Шарик из сетки пружинок

Посчитайте энергию растянутой квадратной сетки по числу пружинок, затем приравняйте работу газа при малом увеличении радиуса к приращению энергии плёнки.

\(U=k(\sqrt S-\sqrt{S_0})^2\); \(P=\dfrac{2k(r-r_0)}{r^2}\).

10.4 В рамках указанной модели представим пленку как квадратную сетку, состоящую из маленьких пружинок длиной \(a\). Пусть кусок пленки имеет форму квадрата со стороной \(l_0\) (\(l_0 \gg a\)). Тогда этот кусок имеет \(N = 2 \frac{l_0^2}{a^2}\) пружинок (площадь одной ячейки равна \(a^2\), а на каждую ячейку приходится 2 пружинки - каждая пружинка «принадлежит двум соседним ячейкам!). Если растянуть пленку до квадрата со стороной \(l\), то длина каждой пружинки увеличится на величину \(\Delta x = \frac{l}{l_0} a - a = \frac{a}{l_0} (l - l_0)\). Поэтому увеличение потенциальной энергии пленки будет определяться формулой

\[U = N \frac{k (\Delta x)^2}{2} = k (l - l_0)^2 = k (\sqrt{S} - \sqrt{S_0})^2,\tag{1}\]

где \(S = l^2\) - площадь растянутой пленки, \(S_0 = l_0^2\) - площадь недеформированной пленки.

Рассмотрим шарик, изготовленный из эластичной пленки. Пусть при недеформированной пленке радиус шарика равен \(r_0\). Тогда на длину

«экватора» приходится \(n = \frac{2\pi r_0}{a}\) упругих пружинок, натяжения которых будут уравновешивать силы давления воздуха. При радиусе шарика \(r\) суммарная сила давления воздуха на полусферу

\[F = P\pi r^2\tag{2}\]

будет уравновешена силами упругости

\[nk\Delta x = \frac{2\pi r_0}{a} k\left(\frac{r}{r_0}a - a\right) = 2\pi k(r - r_0),\tag{3}\]

где учтено, что удлинение каждой пружинки может быть найдено из подобия \(\Delta x = \frac{r}{r_0}a - a\). Приравнивая эти силы, находим равновесное значение давления газа

\[P = 2k\frac{r - r_0}{r^2}.\tag{4}\]

Возможен и другой подход к вычислению давления. При увеличении радиуса шара на малую величину \(\Delta r\), газ совершит работу

\[A = P\Delta V = P4\pi r^2 \Delta r.\tag{5}\]

Эта работа пойдет на увеличение потенциальной энергии пленки \(\Delta U = U(r + \Delta r) - U(r)\). Воспользуемся формулой (1) для вычисления этой величины

\[\Delta U = k \cdot 4\pi \cdot 2(r - r_0)\Delta r,\tag{6}\]

при выводе которой учтено, что площадь поверхности сферы \(S = 4\pi r^2\). Приравняв выражения (5) и (6), получаем прежний результат (4).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.