Реология

У каждого элемента своя связь силы и деформации: пружина — \(x=F/k\), демпфер — \(v=F/a\), фрикцион — сила не больше \(f\). При параллельном соединении деформации одинаковы, а силы складываются, при последовательном — наоборот.

1.1.1) \(v=\dfrac{F-kx}{a}\) (убывающая прямая от \(F/a\) до нуля при \(x=F/k\)), деформация асимптотически приближается к \(x_P=F/k\); 1.2.1) скорость сразу \(F/a\) и не меняется, деформация скачком до \(F/k\), затем растёт линейно: \(x=\dfrac{F}{k}+\dfrac{F}{a}t\); 1.3) мгновенная деформация \(F/k\), затем как в 1.1; 2.1) при \(F<f\) деформации нет, затем \(x=\dfrac{F-f}{k}\) до \(x_M=\dfrac{f}{k}\), при разгрузке деформация остаётся неизменной до \(F=0\), далее сжатие линейно; график \(x(F)\) — петля гистерезиса из отрезков 1–6.

Часть 1. Демпфер и пружина.

1.1 Деформации элементов одинаковы, а внешняя сила уравновешивается силой упругости пружины и демпфера:

\[\begin{cases} x_1 = x_2 = x \\ F_1 + F_2 = F \end{cases} .\tag{1}\]

Используя формулы (1) и (2) из условия задачи составим уравнение:

\[kx + av = F ,\tag{2}\]

Из которого получаем выражение для скорости

\[v = \frac{F - kx}{a} .\tag{3}\]

Зависимость скорости деформации от величины деформации представляет собой отрезок прямой, пересекающей ось \(v\) в точке \(\frac{F}{a}\) и ось \(x\) в точке \(\frac{F}{k}\).

В начальный момент времени деформация отсутствует, \(x = 0\), поэтому скорость деформации будет максимальна и равна:

\[v_0 = \frac{F}{a} .\tag{4}\]

Затем, по мере увеличения деформации, скорость деформации будет становиться все меньше и меньше (асимптотически приближаться к нулю).

Величина деформации \(x\) вначале достаточно быстро увеличивается, а затем, т.к. скорость уменьшается, постепенно приближается своему равновесному значению:

\[x_P = \frac{F}{k} .\tag{5}\]

1.2 При последовательном соединении величина деформации равна сумме деформаций каждого элемента, а сила \(F\) оказывается приложенной и к пружине и к демпферу (элементы невесомые).

\[\begin{cases} x_1 + x_2 = x \\ F_1 = F_2 = F \end{cases}\tag{6}\]

Следовательно, скорость деформации мгновенно достигнет значения (4) и не будет изменяться с течением времени. Величина деформации также мгновенно достигнет значения (5), а затем будет линейно увеличиваться.

1.3 Смешанное соединение приведет к тому, что в начальный момент времени произойдет мгновенная деформация на величину (5). Затем деформация будет повторять таковую, описанную в первом пункте задачи. Т.е. скорость в начальный момент будет равна (4), а затем будет уменьшаться. А деформация будет увеличиваться и приближаться к значению \(2F/k\). На графике зависимости \(v(x)\) также произойдет смещение на величину \(F/k\).

Часть 2. Фрикцион и пружина.

При параллельном соединении фрикциона и пружины сила \(F\) уравновешивается силой упругости пружины и силой трения возникающей внутри фрикциона. До тех пор пока значение силы не превысит \(f\), деформация будет отсутствовать (отрезок 1 на графике \(x(F)\)). Когда сила трения внутри фрикциона превращается в силу трения скольжения (т.е. остается постоянной и равной \(f\)) между силами выполняется соотношение:

\[F = kx + f\tag{7}\]

Т.е. зависимость деформации от величины силы представляет собой линейную зависимость:

\[x = \frac{1}{k}F - \frac{f}{k}\tag{8}\]

Максимальная деформация составит величину:

\[x _ { M } = \frac { f } { k } \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ( 9 ) .\]

Этот процесс изображен отрезком 2 на графике.

Как только сила \(F\) начнет уменьшаться, сила трения в фрикционе снова станет силой трения покоя и деформация прекратится. По мере уменьшения приложенной силы, сила трения покоя будет уменьшаться и достигнет нулевого значения при \(F = f\). Далее сила трения покоя поменяет направление на противоположное и начнет возрастать, однако деформация не начнется до тех пор пока сила трения не достигнет значения \(f\), а это произойдет только в тот момент, когда внешняя сила \(F\) станет равной нулю. Только тогда пружина начнет сжиматься. Поэтому при уменьшении силы от \(2f\) до нуля график зависимости деформации от силы будет представлять горизонтальный отрезок 3.

Далее внешняя сила начнет сжимать систему. Сила трения в фрикционе будет являться силой трения скольжения и будет препятствовать сжатию с силой \(f\). При максимальной сжимающей силе \(F = -2f\) деформация достигнет максимального значения, модуль которой равен (7). Этот процесс изображен отрезком 4.

Затем возникнет аналогичная ситуация, и деформация будет оставаться неизменной до тех пор, пока модуль внешней силы не станет равным нулю, после чего деформация опять начнет линейно увеличиваться. Последние процессы изображаются отрезками 5 и 6 соответственно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.