Сила упругости, пружины и их соединения

Первая пружина растянулась под весом груза на \(3\text{ см}\). Вторая растянулась под тем же грузом на \(6\text{ см}\). Груз подвесили на первую пружину, а первую на вторую. На сколько растянется система из двух последовательных пружин? Ответ представьте в сантиметрах и округлите до целых.

Если некоторую пружину растягивать силой 30 Н, её длина будет равна 28 см, а если сжимать силой 20 Н, то её длина будет равна 23 см. Найдите длину пружины в недеформированном состоянии и жёсткость пружины.

Хоккейная шайба массой \(m = 160\) г находится между двумя вертикально расположенными одинаковыми пружинами. Сначала шайбу удерживают в положении, при котором пружины не деформированы. В некоторый момент её отпускают. Когда колебания прекращаются, шайба располагается на расстоянии \(x = 1\) см от исходного положения. Ускорение свободного падения считайте равным \(g = 10\text{ м/с}^2\).

1. Найдите силу взаимодействия нижней и верхней половинок шайбы в конечном состоянии. Ответ дайте в Н (Ньютонах), округлите до целого.

2. Чему равен коэффициент упругости пружины \(k\)? Ответ дайте в Н/м, округлите до целого.

Однородный стержень массой \(m = 550\) г находится между четырьмя вертикально расположенными пружинами одинаковой длины. Сначала стержень удерживают горизонтально в положении, при котором пружины не деформированы, как показано на рисунке. Затем стержень отпускают, и через некоторое время система приходит в равновесие, стержень при этом также располагается горизонтально. Жёсткости трёх пружин указаны на рисунке, \(k = 100\) Н/м. Ускорение свободного падения равно \(g = 10\) Н/кг.

1. Чему равна жёсткость четвёртой пружины? Ответ выразите в Н/м, округлите до целого числа.

2. Найдите деформацию пружин. Ответ выразите в мм, округлите до десятых.

В ходе лабораторной работы учащиеся изучали удлинение пружин одинаковой начальной длины под действием грузов. Они последовательно подвешивали каждый груз к каждой пружине, фиксируя результаты в таблице. Всего было три пружины и четыре груза.

1. Каким будет общее удлинение пружин, если соединить их последовательно и подвесить к ним все четыре груза? Ответ выразите в мм, округлите до целого числа.

2. Каким будет удлинение каждой пружины, если соединить их параллельно и подвесить к ним все четыре груза? Ответ выразите в мм, округлите до целого числа.

Вертикально закреплённая пружина (массой которой можно пренебречь) имеет длину в недеформированном состоянии \(L_0 = 20\) см и жёсткость \(k = 500\) Н/м. К её свободному нижнему концу прикреплён груз массой \(m_1 = 500\) г. Одновременно, к точке, расположенной точно посередине материала пружины, фиксируется ещё один груз массой \(m_2 = 300\) г. Какова будет итоговая длина пружины в состоянии равновесия? Ответ выразите в см, округлите до десятых. Ускорение свободного падения равно \(g = 10\) Н/кг.

На рисунке 1 изображена система, состоящая из двух пружин и упругой ленты. Обе пружины с коэффициентом жёсткости \(k = 100\text{ Н/м}\) подчиняются закону Гука. График зависимости силы упругости от удлинения ленты изображён на рисунке 2. В недеформированном состоянии общая длина первой пружины и ленты равна длине второй пружины. К планке на правом конце системы прикладывают внешнюю силу \(F\) так, чтобы планка постоянно оставалась параллельной стене.

1. Определите удлинения пружин \(\Delta x_1\), \(\Delta x_2\) и упругой ленты \(\Delta x\) для двух значений внешней силы: \(F = 1{,}0\text{ Н}\) и \(F = 20\text{ Н}\).

2. С какой максимальной внешней силой \(F_{\max}\) можно растягивать систему, если лента рвётся при удлинении \(\Delta x_{\max} = 25\text{ см}\)?

На пружине жесткостью \(10\) Н/м висит грузик массой \(100\) г. После того как пружину с грузиком опустили в воду, длинна пружины изменилась на \(4\) см. Определите плотность материала, из которого сделан грузик. Плотность воды \(1{,}0\) г/см\(^3\). Ответ выразите в г/см\(^3\) и округлите до десятых.

Школьница Арина исследует свойства пружины при подвешивании к ней различных грузов. У Арины в запасе много одинаковых гирь, а также сосуд, в который можно наливать воду. Арина обнаружила, что сосуд с 2 л воды растягивает пружину сильнее, чем 10 гирь, но слабее, чем 11 гирь. Сосуд же с 3 л воды растягивает пружину сильнее, чем 13 гирь, но слабее, чем 14 гирь. Плотность воды составляет 1 г/см\(^3\).

Вопрос A (2 балла). Какой может быть минимальная масса гири при данных условиях? Ответ представьте в граммах и округлите до целых.

Вопрос B (2 балла). Какой может быть максимальная масса гири при данных условиях? Ответ представьте в граммах и округлите до целых.

Вопрос C (3 балла). Какой может быть минимальная масса пустого сосуда при данных условиях? Ответ представьте в граммах и округлите до целых.

Вопрос D (3 балла). Какой может быть максимальная масса пустого сосуда при данных условиях? Ответ представьте в граммах и округлите до целых.

Деревянный кубик покоится на сжатой пружине. Если на него сверху положить еще такой же кубик, то высота всей конструкции не изменится. Определите жесткость пружины, если площадь всей поверхности каждого кубика \(S = 600\) см\(^2\). Плотность дерева \(\rho = 0{,}80\) г/см\(^3\).

К концу подвешенной вертикально пружины, массой которой можно пренебречь, подвешивают груз массой 1 кг. Затем к середине уже растянутой пружины подвешивают ещё один груз той самой массы. Определить длину растянутой пружины, если её жёсткость равна 200 Н/м, а длина в недеформированном состоянии равна 50 см. Ускорение свободного падения \(g = 10\) Н/кг. Ответ выразите в см, округлите до десятых.

Резиновый шнур длиной 1 м, жёсткость которого равна 50 Н/м, разрезали на четыре части. Три части шнура оказались одинаковой длины равной 30 см, а одна часть длиной 10 см. К одной точке потолка прикрепили по одному концу каждого укороченного шнура, а оставшиеся концы скрепили между собой. На сколько сместится свободный конец полученной резиновой конструкции, если к нему прикрепить груз массой 1 кг? В ответе к задаче укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

На лабораторной работе по физике ученице Агнессе выдали шесть одинаковых легких пружинок длиной 5 см каждая и твердый диск радиусом 10 см, вдоль периферии которого располагались 36 отверстий, находящихся на одинаковом расстоянии друг от друга. Используя пружинки, диск можно было подвесить в горизонтальном положении, прикрепив другие концы вертикальных пружинок к горизонтальной платформе, находящейся на некоторой высоте от поверхности стола.

Когда Агнесса закрепила диск в горизонтальном положении с помощью некоторого количества пружинок, расположенных одним ярусом, то каждая из использованных ею пружинок растянулась на 1 см. Затем она соединила все имеющиеся у нее пружинки одну за другой, верхний конец системы пружинок прикрепила к платформе, а к нижнему концу подвесила диск за одно из отверстий. В этом случае положение центра диска по вертикали относительно первого случая крепления изменилось на 58 см.

На каком количестве пружинок Агнесса уравновесила диск в горизонтальном положении? Считать, что удлинение всех пружинок пропорционально растягивающим их силам, то есть для них справедлив закон Гука.

Длинная однородная резинка с коэффициентом жесткости 12 Н/м подчиняется закону Гука, пока сила упругости в ней не превышает значения 10 Н. Какой максимальной массы груз можно подвесить к системе, полученной из соединенных параллельно друг с другом частей разрезанной исходной резинки, если под действием этого груза система растягивается упруго на 20 см? Ускорение свободного падения равно 10 м/с\(^2\). Ответ выразите в кг и округлите до целых.

К невесомой системе, состоящей из нерастяжимых ниток, двух блоков и трёх пружин с коэффициентами жёсткости \(k\) и \(2k\), прикрепляют груз массой \(m = 600\) г, как показано на рисунке. \(k = 50\) Н/м, ускорение свободного падения равно 10 м/с\(^2\).

1. На какое расстояние опустится груз, когда система придёт в равновесие? Ответ выразите в см, округлите до десятых.

2. С какой силой система действует на потолок в положении равновесия? Ответ выразите в Н, округлите до целого числа.

На легкой короткой нити к ветке сосны подвешена гирька массой \(m = 1\) кг. К ней привязана другая легкая нить с длиной в недеформированном состоянии \(L = 1\) м и жесткостью \(k = 1\) кН/м, на конце которой висит еще одна гирька массой \(m = 1\) кг. Система находилась в равновесии до момента, когда верхнюю нить перебил дятел. Гирьки упали на землю одновременно. Каково расстояние \(H\) от ветки до земли? Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

Резиновый жгут и пружина в нерастянутом состоянии имеют одинаковые длины. Коэффициент жесткости пружины равен \(k = 4\) Н/м. График зависимости модуля \(f\) силы растяжения жгута от его удлинения \(x\) приведен на рисунке. Пружина и жгут очень легкие. Пружину подвешивают за один из концов к потолку, а к ее второму концу прикрепляют конец жгута (при этом пружина и жгут оказываются соединенными последовательно).

1. К свободному нижнему концу жгута прикладывают направленную вниз силу с модулем \(F = 0{,}7\) Н. На какую суммарную величину \(X\) растянутся пружина и жгут?

2. Найдите массу \(m\) груза, который нужно подвесить к свободному нижнему концу жгута, чтобы суммарное удлинение системы в положении равновесия было равно \(L = 20\) см.

3. Оцените энергию \(E\), которая будет запасена в жгуте при подвешивании к его свободному нижнему концу покоящегося груза найденной выше массой \(m\).

4. Груз этой массой \(m\), подвешенный к свободному нижнему концу жгута, заставили свободно колебаться с амплитудой \(A = 2\) мм вокруг положения равновесия. Пренебрегая трением, оцените, чему будет равен период таких колебаний груза.

У Васи есть два совершенно одинаковых динамометра с очень лёгкими пружинами и массивными корпусами. Эти динамометры не отградуированы, но оба имеют шкалы с линейной зависимостью показаний от растяжения пружины. Если к крючку пружины динамометра подвесить груз с известной массой \(m\), и держать динамометр за корпус вертикально, то динамометр показывает некоторое значение \(F_1\) (см. рисунок). Если прикрепить тот же груз к корпусу динамометра и удерживать динамометр с грузом в вертикальном положении за крючок пружины, то динамометр показывает другое значение \(F_2\) (причём \(F_2 > F_1\)). Вася привязал другой груз с неизвестной массой \(M\) между двумя динамометрами, и держит сверху эту конструкцию за её наивысшую точку так, что динамометры занимают вертикальное положение. При этом верхний динамометр показывает значение \(F_3\), а нижний динамометр показывает значение \(F_4\). Основываясь на результатах проведённых измерений, Вася вычислил массу \(M\) груза. Чему может быть равна эта масса \(M\), если все четыре упомянутых показания динамометров различны и не равны нулю? Крючок пружины ненагруженного динамометра выступает за пределы его корпуса.

В лаборатории исследуют свойства особой многожильной верёвки, сплетённой из волокон разных типов. Для описания свойств такой верёвки удобно использовать дифференциальную жёсткость \(k\), которая определяется как отношение малого изменения силы упругости \(\Delta F\) к вызванному им малому изменению удлинения \(\Delta x\): \[k=\frac{\Delta F}{\Delta x}.\] В лаборатории имеется большое количество образцов — отрезков исследуемой верёвки одинаковой длины. Всякий раз эксперимент проводят с новым образцом.

В опытах первого типа образец закрепляют и плавно увеличивают его растяжение \(x\), измеряя возникающую силу натяжения \(F\). Полученные данные свидетельствуют, что при достижении пороговых значений удлинения (в моменты разрыва внутренних волокон того или иного типа) сила натяжения скачкообразно уменьшается. Разорванные волокна при снятии нагрузки не восстанавливаются. На рис. 1 приведён график зависимости \(k\) от силы натяжения \(F\) (полужирные линии чёрного цвета), построенный по результатам этого исследования.

1. Используя график \(k(F)\), восстановите зависимость силы от удлинения \(F(x)\) для процесса растяжения образца. Постройте график \(F(x)\), отметив на осях значения в характерных точках.

2. Изобразите идеализированный график зависимости удлинения образца \(x\) от времени \(t\) на протяжении всех 60 мин эксперимента, полагая, что система в любой момент времени находится в положении равновесия.

На рисунке изображена схема механической системы, которая состоит из двух одинаковых пружин жёсткостью \(k\) и длиной \(L\) в недеформированном состоянии, одной нити длиной \(L_1\) (которая в исходном состоянии натянута), двух одинаковых нитей длиной \(L_2\) (провисающих в исходном состоянии) и груза массой \(m\).

Список оборудования содержит: четыре груза разной массы, четыре комплекта пружин (по две одинаковые пружины в каждом комплекте) и четыре комплекта нитей, в каждом из которых есть две одинаковые длинные нити и одна короткая. Параметры изделий в каждом комплекте представлены в таблице, приведённой ниже.

Укажите номера грузов, комплектов пружин и нитей, которые следует выбрать при сборке системы, чтобы после пережигания короткой нити положение равновесия груза оказалось выше, чем до пережигания. Подходящие элементы необязательно расположены в одном столбце таблицы. Сочетать нити из разных комплектов запрещается. При анализе задачи можно считать, что масса пружин пренебрежимо мала, а нити — невесомые и нерастяжимые. Ускорение свободного падения считайте равным 10 Н/кг.

Зависимость относительного удлинения \(\delta x\) поджатой пружины от силы \(F\), растягивающей её в невесомости, изображена на графике, представленном ниже (\(\delta x=\dfrac{x}{L_0}\), \(L_0\) — начальная длина пружины, \(x\) — удлинение). Пружина не растягивается, пока выполняется неравенство \(F\le F_0\), если же сила \(F\) становится больше \(F_0\), то относительное удлинение \(\delta x\) начинает зависеть от силы \(F\) по линейному закону \(\delta x=\dfrac{F-F_0}{\varepsilon}\), где \(\varepsilon=\text{const}\).

Далее в задаче рассматриваются однородные пружины, для любого участка которых постоянные \(F_0\) и \(\varepsilon\) такие же, как для исходной пружины длиной \(L_0\). В каждом из пунктов масса пружины обозначается \(M\). Коэффициентом упругости \(k\) поджатой пружины считается коэффициент пропорциональности между изменением силы и удлинением \(k=\dfrac{F(x)-F_0}{x}\) при \(F>F_0\). Во всех пунктах задачи рассматривается статическое равновесие пружин.

Безразмерные параметры \(\gamma=\dfrac{kL_0}{Mg}\) и \(f_0=\dfrac{F_0}{Mg}\) (разные в разных пунктах задачи) характеризуют относительные жёсткость и силу поджатия пружины, \(g\) — ускорение свободного падения.

1. От поджатой пружины длиной \(L_0\) отрезали участок длиной \(\Delta L\) (в недеформированном состоянии), который стали растягивать силой \(F\) (\(F>F_0\)) в невесомости. Найдите длину \(y\) этого участка под нагрузкой как функцию силы \(F\) и параметров \(\Delta L\), \(k\), \(L_0\).

2. Поджатая пружина, параметры которой удовлетворяют соотношениям \(f_0>1\), \(\gamma=1\), подвешена в поле тяжести к потолку за один из концов. К другому концу присоединяют груз массой \(m=\mu M\) (\(\mu>f_0\)). Чему будет равна длина пружины в положении равновесия? Ответ выразите через параметры \(L_0\), \(f_0\), \(\mu\).

3. Пусть относительная сила поджатия удовлетворяет неравенству \(f_0<1\). Пружина подвешена к потолку в поле тяжести за один из концов. Чему равна её длина в положении равновесия? Ответ выразите через параметры \(L_0\), \(f_0\), \(\gamma\).

4. Поджатая пружина подвешена за один конец к потолку. К другому концу присоединяют грузы различной массы, снимая зависимость относительного удлинения \(\delta L=\dfrac{L-L_0}{L_0}\) от относительной массы \(\mu=\dfrac{m}{M}\) грузов (\(M\) — масса пружины). Результаты измерений представлены в таблице ниже.

Определите относительную жёсткость \(\gamma\) и относительную силу поджатия \(f_0\) этой пружины.

В системе, изображённой на рисунке 1, невесомая и нерастяжимая нить перекинута через два подвижных невесомых блока. Её правый конец прикреплён к неподвижной горизонтальной стенке, а левый конец — к поджатой пружине жёсткостью \(k_1 = k\). Ось правого блока прикреплена к поджатой пружине жёсткостью \(k_2 = 4k\). Пороговые значения сил поджатия обеих пружин одинаковы и равны \(F_0\). Верхние концы пружин жёстко закреплены. В начальный момент времени левый блок начинают равномерно опускать, так что его ось движется с постоянной скоростью \(v\). Известно, что величина силы, прикладываемой к оси блока, в начальный момент равна \(F_0\). Считайте, что нить не проскальзывает по блокам, трение в осях блоков отсутствует.

1. Определите скорости точки \(A\) нити и точки \(B\) (середины правой пружины) через время \(t\) после начала движения.

2. Найдите зависимость от времени силы \(F\), которую необходимо прикладывать к оси левого блока, чтобы он двигался вниз с постоянной скоростью \(v\).

В далёкой-далёкой галактике на планете Кореллия массой \(4{,}6\cdot10^{24}\) кг и радиусом 5500 км к потолку комнаты подвешена пружина с коэффициентом жёсткости 20 Н/м. На нижнем конце пружины висит груз массой 600 г. Гравитационная постоянная \(G = 6{,}67\cdot10^{-11}\) Н\(\cdot\)м\(^2\)/кг\(^2\). Вращение планеты не учитывать.

1. Чему равно ускорение свободного падения на поверхности планеты? Ответ выразите в м/с\(^2\), округлите до десятых.

2. На сколько сантиметров растянута пружина под действием груза? Ответ выразите в см, округлите до целого числа.

Груз, подвешенный на лёгкой пружине жёсткостью \(k = 200\) Н/м, растягивает её на \(x = 2\) см. Какую работу необходимо совершить вертикальной силе, приложенной к грузу, чтобы деформация пружины стала вдвое больше начальной?

На лёгкой пружине уравновешена гиря. Деформация пружины при этом составляет \(x = 5\) см. Чтобы увеличить деформацию пружины вдвое, медленно приподнимая груз в вертикальном направлении, надо совершить работу \(A = 9\) Дж. Найдите жёсткость пружины.

Гирю в форме цилиндра, подвешенную на пружине жёсткостью 100 Н/м, очень медленно опускают в аквариум, площадь дна которого равна 200 см\(^2\), до тех пор, пока уровень воды в аквариуме не повысится на 1 см. На сколько при этом изменяется длина пружины? Определите абсолютную величину изменения. Ответ дайте в см, округлите до целого. Основания гири в процессе опускания остаются параллельными дну сосуда. Ускорение свободного падения и плотность воды равны соответственно 10 м/с\(^2\) и 1000 кг/м\(^3\).

В далёком космосе оказался школьный динамометр, корпус которого имеет массу \(M = 20\) г, а пружина имеет массу \(m = 10\) г. За крючок, укрепленный на корпусе, тянут с силой \(F_1 = 5\) Н, направленной вдоль оси пружины, а за крючок, находящийся на свободном конце пружины, тянут с силой \(F_2 = 2\) Н, направленной в сторону, противоположную силе \(F_1\). Что будет «показывать» динамометр, то есть напротив какого деления на шкале остановится индикаторная стрелка?

На пружине жёсткостью \(k = 100\) Н/м, прикреплённой к потолку, покоится тело массой \(m = 2\) кг (см. рис.).

На него начинает действовать направленная вертикально вниз сила \(F = 30\) Н. Найти первоначальную деформацию пружины и работу силы \(F\) к тому моменту, когда груз опустится на высоту \(h = 10\) см. \(g = 10\) м/с\(^2\).

Цилиндр, высота которого равна 10 см, а сечение 4 см\(^2\), висит на пружине жёсткостью 20 Н/м и наполовину погружен в воду. Уровень воды начинают медленно повышать до полного погружения цилиндра в жидкость. Плотность воды 1 г/см\(^3\).

1. На сколько уменьшится сила упругости пружины? Ответ выразите в Н, округлите до десятых.

2. На какую высоту необходимо поднять уровень воды? Ответ выразите в см, округлите до целого числа.

В системе, изображенной на рисунке, все блоки — невесомые и вращаются без трения, все нити — невесомые и нерастяжимые (их жесткость велика по сравнению с жесткостью пружины). Пружина также невесома. Система находится в покое. При какой массе груза \(M\) груз 1 сразу после пережигания нити в точке \(A\) будет иметь ускорение большее по модулю, чем \(g\)?

Школьница Алиса подвешивала к пружине гири известной массы и изучала зависимость удлинения пружины \(от массы\) подвешенных к ней гирь. Свои результаты Алиса представила на графике (см. рисунок). Затем Алиса провела опыт с грузом неизвестной массы и плотности. Погрузив груз в сосуд с водой, Алиса увидела, что прикрепленная к грузу пружина растянулась на 3 см, при этом груз не соприкасался с поверхностью воды или дном сосуда. Этот же груз, находящийся в воздухе, растягивал пружину на 4 см. Определите массу груза в граммах и объем груза в миллилитрах. Плотность воды 1000 кг/м\(^3\).

На рисунке показан график зависимости модуля силы \(F\) растяжения пружины от её удлинения \(x\) (при больших деформациях пружина не подчиняется закону Гука). Пружину прикрепляют одним концом к потолку. К другому концу пружины, не деформируя её, аккуратно подвешивают груз массой \(m = 650\) г, после чего отпускают груз без начальной скорости. Оцените, на какую максимальную длину растянется пружина. Трением и массой пружины пренебречь, ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\).

Имеются две системы блоков, изображенные на рисунке. Блоки соединены легкими нерастяжимыми нитями. В каждой системе блоков имеются одинаковые динамометры, закрепленные между соответствующими участками нитей (см. рисунок). Груз 1 имеет массу \(m_1 = 200\) г. Груз 2 представляет собой сосуд, наполненный водой, суммарной массой \(m_{02} = 800\) г. В сосуде имеется отверстие, изначально закрытое пробкой. Если её вытащить, то через отверстие вода будет вытекать тонкой струйкой со скоростью \(v = 25\) мл/мин.

Определите, через сколько минут после того, как вытащить пробку, показания динамометров будут одинаковыми. Плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\).

На лабораторной работе по физике отличнику Грише и красавице Арише с помощью системы блоков, изображённой на рисунке, требовалось измерить массу воды, налитой в сосуд, который сам был нелёгким. К одной из нитей Гриша прикрепил динамометр, жёсткость пружины которого была известна и равна 1000 Н/м. Гриша налил воды в сосуд и аккуратно измерил удлинение пружины. В этот момент Ариша случайно задела небольшую пробку в дне сосуда и, вооружившись тряпкой, стала ликвидировать растекающуюся по столу воду. Гришу же заинтересовало совсем другое явление "— он стал записывать значения удлинения пружины, поглядывая на часы. Используя график, получившийся у ребят, определите, сколько граммов воды в секунду вытекало из сосуда.

В сосуде с водой плавает куб массой \(m = 2048\) г, он прикреплен ко дну пружиной, другой конец которой прицеплен к центру нижней грани куба. Вначале пружина находится в недеформированном состоянии, а ровно половина куба выступает над водой, причем четыре его ребра вертикальны. Прошел дождь, и уровень воды в сосуде вырос на \(h = 20{,}48\) см, а вода оказалась как раз на уровне верхней поверхности куба. Определите удлинение \(\Delta l\) пружины и силу упругости \(F_{\text{упр}}\), с которой пружина воздействует на куб. Считайте, что плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1\) г/см\(^3\), а ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

На рисунке показан график зависимости модуля силы \(F\) растяжения пружины от её удлинения \(x\) (при больших деформациях пружина не подчиняется закону Гука). Пружину прикрепляют одним концом к потолку. К другому концу пружины, не деформируя её, аккуратно подвешивают груз массой \(m = 650\) г, после чего отпускают груз без начальной скорости. Оцените, на какую максимальную длину растянется пружина? Трением и массой пружины пренебречь, ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\).

Однородная доска массой 1 кг и длиной 3 м опирается левым концом на одну пружину, а правым концом "— на две такие же пружины. Школьница Ирина хочет разместить на доске маленький груз массой \(m\) таким образом, чтобы доска была горизонтальна.

1. На каком расстоянии от левого конца доски Ирина должна разместить груз массой \(m=2\) кг? Ответ представьте в сантиметрах и округлите до целых.

2. При каком минимальном \(m\) Ирина сможет добиться горизонтальности доски? Ответ представьте в килограммах и округлите до десятых.

Школьница Василиса проводит опыты с пружиной. Сначала Василиса обнаружила, что длина пружины в нерастянутом состоянии составляет 10 см, а груз массой \(m\) г, подвешенный к пружине, дополнительно растягивает ее на \(0{,}01m\) см. Затем Василиса подвесила пружину с грузом над сосудом в форме прямоугольного параллелепипеда, как показано на рисунке, и стала наливать в сосуд воду. Груз имеет форму куба длиной ребра 10 см, его плотность равна плотности воды. В начале опыта расстояние от нижней грани груза до дна сосуда составляет 30 см. Площадь основания сосуда составляет 1000 см\(^2\). Нижняя грань куба во время опыта сохраняла горизонтальное положение. Постройте график зависимости длины пружины \(l\) от объема воды \(V\), налитой в сосуд. При каких значениях объема \(V\) груз находился в воздухе? был частично погружен в воду? был полностью погружен в воду?

Школьница Василиса проводит опыты с пружиной. Сначала Василиса обнаружила, что длина пружины в нерастянутом состоянии составляет 10 см, а груз массой \(m\) г, подвешенный к пружине, дополнительно растягивает её на \(0{,}01m\) см. Затем Василиса подвесила пружину с грузом над сосудом в форме прямоугольного параллелепипеда, как показано на рисунке, и стала наливать в сосуд воду. Груз имеет форму куба длиной ребра 10 см, его плотность равна плотности воды. В начале опыта расстояние от нижней грани груза до дна сосуда составляет 30 см. Площадь основания сосуда составляет 1000 см\(^2\). Нижняя грань куба во время опыта сохраняла горизонтальное положение. Постройте график зависимости длины пружины \(l\) от объёма воды \(V\), налитой в сосуд. При каких значениях объёма \(V\) груз находился в воздухе? был частично погружён в воду? был полностью погружён в воду?

Школьница Алиса проводит опыты с пружиной. Она подвесила пружину с грузом над сосудом в форме прямоугольного параллелепипеда, как показано на рисунке, и стала наливать в сосуд воду. Груз имеет форму куба длиной ребра 10 см, его плотность равна плотности воды. В начале опыта расстояние от нижней грани груза до дна сосуда составляет 30 см. Площадь основания сосуда составляет 1000 см\(^2\). Нижняя грань куба во время опыта сохраняла горизонтальное положение. Жёсткость пружины 100 Н/м, её длина в нерастянутом состоянии составляет 10 см. Ускорение свободного падения 10 м/с\(^2\). Постройте график зависимости длины пружины \(l\) от объёма воды \(V\), налитой в сосуд. При каких значениях объёма \(V\) груз находился в воздухе? был частично погружён в воду? был полностью погружён в воду?

Школьница Алиса проводит опыты с пружиной. Она подвесила пружину с грузом над сосудом в форме прямоугольного параллелепипеда, как показано на рисунке, и стала наливать в сосуд воду. Груз имеет форму куба длиной ребра 10 см, его плотность равна плотности воды. В начале опыта расстояние от нижней грани груза до дна сосуда составляет 30 см. Площадь основания сосуда составляет 1000 см\(^2\). Нижняя грань куба во время опыта сохраняла горизонтальное положение. Жёсткость пружины 100 Н/м, её длина в нерастянутом состоянии составляет 10 см. Ускорение свободного падения 10 м/с\(^2\). Постройте график зависимости длины пружины \(l\) от объёма воды \(V\), налитой в сосуд. При каких значениях объёма \(V\) груз находился в воздухе? был частично погружён в воду? был полностью погружён в воду?

Система, состоящая из закрепленного и подвижного блоков массой \(m = 1{,}0\) кг, пружины и нескольких грузов, находится в равновесии. \(g = 10\) м/с\(^2\). Определите:

1. чему равна масса груза \(M\)?

2. сжата или растянута пружина?

3. чему равна сила упругости пружины?

Бруску массой \(m = 1\) кг, лежащему на горизонтальной поверхности и соединенному со стенкой пружиной жесткостью \(k = 100\) Н/м, сообщают скорость \(v_0 = 1\) м/с в направлении стены. Изначально пружина была растянута на \(l = 10\) см. Коэффициент трения между поверхностью и бруском \(\mu = 0{,}2\). Определите максимальную скорость бруска \(u\) в процессе последующего движения. \(g = 10\) м/с\(^2\).

Кубик внутри пустого стакана покоится на сжатой пружине, величина деформации которой равна 1 см. В стакан наливают воду до тех пор, пока длина пружины не перестает изменяться. Найдите плотность кубика, если деформация пружины в конечном состоянии равна 2 см. Плотность воды равна 1 г/см\(^3\).

Система, состоящая из двух грузов массами \(m_1 = 2\) кг и \(m_2 = 3\) кг, лёгкой пружины жёсткостью \(k = 350\) Н/м, невесомых нитей и блоков, находится в покое (см. рис.). Найдите деформацию пружины. Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Ответы выразите в см и округлите до целых.

Система, состоящая из тела объемом \(V=125\) см\(^3\), невесомой пружины жесткостью \(k=100\) Н/м и стержня с поперечным сечением \(S=10\) см\(^2\), частично погруженного в жидкость плотностью \(\rho=700\) кг/м\(^3\), уравновешена с помощью нити, перекинутой через блок (см. рисунок). Трение в оси блока отсутствует. Подвешенное к пружине тело полностью погружают в жидкость плотностью \(2\rho=1400\) кг/м\(^3\), и после этого система вновь оказывается в равновесии.

1. На сколько после установления нового равновесия системы изменится деформация пружины? Ответ выразите в см, округлите до целого числа.

2. На сколько при этом изменится глубина погружения стержня в жидкость? Ответ выразите в см, округлите до целого числа.

В первом опыте на дно закреплённого неподвижно бака поместили цилиндр из пенопласта и соединили его тонким стержнем с пружиной жёсткостью \(k = 75\) Н/м (рис. слева). Стержень проходит через узкое отверстие в дне бака. Трения между ним и баком нет. Высота цилиндра \(h = 20\) см, а его диаметр \(d = 6\) см. В начальный момент пружина не деформирована.

В бак налили воду до уровня \(H = 30\) см (вода не показана на рисунке). В узкое отверстие вода не просачивается.

1. На какой высоте над дном бака окажется верхний конец цилиндра? Цилиндр можно считать невесомым. Плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Ответ выразите в сантиметрах и округлите до десятых.

2. Во втором опыте взяли бак с отверстием диаметром \(d\) и поместили в отверстие более высокий цилиндр (рис. справа). Снова налили воду до уровня \(H = 30\) см. На какой высоте окажется верхний конец цилиндра в этом случае? Трение между стенками отверстия и цилиндром отсутствует, но вода в эту щель не протекает. Ответ выразите в сантиметрах и округлите до десятых.

В двух сообщающихся сосудах, имеющих форму цилиндров с площадью дна \(S_1 = 100\) см\(^2\) и \(S_2 = 200\) см\(^2\), находится вода. Сосуды закрыты сверху массивными поршнями (см. рисунок). К правому поршню прикреплена лёгкая вертикальная пружина жёсткостью \(k = 4\) Н/см, верхний конец которой неподвижен. Система находится в равновесии, причём пружина изначально сжата. На левый поршень положили груз массой \(m = 1\) кг. Плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 10\) Н/кг. Начальная высота края правого сосуда над поверхностью воды \(h = 10\) см.

1. Найдите, на сколько после этого опустится левый поршень. Ответ выразите в см, округлите до целого числа.

2. Груз какой минимальной массы нужно добавить к грузу массой \(m\) (на левый поршень) для того, чтобы вода начала выливаться из правого сосуда? Ответ выразите в кг, округлите до целого числа.

Жёсткие стержни одинаковой длины \(l = 10\) см, соединённые шарнирами, образуют конструкцию \(ABCD\) в виде ромба. Шарнир \(A\) закреплён на стене, к шарниру \(C\) присоединён груз массой 1 кг (см. рисунок). Шарниры \(B\) и \(D\) связаны пружиной жёсткостью 100 Н/м, при этом длина недеформированной пружины в 1,2 раза больше длины стержня. К шарниру \(C\) прикладывают силу \(F = 10\) Н, направленную вдоль диагонали \(AC\). Найдите величину ускорения груза в момент, когда длина диагонали \(BD\) станет в \(\sqrt2\) раз больше длины стержня. Конструкция находится в невесомости. Массами стержней и шарниров, трением в шарнирах, а также их размерами можно пренебречь. Ответ выразите в м/с\(^2\), округлите до целого.

В вакууме на теплоизолирующей подставке установлен вертикальный теплоизолированный цилиндр, закрытый тяжёлым поршнем, подвешенным на пружине (см. рисунок). Поршень может скользить в цилиндре без трения. В случае если между дном цилиндра и поршнем газ отсутствует, поршень располагается в состоянии равновесия у дна цилиндра, при этом пружина растянута на длину \(l_0 = 10\) см.

Под поршень вводится порция одноатомного идеального газа при температуре \(T_0 = 200\) K, в результате поршень располагается на расстоянии \(l_0\) от дна цилиндра.

Теплоёмкостью цилиндра и поршня можно пренебречь. Универсальная газовая постоянная \(R\) равна 8,3 Дж/(моль \(\cdot\) К).

1. К газу под поршнем медленно подводится такое количество теплоты, что поршень перемещается вверх на расстояние \(\dfrac{l_0}{2}\). На сколько увеличивается температура газа под поршнем? Ответ дайте в градусах Кельвина, округлите до целого.

2. Найдите молярную теплоёмкость газа \(c\) в начальном состоянии. В ответе на вопрос укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

Тонкая трубка площадью поперечного сечения \(S\) изогнута в виде перевёрнутой буквы П (см. рисунок). В горизонтальной части трубки находится невесомый поршень, который связан с левой стенкой пружиной. В вертикальных концах трубки в равновесии находятся две жидкости: в левой — жидкость плотностью \(\rho_1\), а в правой — жидкость плотностью \(\rho_2 < \rho_1\). При этом разность уровней верхних границ жидкостей в вертикальных коленах составляет \(\Delta h\), а пружина недеформирована. Коэффициент жёсткости \(k\) пружины подобран таким образом, чтобы при добавлении в левое колено жидкости плотностью \(\rho_1\) разность уровней \(\Delta h\) всё время оставалась постоянной.

1. Чему равен коэффициент жёсткости \(k\)?

В левую часть трубки добавляют объём \(\Delta V\) жидкости плотностью \(\rho_2\), при этом верхние границы жидкостей в вертикальных частях оказываются на одном уровне.

2. Определите, какой объём \(\Delta V\) жидкости добавили в левое колено?

Поршень скользит без трения. Жидкость между поршнем и стенками сосуда не подтекает и не выливается из сосуда. Объёмом пружины можно пренебречь, жидкости не смешиваются и не перетекают в другое вертикальное колено. Ускорение свободного падения равно \(g\).

В системе, изображенной на рисунке, все блоки – невесомые и вращаются без трения, все нити – невесомые и нерастяжимые (их жесткость велика по сравнению с жесткостью пружины). Пружина также невесома. Система находится в покое. При какой массе груза \(M\) груз 1 сразу после пережигания нити в точке \(A\) будет иметь ускорение большее по модулю, чем \(g\)?

Проводя опыты с верёвкой, школьник Вася обнаружил, что её удлинение пропорционально растягивающей силе, причём при силе натяжения \(F_0 = 4\) кН удлинение составляет 20% от начальной длины. Вася закрепил концы верёвки на стволах двух деревьев, расположенных на расстоянии \(L = 20\) м друг от друга на разных берегах реки. Верёвка оказалась на высоте \(0{,}1L = 2\) м над водой. Груз какой максимальной массы можно прикрепить к середине верёвки, чтобы он в положении равновесия не оказался в воде? Решите задачу в двух случаях: (а) длина ненатянутой верёвки равна \(L\); (б) верёвка вначале натянута с силой \(F_0/3\), то есть длина ненатянутой верёвки меньше \(L\). Размерами груза можно пренебречь. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

Небольшой шарик, заряженный зарядом \(q\), покоится на гладком горизонтальном непроводящем столе. К шарику присоединена горизонтальная пружина жёсткостью \(k\), второй конец которой закреплён. Вдоль оси пружины к шарику с большого расстояния очень медленно приближают такой же, но противоположно заряженный шарик. Найдите деформацию пружины в момент столкновения шариков.

При восхождениях на скальные стены один конец веревки привязывается к страховочной системе, которую надевает на себя идущий первым альпинист (лидер), оставшаяся часть верёвки находится у страхующего. В процессе подъёма лидер «прощёлкивает» тянущуюся за ним верёвку через карабины (металлические кольца с защёлкой), прикреплённые к стене в точках страховки (т. \(B\) на рис. 1). В случае срыва лидера страхующий, располагающийся в т. \(A\) (на рисунке не изображён), блокирует верёвку с помощью страховочного устройства. Фактором рывка \(r\) называется отношение глубины свободного падения лидера (пока верёвка не начнёт растягиваться) к длине верёвки между страхующим и лидером на момент срыва, например, \(r = \dfrac{2h}{H+h}\) для схемы на рис. 1. Пусть между лидером и страхующим одна точка страховки (как на рис. 1), или вообще нет точек страховки (\(H = 0\)). Расположение лидера и точки страховки может быть любым, но величина \(h + H\) должна быть меньше длины верёвки (\(\approx 50\) м). Альпинисты находятся высоко над землёй, так что лидер при срыве может упасть ниже страхующего. Трением между верёвкой и карабином пренебрегаем.

1. Найдите максимальное и минимальное возможное значение фактора рывка \(r\).

2. Относительное растяжение некоторой верёвки, на которую подвешен груз массой \(m = 80\) кг составляет 5 %. Считая, что данная верёвка подчиняется закону Гука, определите максимально возможное относительное растяжение верёвки при срыве альпиниста массой \(m\).

3. На самом деле при больших растяжениях верёвка не подчиняется закону Гука. При модельном срыве в лаборатории груза массой \(m\) с фактором \(r_1 = 1{,}5\) максимальное относительное растяжение составило 40 %. Пусть \(W_{\text{эксп}}\) — максимальная энергия деформации верёвки, рассчитанная на основе теста, а \(W_{\text{теор}}\) — энергия деформации, рассчитанная на основе закона Гука при том же относительном растяжении. Какая энергия больше и во сколько раз?

Стол стоит на горизонтальном полу. Столешницу и пол можно считать абсолютно твёрдыми, а ножки — упругими, подчиняющимися закону Гука при вертикальных деформациях.

Гирю массой 24 кг ставят на стол так, что её центр масс располагается в т. \(A\) (см. рисунок, вид сверху). На сколько изменяются силы давления ножек стола: \(\Delta F_1\), \(\Delta F_2\), \(\Delta F_3\) и \(\Delta F_4\) на пол после этого? Номера ножек показаны на рисунке.

На столе стоит цилиндрический сосуд с вертикальными стенками, заполненный водой примерно наполовину. Площадь сечения сосуда равна \(S=400\text{ см}^2\), внизу сосуда имеется штуцер, к которому присоединён горизонтально расположенный шланг. Другой конец шланга соединён со штуцером «чёрного ящика», в котором находится неизвестное устройство (см. рисунок).

Неизвестное устройство действует следующим образом. Если в сосуд доливают немного воды (\(\Delta m\) порядка 100 г), уровень жидкости в сосуде опускается (!) по сравнению с первоначальным. Если же после этого из сосуда зачерпывают такую же порцию воды, то уровень поднимается до первоначальной высоты. Предложите конструкцию устройства, которое может находится внутри чёрного ящика. Изобразите схему устройства и коротко объясните принцип его работы.

Известно, что в конструкции устройства используется некоторое оборудование из следующего списка: цилиндрический сосуд "— такой же, как на столе, нерастяжимые нити, пружина жёсткостью \(k=300\text{ Н/м}\), набор грузов разных масс, резиновый шланг с внутренним диаметром, соответствующим диаметру штуцера на стенке ящика. Все грузы и сосуд снабжены крючками, которые могут быть использованы для крепления нитей и пружины. Крепления для нитей и пружины имеются также на потолке и стенах ящика.

Плотность воды и ускорение свободного падения равны: \(\rho=1000\text{ кг/м}^3\) и \(g=10\text{ Н/кг}\).

Однородная пластина в форме прямоугольного треугольника соединена с тремя вертикальными пружинами жёсткостью \(100\) Н/м каждая. Пластина находится в положении устойчивого равновесия, при котором её основание горизонтально. Деформация двух пружин составляет \(10\) см, а деформация третьей "— иная.

Определите массу пластины. Деформация какой пружины отличается от двух других? Чему равна деформация этой пружины? Длины пружин на рисунке условны.

Несколько \((2N+1)\) одинаковых маленьких шариков соединены одинаковыми невесомыми пружинками в цепочку (см. рисунок, \(N=3\)). Пусть длина одной пружинки в недеформированном состоянии равна нулю, диаметр шарика пренебрежимо мал, а \(N\gg 1\), тогда такая модельная конфигурация неплохо описывает некоторые свойства успокаивающей игрушки-пружины «слинки».

Известно, что если цепочка шариков с пружинками (\(N\gg 1\)) располагается на гладкой горизонтальной поверхности, один из крайних шариков удерживается, а на другой крайний шарик действует горизонтальная сила, равная силе тяжести цепочки, то длина цепочки оказывается равна \(L_0\). Здесь и далее речь идёт о статическом состоянии цепочки, при котором все шарики цепочки не движутся.

1. (4 балла) Чему будет равна длина цепочки, если её подвесить к потолку за один из концов?

2. (6 баллов) На каком расстоянии от потолка будет располагаться нижняя точка цепочки, если оба её конца закрепить на потолке на расстоянии \(D\) друг от друга? Какую форму примет цепочка? Назовите вид кривой.