Упругая прокладка

Закон Гука \(\sigma=\varepsilon E\): вдоль \(OX\), \(OY\) пластины деформируются одинаково и работают «параллельно», вдоль \(OZ\) нагружены одинаковой силой и работают «последовательно».

\(k_x\approx2{,}0\cdot10^{9}\) Н/м; \(k_y\approx7{,}8\cdot10^{9}\) Н/м; \(k_z\approx1{,}6\cdot10^{10}\) Н/м.

10.1 Для вычисления коэффициента жесткости необходимо вычислить отношение приложенной силы \(F\) к изменению длины образца \(\Delta l\)

\[k = \frac { F } { \Delta l } .\tag{1}\]

Возможны два способа вычисления этого коэффициента: первый - задать внешнюю силу и затем рассчитать удлинение; второй - задать удлинение и затем найти возникающую силу упругости. Для выполнения данной процедуры необходимо использовать закон Гука \(\sigma = \varepsilon E\), где \(\sigma = \frac { F } { S }\) - механическое напряжение, возникающее в образце, \(\varepsilon = \frac { \Delta l } { l }\) - относительная деформация образца.

Рассмотрим сжатие образца вдоль оси \(OY\) на малую величину \(\Delta y\). В этом случае относительные деформации каждой пластины одинаковы и равны \(\varepsilon = \frac { \Delta y } { b }\). По закону Гука в пластинах возникают упругие напряжения

\[\sigma _ { 1 , 2 } = \varepsilon E _ { 1 , 2 } = E _ { 1 , 2 } \frac { \Delta y } { b } .\tag{2}\]

Поэтому суммарная сила упругости определится по формуле

\[F = \sigma _ { 1 } S _ { 1 } + \sigma _ { 2 } S _ { 2 } = \frac { \Delta y } { b } c ( E _ { 1 } a _ { 1 } + E _ { 2 } a _ { 2 } ) .\tag{3}\]

Следовательно, коэффициент жесткости при деформации вдоль оси \(OY\) вычисляется по формуле

\[k _ { y } = \frac { F } { \Delta y } = \frac { c } { b } ( E _ { 1 } a _ { 1 } + E _ { 2 } a _ { 2 } ) \approx 7{,}8 \cdot 10 ^ { 9 } \frac { \text{Н} } { \text{м} } .\tag{4}\]

Коэффициент жесткости при деформации вдоль оси \(OX\) рассчитывается аналогично (достаточно в последней формуле поменять местами \(b\) и \(c\)):

\[k_x = \frac{b}{c}(E_1 a_1 + E_2 a_2) \approx 2{,}0 \cdot 10^9 \, \frac{\text{Н}}{\text{м}}.\tag{5}\]

Для вычисления коэффициента жесткости вдоль оси \(OZ\) положим, что к образцу приложена внешняя сила \(F\) и найдем деформацию «бутерброда». Механические напряжения в обеих пластинах будут одинаковы и равны

\[\sigma = \frac{F}{bc}.\tag{6}\]

Общая деформация равна сумме деформаций пластин

\[\Delta z = \Delta z_1 + \Delta z_2 = \frac{\sigma}{E_1} a_1 + \frac{\sigma}{E_2} a_2 = \frac{F}{bc} \left( \frac{a_1}{E_1} + \frac{a_2}{E_2} \right)\]

Следовательно, коэффициент жесткости при такой нагрузке вычисляется по формуле

\[k_z = \frac{F}{\Delta z} = \frac{bc}{\frac{a_1}{E_1} + \frac{a_2}{E_2}} \approx 1{,}6 \cdot 10^{10} \, \frac{\text{Н}}{\text{м}}.\tag{7}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.