac{b}{a} = 1{,}247\). На сколько процентов изменяется плотность железа в процессе такого полиморфного превращения?

В современной метрологии эталонным прибором для измерения времени являются атомные часы. Перспективной альтернативой атомным часам могут стать пульсары — быстро вращающиеся нейтронные звезды. Некоторые пульсары обладают поразительной стабильностью вращения, испуская при каждом обороте звезды (через равные промежутки времени) радиосигналы, которые могут быть зарегистрированы на Земле. Пульсар PSR B1937+21 — яркий тому пример.

Период вращения пульсара PSR B1937+21 равен \(T = 1{,}557806449\) мс, погрешность измерения этого значения равна \(\Delta T = 5 \cdot 10^{-12}\) с. Скорость вращения пульсара может немного изменяться из-за внутренних процессов в звезде. Для учёта этого фактора будем считать, что погрешность измерения периода пульсара увеличивается на 1 пикосекунду (\(10^{-12}\) с) каждые 5 лет, причём это увеличение происходит скачком в конце каждого пятилетнего периода. Предположим, что часы на основе пульсара используются для измерения большого промежутка времени \(t\). При каком значении \(t\) накопленная погрешность измерения станет равна 1 секунде? Считайте, что среднее значение периода вращения пульсара постоянно и равно \(T\). Ответ выразите в годах.

В обычном (пузырьковом) режиме кипения тепло отводится от поверхности нагревателя за счёт парообразования и интенсивного перемешивания жидкости, возникающего при росте и отрыве пузырьков. Однако при достаточно большой мощности нагревателя режим кипения меняется: образование пара становится столь интенсивным, что пузырьки сливаются друг с другом, формируя на поверхности нагревателя сплошную паровую плёнку. Такая смена режима кипения называется кризисом кипения.

Поскольку коэффициент теплоотдачи через паровой слой на два порядка меньше, чем при пузырьковом кипении, стационарный режим теплопередачи нарушается: при неизменной мощности нагрева температура нагревательного элемента начинает неконтролируемо расти. Это приводит к его разрушению — так называемому <<пережогу стенки>>.

Согласно гидродинамической теории С. С. Кутателадзе, критическое состояние наступает, когда интенсивный поток образующегося пара начинает препятствовать доступу жидкости к поверхности нагревателя. Проще говоря, этот поток действует на воду подобно сильному встречному ветру.

Динамическое давление такого <<пара-ветра>> определяется формулой: \[P=\frac{\rho u^2}{2},\] где \(u\) — скорость пара, образующегося у поверхности нагревателя, а \(\rho\) — его плотность.

Кризис кипения наступает, когда динамическое давление пара достигает некоторого значения \(P_{\text{крит}}\), при котором оно сравнивается с давлением, обусловленным силами поверхностного натяжения и тяжести, стремящимися <<протолкнуть>> воду обратно к поверхности нагревателя сквозь поток пара. Величину критического динамического давления для воды можно считать равной \(P_{\text{крит}}\approx 20\text{ Па}\).

Рассмотрим сосуд с плоским нагревательным элементом площадью \(80\text{ см}^2\) (похожий на электрочайник). Вода в сосуде нагрета до температуры, близкой к \(100\,^\circ\text{С}\); плотность пара при этой температуре и нормальном атмосферном давлении \(\rho=0{,}6\text{ кг/м}^3\). Удельная теплота парообразования \(L=2{,}26\text{ МДж/кг}\).

1. При какой мощности \(W_0\), подводимой к нагревателю, наступает кризис кипения?

2. Пусть к нагревателю подводится мощность \(1{,}1W_0\). До какой температуры теоретически (!) может разогреться нагреватель, если коэффициент теплоотдачи от стенки к воде через паровой слой равен \(\alpha=200\text{ Вт/(м}^2\cdot{}^\circ\text{С)}\)? Мощность теплопередачи определяется формулой \[W=\alpha\cdot S\cdot\Delta T,\] где \(S\) — площадь нагревателя, а \(\Delta T\) — так называемый <<перегрев стенки>>, то есть разность температур нагревательного элемента и воды в сосуде.

3. Теперь к нагревателю подводится мощность \(W\), значительно меньшая \(W_0\). За какое время выкипит электрический чайник с таким нагревателем и сломанным терморегулятором, содержащий \(1\text{ кг}\) воды при температуре кипения, если перегрев стенки составляет \(5\,^\circ\text{С}\)? Коэффициент теплопередачи для воды при развитом пузырьковом кипении равен \(\alpha=5\cdot10^4\text{ Вт/(м}^2\cdot{}^\circ\text{С)}\).

Астрономы обнаружили пару небольших галактик, вращающихся вокруг общего центра масс с периодом \(T \approx 10^5\text{ лет}\) (см. фотографию). Центры этих галактик находятся на расстоянии \(L \approx 10^7\text{ а.е.}\) друг от друга (1 а.е. — это астрономическая единица длины, равная среднему радиусу орбиты Земли). Оцените, на сколько порядков суммарная масса этих галактик превосходит массу Солнца? (Таким образом, необходимо представить результат в виде \(\dfrac{M}{M_\text{С}} \approx 10^n\), и в ответе указать \(n\), округлив его до целых.)

Согласно квантовым представлениям, свет можно рассматривать как поток частиц-фотонов. При этом энергия одного фотона с частотой \(\nu\) равна \(h\nu\), где \(h = 6{,}6\cdot 10^{-34}\) Дж\(\cdot\)с — постоянная Планка. Представим себе, что источник света мощностью \(1\) Вт находится на расстоянии \(1\) км от наблюдателя. Сколько миллионов фотонов попадает за \(1\) с на площадку в один квадратный миллиметр, расположенную перпендикулярно направлению на источник? Ответ округлите до десятых. Длину световой волны считайте равной \(500\) нм.

Оцените скорость движения спутника по орбите вблизи поверхности звезды — белого карлика. Считайте, что с расстояния в одну астрономическую единицу (это расстояние от Земли до Солнца) белый карлик виден под углом \(0{,}32 \cdot 10^{-4}\) радиан, а масса белого карлика равна массе Солнца. Скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца составляет 30 км/с.

Известно, что сила сопротивления, действующая на движущееся в воздухе тело, пропорциональна плотности воздуха, квадрату размера тела и квадрату скорости тела. Пусть металлический шарик падает у поверхности Земли со скоростью 50 м/с. Плотность воздуха у поверхности Земли 1,3 кг/м\(^3\), ускорение свободного падения 10 м/с\(^2\).

Вопрос A (3 балла). С какой установившейся скоростью будет падать у поверхности Земли изготовленный из того же материала металлический шарик втрое большего размера? Ответ представьте в м/с и округлите до целых.

Вопрос B (3 балла). Какой должна быть плотность воздуха, чтобы установившаяся скорость падения данного шарика составила 8 км/с? Ответ представьте в мг/м\(^3\) и округлите до второй значащей цифры.

Вопрос C (4 балла). Какой будет установившаяся скорость падения данного шарика на планете с ускорением свободного падения 10 м/с\(^2\), температурой \(400\,^\circ\)C, давлением 10000 кПа? Состав атмосферы считайте земным (молярная масса 29 г/моль). Абсолютный нуль температуры \(-273\,^\circ\)C, универсальная газовая постоянная 8,3 Дж/(моль\(\cdot\)К). Ответ представьте в м/с и округлите до десятых.

В г. Москве в районе Очаково работает мощная тепловая электрическая станция с названием «ТЭЦ-25». Максимальная электрическая мощность этой станции составляет \(W_1 = 1370\) МВт. Кроме выработки электроэнергии, эта станция может одновременно поставлять теплоту с мощностью \(W_2 = 4088\) Гкал/ч для снабжения соседних районов города горячей водой и для обогрева домов. Станция работает на природном газе метане (CH\(_4\)), при сгорании \(m_0 = 16\) г которого выделяется количество теплоты \(Q = 797\) кДж. В атмосферу через трубы вместе с продуктами сгорания всегда выбрасывается 20% энергии, полученной в результате сгорания топлива. В летнем режиме, когда дома отапливать не нужно, станция работает на 80% своей максимальной электрической мощности, и при этом 30% выделившейся при сгорании метана теплоты всё равно приходится отводить в атмосферу при помощи испарения воды в специальных устройствах – градирнях. Удельная теплота парообразования воды \(L = 2256\) кДж/кг, одна калория равна примерно 4,2 Дж.

1. Каков у станции расход топлива (в кг/с) зимой?

2. Каков КПД использования тепловой энергии при её преобразовании в электрическую зимой?

3. Какое количество воды ежесекундно превращается в пар (в л/с) в градирнях станции летом?

4. Какая мощность поставляется потребителям горячей воды в домах летом?

Активный пенсионер Николай Васильевич купил в магазине катушку клейкой ленты (скотча) без заводской этикетки. Его заинтересовали вопросы: какова длина \(L\) этой ленты, и чему равна толщина \(d\) плёнки, из которой лента изготовлена? Николай Васильевич сфотографировал катушку клейкой ленты вместе с линейкой, приложенной в самом широком месте катушки. После этого он показал фотографию своим друзьям (аккуратно сделанный по фотографии рисунок приведён ниже), задал им свои вопросы, и через некоторое время получил ответы — они приведены в таблице. При этом один из друзей честно признался, что длину скотча он узнал у продавца в магазине, а затем вычислил толщину при помощи фотографии. Кто из друзей Николая Васильевича правильно ответил на вопросы? Чему равны длина ленты и толщина пленки?

В простейшей физической модели пешей ходьбы считается, что центр масс человека движется по периодической кривой, повторяющийся участок которой представляет собой дугу окружности с радиусом, равным длине ноги человека \(H\). Определите в рамках этой модели отношение максимальных скоростей ходьбы на Земле и на Марсе, а также отношение мощностей, затрачиваемых при ходьбе с максимально возможной скоростью на этих планетах. Масса Марса составляет 0,11 массы Земли, радиус Марса равен 0,53 радиуса Земли. По поверхности Марса человек перемещается в скафандре, масса которого составляет примерно треть массы человека. Траектории центра масс человека на Земле и человека в скафандре на Марсе считайте одинаковыми. Учтите, что при ходьбе необходим постоянный контакт хотя бы одной ноги с поверхностью планеты.

Медный шарик, нагретый до \(50\,^\circ\text{C}\), после погружения в прорубь за 10 с охладился до \(25\,^\circ\text{C}\). За какое время охладится до \(25\,^\circ\text{C}\) медный цилиндр, имеющий ту же массу и ту же начальную температуру? Высота цилиндра равна его радиусу. Ответ выразите в секундах и округлите до десятых.

Вова с папой поехали на машине из Москвы в Санкт-Петербург. На трассе скорость их автомобиля была не более 110 км/ч, но не менее 80 км/ч. От скуки Вова решил снять видео на смартфон. В поле съёмки попал джип, двигавшийся некоторое время по соседней полосе с той же скоростью, что и автомобиль Вовиного папы. И тут Вова обнаружил, что на экране его телефона радиальные поперечины на диске колеса джипа (форма диска показана на рисунке ниже) либо стоят на месте, либо медленно вращаются, совершая не более одного оборота за время около 10 с. Позже на стоянке по маркировке на покрышке обогнавшего их джипа, Вова определил диаметр его колеса, получилось 72 см. Вова знает, что его смартфон снимает видео с частотой 30 кадров в секунду. Он считает, что каждый кадр представляет собой мгновенную фотографию.

Вова подумал, что по имеющимся данным он может не просто определить скорость \(v\) джипа в тот момент, когда он поравнялся с машиной папы, но и указать границы интервала \(v_{\min} < v < v_{\max}\), в пределах которого лежит значение скорости \(v\).

1. Чему может быть равна скорость \(v\)? Достаточно одного значения.

2. Определите границы интервала \(v_{\min}\) и \(v_{\max}\) возможных скоростей.

Горячая вода в стоящем на столе открытом стакане остывает на \(1^\circ\)C за 0,6 минуты. Если накрыть стакан листком бумаги, время остывания увеличится и станет равным 0,9 минуты. Если вместо этого поставить открытый стакан на пенопластовую подставку, то время остывания на \(1^\circ\)C станет 0,75 минуты. Если же, убрав подставку, сделать вокруг стенок открытого стакана пенопластовый цилиндрический теплоизолятор — время остывания на \(1^\circ\)C увеличится до 1 минуты. Теперь, чтобы замедлить остывание, одновременно будем использовать все средства — и подставку, и цилиндр, и даже листок бумаги. Найдите время остывания воды на \(1^\circ\)C в этом случае. Во всех экспериментах начальная температура воды в стакане одинаковая. Считайте, что пенопласт является очень хорошим теплоизолятором. Ответ выразите в минутах, округлите до целого числа.

Ниже вы видите компьютерный рисунок из «Википедии» (автор: Niabot), на котором изображены первые итерации построения фрактала под названием «Губка Менгера». На первой итерации в кубе делают три сквозных отверстия квадратного сечения. Оси отверстий взаимно перпендикулярны, перпендикулярны граням куба и проходят через середины граней. Длина стороны квадрата, лежащего в сечении отверстия, равна \(\dfrac13\) длины стороны грани куба. На второй итерации подобные отверстия проделывают в маленьких кубиках, образовавшихся на гранях большого куба и так далее.

Пусть имеется заготовка в виде куба с длиной стороны 1 м, изготовленная из пластика плотностью 1000 кг/м\(^3\), а также устройство, при помощи которого можно делать в этой заготовке отверстия квадратного сечения сколь угодно малого размера. Из куба решили изготовить \(n\)-ую итерацию губки Менгера.

1. Чему равна средняя плотность куба на четвёртой итерации (последний кубик на рисунке)?

2. Представим себе, что образующиеся на \(n\)-ой итерации полости заполняют пластиком плотностью 2000 кг/м\(^3\). Чему может быть равна средняя плотность куба на \(n\)-ой (\(n \ge 0\)) итерации? В ответе укажите границы диапазона возможных значений плотности.

3. Нам не нравится, что губка белая. Решили покрасить все грани губки на второй итерации (в том числе все внутренние) синей краской, расход которой составляет 100 г/м\(^2\). Хватит ли одной банки, содержащей 1 кг краски, для этого? А двух банок?

Ленту перематывают с одной бобины на другую так, что скорость свободной ленты, находящейся между бобинами, всё время постоянна и равна 1 см/с. Толщина ленты 0,1 мм. Радиус первой бобины (вместе с лентой) в начальный момент времени равен 1 см. С какой частотой будет вращаться первая бобина по прошествии 100 с после начала перематывания? Оси вращения бобин параллельны друг другу и расстояние между ними постоянно. Ответ выразите в с\(^{-1}\), округлите до сотых.

Две одинаковые однородные металлические планки массой \(M = 1\) кг соединены шарниром \(B\) (рис. ниже), масса которого пренебрежимо мала. Левый конец одной из планок прикреплён при помощи ещё одного шарнира \(C\) к горизонтальной поверхности. В т. \(A\) на правую планку действует неизвестная горизонтальная сила \(F\), при этом система находится в равновесии, и левая планка составляет угол \(\alpha = 5\cdot 10^{-2}\) рад с горизонталью. Трением в шарнирах, а также трением между планкой и горизонтальной поверхностью можно пренебречь. Ускорение свободного падения равно \(g = 10\) м/с\(^2\). Ответы на вопросы задачи дайте в Н (Ньютонах), округлите до целых.

1. Чему равна сила нормальной реакции \(N_A\), действующая на правую планку в т. \(A\)?

2. Найдите горизонтальную силу \(F\).

Согласно паспорту детали, изготовленной из сплава меди и свинца, её масса равна \(m = 1000 \pm 1\) г. Измерив объём детали, рассчитали среднее значение плотности, которое оказалось равным \(\rho = 10{,}0\) г/см\(^3\). Сколько грамм меди может содержать в себе деталь, если объём был измерен с погрешностью \(\Delta V = 1\) см\(^3\)? Плотности меди и свинца равны \(\rho_\text{м} = 8{,}9\) г/см\(^3\) и \(\rho_\text{с} = 11{,}3\) г/см\(^3\).

Дифракционная решётка (см. рисунок ниже) представляет собой непрозрачную пластинку, в которой с пространственным периодом \(D\) сделаны \(N\) (\(N\gg1\)) узких прорезей (штрихов) толщиной \(h\). Обратите внимание, на рисунке прозрачные области показаны серым. В первых двух пунктах этой задачи мы рассматриваем решётки, содержащие \(n=100\) штрихов на миллиметр, считая при этом, что \(h=0{,}2D\). Решётки располагаются параллельно экрану, на котором наблюдается дифракционная картина, на расстоянии \(L=3\) м от него. Экраном считается участок вертикальной стены высотой 1 м и шириной 2 м. Решётки освещаются лучом лазерной указки, параметры которой одинаковые для всех пунктов: диаметр пучка \(d=2\) мм, длина волны \(\lambda=532\) нм. В первых двух пунктах свет падает на решётки по нормали. Середины решётки и экрана лежат на одном перпендикуляре к плоскости экрана.

1. Пусть штрихи решётки ориентированы вертикально. При нормальном падении лазерного луча на решётку на экране наблюдается система ярких пятен. Сколько всего светлых пятен будет видно на экране? Чему будет равно расстояние между соседними пятнами вблизи центра экрана?

2. Пусть две дифракционные решётки накладываются друг на друга. Штрихи одной решётки располагаются горизонтально, а штрихи другой составляют угол \(\alpha\) с горизонтальной прямой. В результате получается непрозрачная пластинка, на которой периодически распределяются прозрачные области в виде параллелограммов. Схематично такая пластинка показана на рисунке ниже, тёмные параллелограммы символизируют прозрачные области.

   

   При освещении такой двумерной решётки лазером на экране наблюдается система светлых пятен. Пусть на экране задана система координат \(YOX\), направление осей \(OY\) и \(OX\) совпадает с направлением осей на рисунке, начало координат находится в центре экрана.

   Пусть угол \(\alpha\) равен \(\dfrac\pi2\). Сделайте рисунок, изобразите дифракционную картину. Укажите координаты нескольких светлых пятен на экране, располагающихся вблизи начала координат.

   Изобразите схематично дифракционную картину и определите координаты светлых пятен для случая \(\alpha\ne\dfrac\pi2\).

3. Гитарная струна с оплёткой представляет собой отражательную дифракционную решётку. Оплётка — это тонкая проволока, навитая в один слой виток к витку на сердечник струны (см. рисунок).

   

   При освещении горизонтально расположенной струны лучом лазерной указки, направленным под небольшим углом к горизонтали (см. рисунок, представленный ниже), на вертикальном экране, находящемся в 2–3 метрах от струны, наблюдается дифракционная картина в виде концентрических полуокружностей. В эксперименте были измерены следующие величины: расстояние от точки падения лазерного луча на струну до стены \(L=2\) м, радиусы первых двух полуокружностей \(R_0=4\) см, \(R_1=12{,}5\) см. «Первых двух» означает наименьшей и следующей по размеру. Использовался тот же лазер, что и в предыдущих пунктах (\(\lambda=532\) нм). Определите по этим данным диаметр проволоки оплётки.

   

На расстоянии 600 м от пчелиного улья растёт акация, откуда каждая пчела переносит в улей 30 мм\(^3\) нектара за один полёт. При производстве мёда пчёлы испаряют часть содержащейся в нектаре воды, составляющей 60% его массы. В результате содержание воды в мёде уменьшается до 20% от его массы. Пчёлы получают энергию, необходимую для испарения воды, употребляя часть принесённого нектара. За 10 дней цветения пчелиная семья произвела 20 кг мёда. Определите среднюю мощность, затрачиваемую пчёлами только на испарение воды. Какое общее расстояние пролетели пчёлы, собирая нектар и перенося его в улей? Плотность нектара равна \(1{,}2\) г/см\(^3\). Известно, что 1 кг нектара обеспечивает пчёлам \(6{,}0\) МДж энергии, а для испарения 1 кг воды пчёлам требуется затратить \(2{,}4\) МДж энергии. Считайте, что от улья до акации и обратно пчёлы летают по прямой.

На соревнованиях пахарей надо было как можно быстрее обработать трактором с навесными орудиями (боронами шириной 10 м) квадратный участок поля площадью 1 гектар (т.е. \(100 \times 100\) м\(^2\)). Трактор при этом мог двигаться только вперед со скоростью 2 м/с и совершать повороты с минимальным радиусом 10 м (по центру трактора) на той же скорости. Вне поля достаточно места для любых разворотов, и вся площадь поля должна быть проборонована. Предложите и нарисуйте на прилагаемом листе траекторию движения трактора, при движении по которой время, необходимое для обработки поля, будет как можно меньшим. Рассчитайте, чему равно это время.

Взяв старый пленочный фотоаппарат, школьник Вася отправился фотографировать соревнования по легкой атлетике. Сделав достаточное количество фотографий с разными выдержками, Вася обнаружил, что спортсмены, пробегавшие на расстоянии \(a_0 = 10\) м от фотоаппарата перпендикулярно оптической оси объектива, получались на снимках четкими, если затвор фотоаппарата открывался на время, не превосходящее \(\tau = 0{,}001\) с. При этом неподвижные предметы, расположенные на расстояниях менее \(a_1 = 5\) м от фотоаппарата, получались размытыми. Определите диаметр \(D\) объектива фотоаппарата. Скорости спортсменов считайте равными \(v = 10\) м/с.

В Москве построили 30 снегоплавильных пунктов, в которых собранный с улиц снег расплавляется и уже в жидком виде отправляется на очистку. Для плавления снега используется теплая вода из канализации, причем сейчас используется только 1% от сбрасываемого в канализацию количества теплоты. Оцените, сколько процентов от сбрасываемой в канализацию теплой воды надо израсходовать, чтобы перетопить весь выпадающий на улицы и площади снег.

Известно, что на одного москвича в среднем приходится 10 м\(^2\) площади улиц, тротуаров и площадей. Каждый житель сливает в канализацию в среднем 100 л воды в сутки, при этом средняя температура воды на входе в сливное отверстие равна \(+30\) °С. Средняя месячная норма осадков зимой для Москвы \(\approx 50\) мм (в пересчете на воду). Теплота плавления снега, как и льда, равна примерно \(3{,}3\cdot 10^5\) Дж/кг, плотность воды равна 1000 кг/м\(^3\), удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг\(\cdot\)°С).

«Водяная ракета» представляет собой полуторалитровую (\(V = 1{,}5\) л) бутылку, в которую налито небольшое количество воды массой \(m = 200\) г. Ракета несёт полезный груз, закреплённый на её корпусе снаружи. Бутылка заткнута резиновой пробкой, а давление воздуха в ней равно \(p = 5\) атмосфер. Оцените, на какую высоту взлетит эта ракета, запущенная вертикально вверх из перевёрнутого положения в результате быстрого выброса воды после удаления пробки. В момент старта ракета была неподвижна. Общая масса взлетевшей ракеты с «боеголовкой» \(M = 0{,}5\) кг. Считайте, что давление в бутылке при выбросе воды меняется не сильно. Массой пробки и воздуха в бутылке пренебречь. Плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

Летом в ясный солнечный день школьник вышел во двор своего дома с прямоугольным зеркальцем в руках. Поймав зеркальцем солнечный свет, он направил зайчик перпендикулярно на неосвещенную стену дома и стал постепенно отходить от нее. Оказалось, что вначале зайчик имел квадратную форму со стороной \(d = 5\) см, а потом его края стали размываться, и он постепенно стал практически круглым, с небольшим размытием по краям. Пренебрегая явлением дифракции, объясните наблюдаемый эффект и оцените, при каком расстоянии \(L\) от стены ширина размытой области на краю зайчика станет менее 10% от диаметра его ярко освещенной круглой части. Размер зеркальца \(5 \times 7\) см, угловой размер Солнца \(\varphi \approx 0{,}01\) радиана.

Папа решил взять с собой Васю на зимнюю рыбалку. В инвентаре папы оказалось два лишних свинцовых грузила одинаковой массой. Первое представляло собой кубик, а второе цилиндр, высота которого равна длине ребра кубика. К середине одной из граней кубика и к центру одного из оснований цилиндра были прикреплены маленькие крючки. В какой-то момент Васе стало скучно, и он начал экспериментировать с этими грузилами. Вася привязал к крючкам нитки, подвесил грузила за эти нитки, и заклеил верхние и нижние поверхности грузил изоляционной лентой, которая плохо проводит теплоту. После этого Вася нагрел на походной газовой горелке воду в миске, опустил в нее свинцовый кубик, дождался его полного прогревания до \(80\) °С, и после этого погрузил кубик в прорубь. Оказалось, что кубик охладился до температуры \(36{,}6\) °С за 30 секунд. Затем Вася нагрел тем же способом до той же температуры цилиндрическое грузило, и тоже погрузил его в прорубь. За какое время оно охладится до температуры \(36{,}6\) °С?

Два кубика c длинами рёбер \(3a\) и \(a\) и общим центром делят пространство на три области. Область внутри маленького кубика равномерно заряжена по объёму электрическим зарядом с плотностью \(-\rho_1\) (\(\rho_1 > 0\)), пространство между поверхностями маленького и большого кубиков равномерно заряжено с объёмной плотностью заряда \(+\rho_2\) (\(\rho_2 > 0\)), вне большого кубика электрических зарядов нет. Найдите отношение объёмных плотностей заряда \(\rho_1/\rho_2\), при котором потенциал в центре кубиков будет равен потенциалу бесконечно удаленной точки, то есть нулю.

На фотографии, сделанной камерой мобильного телефона, представлен вращающийся пропеллер самолета. Наблюдаемый эффект «смазывания» изображения обусловлен способом обработки светового потока матрицей фотокамеры. Во время срабатывания фотокамеры матрица «захватывает» не всю снимаемую сцену целиком одновременно, а происходит очень быстрое поэтапное сканирование кадра в направлении слева направо (с точки зрения фотографа). В результате в память фотокамеры последовательно попадают узкие вертикальные «полоски» изображения, причем «линия сканирования» движется с постоянной скоростью.

1. В каком направлении вращается пропеллер с точки зрения фотографа?

2. Сколько лопастей у пропеллера?

3. Оцените, сколько оборотов в секунду делает пропеллер, если процесс получения всего изображения занял \(1/8\) секунды?

На горизонтальном участке поля Вася очистил от чистого белого снега площадку с размерами \(1\text{ м} \times 1\text{ м}\). Под лучами весеннего солнца черная земля прогревается и нагревает расположенный над ней воздух. Тепловая мощность, получаемая воздухом от площадки, равна \(W = 0{,}3\) кВт — поскольку солнце зимой находится довольно низко над горизонтом. В безветренную и сухую погоду при температуре воздуха \(T_0 = 273\) К и давлении возле поверхности земли \(p = 10^5\) Па столб теплого воздуха, поднимающийся над площадкой, имеет на высоте \(h = 10\) м температуру \(T_1 = 275\) К и поперечное сечение, равное \(S = 2\text{ м}^2\). Температура окружающего воздуха не зависит от высоты и равна \(T_0\). Молярная масса воздуха \(\mu = 29\) г/моль, его молярная теплоемкость при постоянном давлении равна \(c_p = 7R/2\).

1. Оцените, с какой скоростью поднимается поток воздуха на высоте \(h\), если процесс уже установился?

2. Оцените, на какую высоту поднялся бы теплый воздух, если бы отсутствовал теплообмен между теплым воздухом и окружающим его холодным воздухом?

Небольшое тело, подвешенное на твёрдом стержне в поле силы тяжести, способно совершать колебательное (повторяющееся) движение, если отклонить его из положения равновесия на небольшой угол и отпустить. Математическим маятником называется физическая модель, описывающая процесс колебаний груза на стержне, в которой тело считается материальной точкой, масса стержня, а также все силы трения и сопротивления движению считаются пренебрежимо малыми. Время, затрачиваемое маятником на одно колебание, иначе говоря, на возвращение в исходную точку, называется периодом.

1. (2 балла) Рассмотрим следующие размерные параметры: длина стержня маятника \(L\), масса тела \(m\) и ускорение свободного падения \(g\), равное \(9{,}8\text{ м/с}^2\). Исходя из соображений размерности, определите от каких параметров зависит период колебаний математического маятника. Во сколько раз изменится период колебаний маятника, если уменьшить длину подвеса в 4 раза?

2. (4 балла) Заданный интервал времени (например, минута), измеряемый маятниковыми часами, пропорционален периоду колебаний маятника. Рассмотрим маятниковые часы, в устройство которых входит маятник длиной \(L = 1\text{ м}\), сделанный из стали. При такой длине движение маятника в одну сторону занимает \(1{,}00\text{ с}\). Известно, что при температуре окружающей среды \(t_1 = 5\,^\circ\text{C}\) часы показывают точное время. На сколько отстанут за сутки часы при температуре \(t_2 = 25\,^\circ\text{C}\)? Линейное тепловое расширение тел описывается формулой \(L = L_0\,(1 + \alpha(t - t_0))\), где \(L\) и \(L_0\) —- размер тела при температурах \(t\) и \(t_0\) соответственно, \(\alpha\) —- постоянный коэффициент линейного расширения, равный для стали \(\alpha = 12{,}5\cdot 10^{-6}\text{ 1/}^\circ\text{C}\).

3. (4 балла) Как должен быть устроен подвес маятника, чтобы период колебаний не менялся при изменении температуры? Считается, что в своей конструкции вы можете соединять стержни, сделанные из двух разных материалов, коэффициенты линейного расширения которых равны \(\alpha\) и \(2\alpha\). В качестве ответа приведите схематичный рисунок с краткими пояснениями.

Для измерения небольших изменений ускорения свободного падения \(\delta g\) (обусловленных, например, изменением высоты над уровнем моря или притяжением Луны) Михаил Васильевич Ломоносов предложил создать прибор (универсальный барометр), конструкцию которого описал так: «Возьмём стеклянный шар \(AB\) с толстыми стенками и внутренним диаметром в три дюйма; соединим с ним барометрическую трубку \(BC\) такой длины, чтобы от центра шара до изгиба \(C\) было 28 дюймов; после загиба пусть идёт горизонтальная трубочка \(CP\) длиною в фут или больше со стеклянным шаром \(S\) диаметром в дюйм; просвет в трубочке \(CP\) пусть будет диаметром в \(\dfrac14\) линии». Схема, сопровождавшая описание, приводится ниже.

Предполагалось, что в прибор заливается ртуть так, чтобы при вертикальном положении трубки \(BC\) бóльший шар был заполнен наполовину (при этом над ртутью не оставалось воздуха), а трубка \(PC\) была заполнена до точки \(Q\) (середина \(PC\)). После этого малый шар герметизировался, оба шара размещались в специальных ящиках, заполненных тающим льдом. Ожидалось, что изменение ускорения свободного падения можно будет обнаружить по изменению положения границы столба ртути в горизонтальной трубке, которое фиксировалось линейкой, расположенной рядом с трубкой. Прибор не был изготовлен, вероятно заявка Ломоносова была отклонена.

1. [a)] Пусть расстояние между соседними делениями шкалы линейки составляет 1 линию. Какое минимальное относительное изменение \(\dfrac{\delta g}{g}\) ускорения свободного падения можно было бы обнаружить при помощи универсального барометра?

   1 фут = 12 дюймов, 1 дюйм = 10 линий, 1 дюйм = 2,54 см. Плотность ртути и давление её насыщенных паров при \(0\,^\circ\)С равны \(13{,}6\) г/см\(^3\) и \(0{,}25\) кПа соответственно.

2. [b)] На какой минимальной высоте над уровнем моря можно было бы измерить изменение ускорения свободного падения при помощи описанного прибора с относительной погрешностью не больше, чем 20 %? Считайте, что погрешность определяется только погрешностью считывания линейки, радиус Земли равен 6400 км.

В соответствии с законами классической электродинамики заряженная частица, движущаяся с ускорением, излучает электромагнитные волны. Релятивистские эффекты в этой задаче не учитываются. Масса и модуль заряда электрона, скорость света в вакууме и электрическая постоянная равны \(m_e\), \(e\), \(c\) и \(\varepsilon_0\) соответственно.

1. Пусть электрон движется вокруг протона по орбите, близкой к круговой. Протон считаем неподвижным, поскольку его масса много больше \(m_e\). Известно, что мощность излучения движущегося электрона даётся формулой \[P=A\cdot e^{\alpha}c^{\beta}\varepsilon_0^{\gamma}a^{\delta},\] где \(a\) — ускорение электрона, \(A\) — безразмерная константа. Определите показатели степени: \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\).

2. В процессе излучения энергия электрона уменьшается, поэтому он должен двигаться не по окружности, а по спирали и в некоторый момент времени должен упасть на протон. Предполагая, что за время, равное периоду обращения электрона, расстояние \(R\) между электроном и протоном изменяется незначительно, а также считая известной постоянную \(A\) в приведённой выше формуле, определите время \(\Delta t\), за которое расстояние \(R\) уменьшается от известного значения \(R_0\) на \(\Delta R\), при условии, что \(\Delta R\ll R_0\). Найдите время \(t_{1/2}\), за которое расстояние \(R\) уменьшается от значения \(R_0\) до значения \(\dfrac{R_0}{2}\).

По поверхности тонкого плоского непроводящего кольца с внутренним и внешним радиусами \(r_1\) и \(r_2\) соответственно распределён положительный заряд с постоянной поверхностной плотностью \(\sigma\). Центр непроводящего шара радиусом \(R \ll r_1, r_2\) совпадает с центром кольца. Шар равномерно заряжен по объёму положительным зарядом \(Q\).

Примечание: Ответы на каждый из вопросов задачи должны быть упрощены с учётом приближения \(R \ll r_1, r_2\).

1. В каких пределах изменяется модуль электрического поля на поверхности шара?

2. При каких значениях \(\sigma\) вектор напряжённости результирующего поля в точках на поверхности шара, удалённых от плоскости кольца на расстояние большее, чем \(0{,}1\,R\), можно считать направленным вдоль оси вращения системы? Заряд \(Q\) считайте известным.

Между областью пространства, в которой нет магнитного поля, и областью, в которой есть однородное магнитное поле с направлением вектора индукции \(B\) параллельным границе раздела этих областей, имеется «переходный участок» ширины \(L\), в котором поле линейно нарастает. В этот переходный участок перпендикулярно границе раздела влетел протон со скоростью \(v\). Максимальная глубина «проникновения» протона туда, где поле есть, как раз равна толщине «переходного участка». «Разворот» протона длился \(\tau_p = 1\) секунду. В точности с такой же скоростью и тоже перпендикулярно границе раздела в эту же область влетел электрон. Сколько времени длился «разворот» электрона? На какую глубину электрон проник в область, где имеется магнитное поле? Масса электрона в 1838 раз меньше массы протона.

Из тонкой непроводящей плоской пластины вырезали пять фигур разной формы и размера. Каждую из них зарядили электрическим зарядом с постоянной, положительной и одинаковой для всех фигур поверхностной плотностью.

Первая фигура представляет собой квадрат со стороной \(2a\), от которого с одного из углов отрезали квадрат со стороной \(a\) (см. рис. 1). Модуль напряжённости электрического поля, созданного в точке \(O\) зарядами на поверхности такой фигуры, равен \(E_0\).

1. Чему равно отношение \(E'/E_0\), где \(E'\) – модуль напряжённости электрического поля, созданного в точке \(O'\) второй заряженной фигурой, имеющей форму квадрата со стороной \(2\lambda a\), от которого с одного из углов отрезали квадрат со стороной \(\lambda a\) (рис. 2)? \(\lambda\) – некоторое положительное число.

2. Определите модуль и направление вектора напряжённости \(\vec E_A\) электрического поля, созданного в точке \(A\) третьей заряженной фигурой, представляющей собой квадрат со стороной \(8a\), от которого с одного из углов отрезали квадрат со стороной \(a\) (рис. 3). Модуль вектора \(\vec E_A\) выразите через величину \(E_0\).

3. Определите модуль и направление вектора напряжённости \(\vec E_B\) электрического поля, созданного в точке \(B\) четвёртой заряженной фигурой, имеющей форму четверти кольца (рис. 4), внутренний радиус которого равен \(a\), а внешний – \(2a\). Модуль вектора \(\vec E_B\) выразите через \(E_0\).

4. Определите модуль и направление вектора напряжённости \(\vec E_C\) электрического поля, созданного в точке \(C\) пятой заряженной фигурой, имеющей форму трапеции (рис. 5), одно основание которой равно \(a\), второе – \(2a\). Модуль вектора \(\vec E_C\) выразите через \(E_0\). Углы при большем основании данной трапеции указаны на рисунке.

Точки \(O\), \(O'\), \(A\), \(B\) и \(C\) находятся в одной плоскости с соответствующей фигурой.

Есть два цилиндрических геометрически подобных сосуда, изготовленных из одного и того же материала, плотность которого больше плотности воды. Сосуды тонкостенные, но с массивным дном. Их линейные размеры относятся как \(2:1\). Больший сосуд стоит на горизонтальном столе и заполнен водой; в нём плавает (естественно, не касаясь дна) меньший сосуд, также заполненный водой. Известно, что объём воды в каждом сосуде составляет одну и ту же долю его внутреннего объёма. Толщина дна каждого сосуда равна \(\dfrac{1}{k}\) его высоты, где \(k>1\). Плотность воды равна \(1000\text{ кг/м}^3\).

1. Пусть \(k=4\). Определите диапазон возможных значений плотности \(\rho\) материала сосудов.

2. При каких значениях \(k\) не существует ответа на вопрос предыдущего пункта?

3. Предположим, что число сосудов увеличилось до \(N\). \(N\)-й сосуд стоит на столе и заполнен водой; в нём плавает \((N-1)\)-й сосуд, в нём — \((N-2)\)-й и так далее. Линейные размеры сосудов относятся как \(N:(N-1):(N-2):\dots:2:1\). Объём воды в каждом сосуде составляет одну и ту же долю его внутреннего объёма.

   Утверждается, что при заданном значении \(k\) (\(k>2\)) и некотором значении \(\rho\) (\(\rho>\rho_0\)) такая система сосудов может существовать в равновесии (возможно, неустойчивом) для любого \(N\geqslant3\).

   Верно ли это утверждение?

Биполярный \(npn\)-транзистор — полупроводниковый прибор с тремя выводами: эмиттером, коллектором и базой. Эти выводы обозначены соответствующими буквами на схеме, приведённой на рис. 3, где показана схема упрощённого усилительного каскада на транзисторе. Эта схема предназначена для увеличения амплитуды сигнала, то есть переменной составляющей входного напряжения. Если на вход подаётся напряжение вида \[U_{\text{вх}}(t) = U_{\text{б}} + U_1 \sin(\omega t),\] где \(U_{\text{б}}\) (напряжение смещения базы) и \(\omega\) (круговая частота) — постоянные величины, а \(U_1\) — амплитуда сигнала, то напряжение на высокоомной нагрузке \(R_{\text{н}}\), подключённой к выходу (между эмиттером и коллектором), также содержит постоянную и переменную составляющие. При этом выходной сигнал имеет практически синусоидальную форму (искажения обычно не превышают нескольких процентов), а его амплитуда \(U_2\) в несколько раз превышает амплитуду входного сигнала \(U_1\).

Основной характеристикой усилительного каскада является коэффициент усиления по напряжению — модуль отношения амплитуд выходного и входного сигналов: \(K_U = \left|\dfrac{U_2}{U_1}\right|\).

Пусть напряжение смещения базы и амплитуда входного сигнала равны соответственно \(U_{\text{б}} = 0{,}7\text{ В}\) и \(U_1 = 0{,}2\text{ мВ}\).

Входная характеристика транзистора, то есть зависимость тока базы \(I_{\text{б}}\) от напряжения между базой и эмиттером \(U_{\text{бэ}}\), задаётся соотношением \[I_{\text{б}} = I_{\text{б}0} \cdot 10^{\left(\frac{U_{\text{бэ}}}{U_T} - 12\right)}.\] Здесь \(U_T = 0{,}06\text{ В}\), \(I_{\text{б}0} = 5\text{ мкА}\). Для наглядности на рис. 4 приведён график этой зависимости для напряжений, близких к напряжению смещения базы.

Зависимость тока коллектора \(I_{\text{к}}\) от напряжения между коллектором и эмиттером \(U_{\text{кэ}}\) в рассматриваемой области токов и напряжений параметрически зависит от тока базы \(I_{\text{б}}\) и описывается формулой \[I_{\text{к}} = 200 \cdot I_{\text{б}} \left(1 + \frac{U_{\text{кэ}}}{U_A}\right),\] где \(U_A = 100\text{ В}\). Сопротивление реостата \(R\) в схеме на рис. 3 может изменяться от \(1\text{ кОм}\) до \(10\text{ кОм}\), напряжение идеального источника \(U_0 = 9\text{ В}\). Ток через нагрузку \(R_{\text{н}}\) пренебрежимо мал по сравнению с током коллектора.

1. Определите для крайних значений сопротивления реостата ток коллектора \(I_{\text{к}0}\) в отсутствие входного переменного сигнала (\(U_1 = 0\)).

2. Коэффициент усиления по току \(K_I = I_{\text{к}}/I_{\text{б}}\) при заданных параметрах слабо зависит от тока базы. Определите \(K_I\) с точностью не хуже \(1{,}0\%\) при \(R = 5\text{ кОм}\).

3. Какие значения может принимать коэффициент усиления по напряжению \(K_U\)? Укажите границы возможного диапазона с точностью не хуже \(2{,}0\%\). В рамках данной модели такая точность достижима даже с учётом малых искажений выходного сигнала.