зад 1 Триатлон
Команда из двух спортсменов участвует в мультиспортивной гонке, состоящей из трёх этапов: бега, велогонки и плавания. По условиям соревнований требуется сначала преодолеть 43 км (суммарно) бегом и на велосипеде, а в конце проплыть 1 км, при этом на старте команде выдаётся один велосипед, а зачётное время команды фиксируется по времени участника, пришедшего к финишу вторым. Первый спортсмен в среднем пробегает 24 км за 2 часа, проезжает на велосипеде 27 км за час и проплывает 1200 м за 30 мин. Средняя скорость бега второго спортсмена равна 9 км/ч, езды на велосипеде — 24 км/ч, а плавает он со скоростью 3 км/ч. Чему равно минимальное зачётное время, которое может показать эта команда при наилучшей тактике прохождения дистанции?
▶ПодсказкаСкрыть
Велосипед один, но им можно пользоваться по очереди: проехав часть пути, оставить его на трассе. Выразите время каждого спортсмена через длину его велосипедного участка и подумайте, при каком условии время финиша второго минимально.
▶ОтветСкрыть
\(T_{\min} = 3{,}25\text{ ч} = 195\text{ мин}\).
зад 2 Гравиметр Ломоносова
На рисунке, приведённом ниже, показан прибор, придуманный М.В. Ломоносовым для измерения ускорения свободного падения. Два цилиндрических сосуда 1 и 2 соединены тонкой стеклянной трубкой \(ABCE\) постоянного сечения. Часть герметичного сосуда 1 и часть трубки заполнены ртутью, а остальная часть этой системы заполнена газами (воздухом и парами ртути). Сосуд 2 сообщается с атмосферой. Температура сосудов поддерживается постоянной. Диаметр сосуда 1 равен \(D = 90\) мм, а внутренний диаметр трубки равен \(d = 0{,}64\) мм. Около горизонтального участка трубки \(BC\) расположена линейка для измерения положения левой границы ртути.
Одно из назначений этого прибора — измерение высот. Известно, что зависимость ускорения свободного падения \(g\) от высоты \(h\) над поверхностью Земли описывается формулой \[g(h) = g_0 - kh,\] где \(g_0 = 9{,}8\) Н/кг, \(k = 3{,}07 \cdot 10^{-6}\) Н/(кг\(\cdot\)м). Пусть на первом этаже некоторого здания высота уровня ртути в сосуде 1 равна \(L = 50\) см. Когда прибор подняли на крышу здания, граница ртути и воздуха в горизонтальной трубке сместилась на расстояние \(x = 10\) см. Определите высоту здания. Считайте, что изменение давления газов в первом сосуде пренебрежимо мало. Изменением атмосферного давления с высотой можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Давление ртути на уровне трубки \(\rho g L\) уравновешивается атмосферным давлением и давлением газа. При уменьшении \(g\) ртуть перетекает из сосуда в трубку: свяжите смещение границы в тонкой трубке с изменением уровня в широком сосуде через объём.
▶ОтветСкрыть
\(h = 32{,}5\text{ м} \pm 0{,}5\text{ м}\).
зад 3 Грузовая марка
Грузовая марка (Plimsoll line) — это отметка на борту торгового судна, показывающая, до какого уровня судно может погружаться в различные воды при максимальной загрузке. На рисунке приведён пример грузовой марки некоторого судна и обозначены расстояния между отметками марки. Верхняя линия TF указывает предельную осадку нагруженного судна в пресной воде в тропиках, плотность которой равна 994 кг/м\(^3\). Ниже расположена линия F, соответствующая осадке в пресной воде в умеренных широтах (плотность равна 998 кг/м\(^3\)). Площадь сечения корпуса судна на уровне воды вблизи марки можно считать постоянной.
Какова плотность зимней морской воды, которой соответствует линия W на грузовой марке?
Используя данные задачи, найдите разность температур пресной воды в тропиках и умеренных широтах, если коэффициент теплового расширения воды равен \(3 \cdot 10^{-4}\) 1/\(^\circ\)C. Коэффициент теплового расширения равен относительному увеличению объёма тела при изменении его температуры на один градус.
▶ПодсказкаСкрыть
Масса вытесненной воды \(\rho S H\) у нагруженного судна всегда одна и та же, где \(H\) — осадка. Запишите это условие для двух соседних линий и найдите относительное изменение плотности через изменение осадки.
▶ОтветСкрыть
1) \(\rho_W = 1006\text{ кг/м}^3\); 2) \(\Delta t = 13{,}4\,^\circ\text{C} \pm 0{,}2\,^\circ\text{C}\).
зад 4 Пружины и нити
На рисунке изображена схема механической системы, которая состоит из двух одинаковых пружин жёсткостью \(k\) и длиной \(L\) в недеформированном состоянии, одной нити длиной \(L_1\) (которая в исходном состоянии натянута), двух одинаковых нитей длиной \(L_2\) (провисающих в исходном состоянии) и груза массой \(m\).
Список оборудования содержит: четыре груза разной массы, четыре комплекта пружин (по две одинаковые пружины в каждом комплекте) и четыре комплекта нитей, в каждом из которых есть две одинаковые длинные нити и одна короткая. Параметры изделий в каждом комплекте представлены в таблице, приведённой ниже.
Укажите номера грузов, комплектов пружин и нитей, которые следует выбрать при сборке системы, чтобы после пережигания короткой нити положение равновесия груза оказалось выше, чем до пережигания. Подходящие элементы необязательно расположены в одном столбце таблицы. Сочетать нити из разных комплектов запрещается. При анализе задачи можно считать, что масса пружин пренебрежимо мала, а нити — невесомые и нерастяжимые. Ускорение свободного падения считайте равным 10 Н/кг.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните равновесие до пережигания (пружины растянуты по отдельности, короткая нить натянута) и после (нити \(L_2\) ограничивают растяжение, и пружины оказываются соединёнными иначе). Запишите условия, при которых длинные нити в исходном состоянии провисают, а после пережигания включаются в работу.
▶ОтветСкрыть
Груз №4 (\(m = 4{,}0\) кг); комплект пружин №1 (\(k = 600\) Н/м, \(L = 20\) см); комплект нитей №4 (\(L_1 = 21\) см; \(L_2 = 50\) см).
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2021/22, заключительный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.